Nagel tétele

Számos Nagel- tétel létezik, amelyek mind a háromszög geometriájához kapcsolódnak .

I. tétel

Legyen az ABC háromszög. Legyen H annak ortocentruma, és O legyen ennek a háromszögnek körülírt kör közepe . Ha a szög éles, akkor ugyanaz a felezője, mint a szög .

\ widehat {BAC}

{\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}

Demonstráció

Az ABC háromszögnek nincsenek tompa szögei

Ezután a körülírt O kör közepe és a H ortocentrum az ABC háromszög belsejében helyezkedik el .

Legyen $β az$ a szög , amely be van írva a körülírt körbe (lásd A ábra). a $2$ $β$ érték megfelelő $középszöge$ . Az AOC háromszög egyenlő szárú, mert az OA és az OC a körülírt kör sugara. A szögek és egyenlőek egymással és $α$ $= π / 2 -$ $β$ . $\ widehat {ABC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {COA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAC}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {ACO}}}$

Vagy én a láb a magasságban egy . A háromszög ABI derékszögű, és az a szög a $π / 2 -$ $β$ $=$ $α$ . ${\ displaystyle {\ widehat {BAI}}}$

A szög felezője tehát egyben a szög felezője, amely egyben a szög is , mivel a H ortocentrum az AI szakaszon belül van . Vegye figyelembe, hogy a szög nulla, ha az ABC háromszög B és C csúcsának szöge azonos, ami akkor fordul elő, ha a háromszög egyenlő vagy egyenlő szárú az A-ban . $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Az ABC háromszög téglalap

A körülírt O kör középpontja a hipotenusz középpontja, a H ortocentruma a derékszög csúcsa.

A szög nincs meghatározva, ha A a derékszög csúcsa, és Nagel tétele nem vonatkozik erre a csúcsra. ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

A másik csúcs, szögek és jelentése ugyanaz, mint az AH és AO vannak a két oldalán a háromszög csatlakozik A . Ezért ugyanaz a felezőjük. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Az ABC háromszögnek tompa szöge van

A körülírt O kör középpontja és a H ortocentrum ekkor mindketten kívül vannak az ABC háromszögön .

Ha A az akut szög két csúcsának egyike (lásd a B ábrát), akkor a bizonyítás hasonló a tompa szög nélküli háromszög esetéhez. Az AI magasság és az AO sugár itt a háromszögön kívüli szakaszok. A szög és a szög azonos, mivel a H ortocentrum kívül esik a magasság oldalának AI magasságán. ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Ha az a szög, egy a tompaszög (lásd C ábra), majd, még mindig ugyanaz az érvelés, a szögek és azonos felezővonal. Mivel azonban a H ortocentrum itt van a háromszögön kívül, de a magasság csúcsának oldalán, a szög felezője az a vonal (D), amely $π / 2$ szöget képez a szög felezőjével és a Nagel tétel nem alkalmazható. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$

Következtetés

Kivéve, ha a szög a helység vertex A helyes, ha behelyettesítjük orthocenter H által I. lábánál, a magasság eredő Egy , akkor a szögek és mindig ugyanazt a felezővonal. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAI}}}$

III. Tétel

Egy háromszögben a magasság lábához csatlakozó vonalak merőlegesek azokra a sugarakra, amelyek a csúcsokat a körülírt kör közepével egyesítik.

Hivatkozások

Mr. Housel, " A 3. tétel igazolása Mr. Nagel ", Annals of Mathematics News , 1. sorozat, 1. évf. 19,1860, P. 438–440 ( online olvasás )

Kapcsolódó cikk

Nagel pont