A jelentés által adott René Thom , az elmélet szingularitásoknak áll a tanuló tárgyak és családok tárgyak aszerint, hogy azok mértéke genericity.
Egy családban az objektum állapotváltozáson eshet át, amelyet bifurkációnak neveznek.
Egy egyszerű példát adunk a függvény szintjeivel:
Pozitív értéke fölötti rostja egy kör. A 0 érték egyes szám, a negatív értékeknél a szál üres. Ez a kettéágazás abban az értelemben általános, hogy a funkció bármilyen zavara az eredet szomszédságában ugyanolyan viselkedésű görbecsaládot eredményez.
Például, ha figyelembe vesszük a deformációt
akkor kellően kis t értékeknél és az origó szomszédságában a megzavarodott funkció rostjai oválisok, pontok vagy üregek. Ebből a szempontból a szingularitások elmélete csak felveszi és modernizálja az algebrai geometrák általánosságának fogalmait.
Kezdetben a funkciók vagy hiperfelületek kvalitatív elméleteként fogalmazták meg, a szingularitások elmélete Vladimir Arnold vezetésével a matematika és a matematikai fizika számos ágába hatolt. Ez mindenekelőtt gondolkodásmód és a problémák rangsorolása.