Kelvin tétele
A Kelvin-tétel kimondja, hogy a sebesség mező mozgása egy zárt kontúr mentén nem alkalmas folyékony barotrópra . Kelvin 1868- ban kijelentette .
Alapvető fontosságú a turbulencia mechanizmusainak tanulmányozása szempontjából.
Definíciók
Legyen C (t) zárt kontúr az áramlásban. A C-n lévő keringés a C-t érintő sebesség komponensének a C-vel való integrálja. Jelöljön l egy tangens egységvektort
Γ=∮VSV⋅dl{\ displaystyle \ Gamma = \ anint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}![{\ displaystyle \ Gamma = \ anint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922719b08d5a2fc395d50e5241a3393f3f9f30ea)
A forgási sebesség által meghatározott = (ω 1 , ω 2 , ω 3 ) örvényesség a forgási tétel keringésével függ összeω{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}
ω = ∇×V{\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ omega}} ~ = ~ \ nabla \ times \ mathbf {V}}
Γ=∫Sω⋅dS{\ displaystyle \ Gamma = \ int _ {S} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathrm {d} S}![{\ displaystyle \ Gamma = \ int _ {S} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57778565feac0fd147255873eb300d1a71330f2)
ahol S egy C-re támaszkodó felület.
A k = (k 1 , k 2 , k 3 ) vektor bármely pontján meghatározott örvényvonalat az örvényesség érintőjeként definiáljuk.
dk1dω1=dk2dω2=dk3dω3{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} k_ {1}} {\ mathrm {d} \ omega _ {1}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {2}} {\ mathrm { d} \ omega _ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {3}} {\ mathrm {d} \ omega _ {3}}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} k_ {1}} {\ mathrm {d} \ omega _ {1}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {2}} {\ mathrm { d} \ omega _ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {3}} {\ mathrm {d} \ omega _ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1602f33dbb2c0e3f1ce0eba977378c26f5e851)
.
Az örvénycsövet a C-re nyomott örvényvonalak halmaza határozza meg. Definíció szerint ez a cső tiszteletben tartja az örvényáram megőrzését.
Kelvin tétele
A következőkben feltételezzük, hogy az Euler-egyenletek által leírt közeget g külső erővel nem lehet összenyomni . A ρ sűrűség nem feltétlenül állandó.
A keringési egyenlet levezetése a lendületmegőrzési egyenlet felhasználásával megadja
dΓdt=∮VSdVdt⋅dl+∮VSV⋅ddt(dl)=∮VS(-1ρ∇o)⋅dl+∮VSg⋅dl⏟= 0+∮VS∇(V22)⋅dl⏟= 0=-∮VSdoρ{\ displaystyle {\ begin {tömb} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} & = & \ ken _ {C} {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ ken _ {C} \ mathbf {V} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} (\ mathrm {d} \ mathbf {l}) \\ [0.6em] & = & \ anint _ {C} \ bal (- {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ underbrace {\ anint _ {C} \ mathbf {g} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} + \ underbrace {\ anint _ {C} \ nabla \ left ({\ frac {V ^ {2}} {2}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} \\ [0.6em] & = & - \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} \ end {tömb}}}![{\ displaystyle {\ begin {tömb} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} & = & \ ken _ {C} {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ ken _ {C} \ mathbf {V} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} (\ mathrm {d} \ mathbf {l}) \\ [0.6em] & = & \ anint _ {C} \ bal (- {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ underbrace {\ anint _ {C} \ mathbf {g} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} + \ underbrace {\ anint _ {C} \ nabla \ left ({\ frac {V ^ {2}} {2}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} \\ [0.6em] & = & - \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} \ end {tömb}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38e4e13a541a99df6a2e00fb6e5aa55644975c1)
A megjelenő kifejezések közül kettő semmis, mert az egyik zárt görbén integrálódik. A baroklinikus kifejezésnek nevezett fennmaradó kifejezés nulla, ha a sűrűség állandó.
Általános esetben ezt a kifejezést másképp írhatjuk fel a rotációs tétel segítségével
-∮VSdoρ=∫SΠ⋅dS{\ displaystyle - \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} = \ int _ {S} \ Pi \ cdot \ mathrm {d} S}![{\ displaystyle - \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} = \ int _ {S} \ Pi \ cdot \ mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002118d552abba251c351d3c73a8ad9b6a7cfd56)
ahol Π a baroklin vektor
Π=-∇(1ρ)×∇o{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} = - \ nabla \ left ({\ frac {1} {\ rho}} \ right) \ times \ nabla p}![{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} = - \ nabla \ left ({\ frac {1} {\ rho}} \ right) \ times \ nabla p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf0d8a2fe24169f8a7f7df8a62dee6f55dbf7cd)
Ez a kifejezés nulla, ha a felületi izobárokat és az izopycneseket összekeverik.
Megjegyzések
-
Az örvényvektort időnként az örvény fele határozza meg.
-
állandó sűrűségű felületek.
Hivatkozások
-
(in) William Thomson, " Mi Vortex Motion " , Transactions of the Royal Society of Edinburgh , vol. 25,1868, P. 217–260 ( DOI 10.1017 / S0080456800028179 )
-
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">