Mittag-Leffler tétel

A komplex elemzése , a MittagLefflernek tétel létezését mutatja Meromorf funkciók a felírt pólusok. Ebben hasonló a Weierstrass faktorizációs tételéhez , amely megerősíti a holomorf funkciók létezését előírt nullákkal. Nevét Gösta Mittag-Leffler svéd matematikusnak köszönheti .

Tétel

Hagy egy nyitott a és zárt diszkrét részhalmaza. Mindenért az , hadd egy polinom . Ekkor létezik egy Meromorf funkció az ilyen, hogy bármit , az Holomorf az . Különösen a negatív részét fejlődő Laurent-sor az itt van . $D$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle E \ D alkészlet}$ $nál nél$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle p_ {a} (z)}$ $1 / (za)$ $f$ $D$ $idősebb$ ${\ displaystyle f (z) -p_ {a} (z)}$ $nál nél$ $f$ $nál nél$ ${\ displaystyle p_ {a} (z)}$

Piszkozat igazolás

Itt adunk egy igazolástervezetet. Észrevesszük, hogy abban az esetben, ha elkészült, elegendő bevenni . Ha nem véges, akkor a véges összeget vesszük figyelembe, ahol a véges részhalmaza van . Még ha nem is feltétlenül konvergál, ha F E-hez közelít , mindig kiválaszthatunk olyan jól megválasztott racionális függvényeket, amelyeknek pólusai nem D-ben vannak ( Runge-tétel szerint ), anélkül, hogy megváltoztatnánk Laurent-sorozat-terjeszkedés negatív részét , és így garantáljuk a konvergenciát. $E$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {a \ E} p_ {a} (z)}$ $E$ ${\ displaystyle S_ {F} (z) = \ sum _ {a \ in F} p_ {a} (z)}$ $F$ $E$ ${\ displaystyle S_ {F} (z)}$ ${\ displaystyle S_ {F} (z)}$

Példa

Tegyük fel, hogy meromorf függvényt akarunk, amelynek minden pozitív egész számában az 1. maradék egyszerű pólusai vannak . Az előző jelölésekkel akár és . A MittagLefflernek tétel bizonyítja, hogy létezik egy Meromorf funkciója , amely a negatív részét Laurent sorfejtésen lesz teljesen benne . Ez a funkció ellenőrzi a kívánt tulajdonságokat. ${\ displaystyle p_ {k} = 1 / (zk)}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {N}}$ $f$ $z = k$ ${\ displaystyle p_ {k} (z)}$ ${\ displaystyle k}$ $f$

Megjegyzések és hivatkozások