Csavarás

Vegyünk egy hosszúságú gerendát , amely az egyik végén be van ágyazva, a másik vége szabad. Rajzoljon egy sugarat a szabad vég egyenes szakaszára; kis deformációk esetén feltételezhető, hogy ez a sugár egyenes marad, szögbe fordul . Feltételezzük, hogy a deformáció homogén, az a szög, amely körül egy meg nem határozott keresztmetszet fordul, lineáris módon függ a rögzített tartóhoz való távolságtól. A forgás sebességét vagy a torziós egység szögét az alábbiak szerint határozhatjuk meg: L{\ displaystyle L}α{\ displaystyle \ alpha} θ{\ displaystyle \ theta}

θ=α/L{\ displaystyle \ theta = \ alpha / L}

θ{\ displaystyle \ theta} radiánban kifejezve méterenként (rad / m).

Ha generátort rajzolunk, akkor ez egy spirál alakja .

Az elmélet Euler-Bernoulli , ha marad kis deformációk, a pillanat torziós teremt cissions (nyírófeszültség) , amely arányos a távolság , mint a tengely torziós: Mt{\ displaystyle M_ {t}}τ{\ displaystyle \ tau}r{\ displaystyle r}

τ(r)=MténGr{\ displaystyle \ tau (r) = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I _ {\ mathrm {G}}}}} r}

vagy

• Mt{\ displaystyle M_ {t}} a nyomaték;
• énG{\ displaystyle I_ {G}} a torzió másodfokú nyomatéka, a szakasz alakjától függően (külső átmérő, cső esetén pedig belső átmérő).

A torzió egységszögét az adja meg

θ=MtG⋅énG{\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ cdot \ mathrm {I _ {\ mathrm {G}}}}}}

Tekintsük két pont egy alkotója a henger, és található egy adott távolságban , és a süllyesztett rész, és az azonos távolságra a semleges tengely (henger tengely). Torzióval a megfelelő egyenes szakaszukon maradnak (egyenletes torzió), és középen és sugarú körön mozognak  ; válnak rendre és . NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}x{\ displaystyle x}x+dx{\ displaystyle x + \ mathrm {d} x}r{\ displaystyle r}G{\ displaystyle G}r{\ displaystyle r}NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}

A pont szögben forog , ezért egy hosszú ív mentén mozog . Ugyanígy a pont egy mennyiséggel mozog . A deformáció tehát érdemes NÁL NÉL{\ displaystyle A}θ×x{\ displaystyle \ theta \ times x}uNÁL NÉL=θ×x×r{\ displaystyle u_ {A} = \ theta \ szor x x szer r}B{\ displaystyle B}uB=θ×(x+dx)×r{\ displaystyle u_ {B} = \ theta \ szor (x + \ mathrm {d} x) \ szor r}

γ=dudx=uB-uNÁL NÉLdx=θ×r{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {u_ {B} -u_ {A}} {\ mathrm {d} x}} = \ theta \ szorzat r}

Arra a következtetésre jutunk, hogy a törzs lineárisan változik . γ{\ displaystyle \ gamma}r{\ displaystyle r}

Tehát Hooke nyírási törvénye szerint a stressz lineárisan változik:

τ(r)=G×γ(r)=G×θ×r{\ displaystyle \ tau (r) = G \ times \ gamma (r) = G \ times \ theta \ times r}

a meghatározandó mennyiség . A körülötte lévő kis felületű elem egyenlő erőt kapG×θ{\ displaystyle G \ times \ theta} dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}NÁL NÉL{\ displaystyle A}dF→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {F}}}}

dF→=τ⋅dS⋅t→=G⋅θ⋅r⋅dS⋅t→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {F}}} = \ tau \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {t}} = \ mathrm {G} \ cdot \ theta \ cdot r \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {t}}}

hol van az elmozdulási kör érintővektora. t→{\ displaystyle {\ vec {t}}}

Ennek az erőnek a pillanata az átlagos vonalhoz tartozó ponthoz képest érdemes: dM→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {M}}}G(0,0,0){\ displaystyle G (0,0,0)}

dM→=GNÁL NÉL→∧dF→=G⋅θ⋅r2⋅dS⋅x→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {M}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {GA}}} \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {F}}} = \ mathrm {G} \ cdot \ theta \ cdot r ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {x}}}

A nyomaték ezekből a pillanatokból adódik, és a keresztmetszetbe integrálva azt találjuk:

Mt=G⋅θ⋅énG{\ displaystyle \ mathrm {M_ {t}} = \ mathrm {G} \ cdot \ theta \ cdot \ mathrm {I_ {G}}}

val vel

énG=∫Sr2⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {I_ {G}} = \ int _ {\ mathrm {S}} r ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS}}

Ezután:

G⋅θ=MténG{\ displaystyle \ mathrm {G} \ cdot \ theta = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}}}

van

τ(r)=MténG⋅r{\ displaystyle \ tau (r) = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}} \ cdot r}

Egy teljes fához van

énG=πD432{\ displaystyle \ mathrm {I_ {G}} = {\ frac {\ pi \ mathrm {D} ^ {4}} {32}}}

ahol D az átmérő. Egy cső esetében egyszerűen kivonjuk az üreges rész kvadratikus momentumát:

énG=π(D4-d4)32{\ displaystyle \ mathrm {I_ {G}} = {\ frac {\ pi (\ mathrm {D} ^ {4} -d ^ {4})} {32}}}

ahol D a külső átmérő és d a belső átmérő.

A maximális hasadás

τmnál nélx=MténGv=Mt(énGv){\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}} v = {\ frac {\ mathrm {M_ {t }}} {\ balra ({\ frac {\ mathrm {I_ {G}}} {v}} \ jobbra)}}

hol van az alkatrész külső sugara ( ). A mennyiséget torziós modulusnak nevezzük. v{\ displaystyle v}D/2{\ displaystyle D / 2}VS=(énG/v){\ displaystyle C = (I_ {G} / v)}

Egy prizma szakasz csavarása

A nem kör alakú szakaszok esete összetettebb. Különösen egy adott A pontban a sugárvektor nem merőleges az A feszültségvektorra, ami bonyolítja a pillanat kiszámítását. GNÁL NÉL→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {GA}}}}

Sőt, egy prizmatikus szakasz esetén a szakasz megvetemedik (nem prizmatikus torzió).

A rugalmassági egyenletek (az anyag elemének egyensúlyi viszonyai) azt jelzik, hogy egy szabad felületnél a feszültségvektor érintő a felületre; különösen a metszet szögében (azaz a gerenda szélén) a korlátozott vektor nulla. A stressz a szabad arcok közepén maximális.

Az alábbi táblázat a torzió egységes összetevőjét tartalmazza. Összehasonlítás céljából felidézzük a teljes henger torzióját.

Forma	Olyan helyek, ahol a hasadás maximális	Maximális feszültség τ max (MPa)	A torzió egységszöge rad (rad / m)
Teljes hengerátmérő D		5.,09MtD3{\ displaystyle {\ frac {5,09 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {D} ^ {3}}}}	10.,19.MtGD4{\ displaystyle {\ frac {10,19 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ mathrm {D} ^ {4}}}}
Egyenlő oldalú háromszög, oldalsó egy		20Mtnál nél3{\ displaystyle {\ frac {20 \ mathrm {M_ {t}}} {a ^ {3}}}}	46MtGnál nél4{\ displaystyle {\ frac {46 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} a ^ {4}}}}
Szögletes oldalsó egy		4,81.Mtnál nél3{\ displaystyle {\ frac {4,81 \ mathrm {M_ {t}}} {a ^ {3}}}}	7,10.MtGnál nél4{\ displaystyle {\ frac {7.10 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} a ^ {4}}}}
Oldalsó téglalap b × h ( h > b )		Mtk1b2h{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {k_ {1} b ^ {2} h}}}	Mtk2Gb3h{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {k_ {2} \ mathrm {G} b ^ {3} h}}}

A téglalap alakú szakasz esetében a feszültség a legnagyobb arc közepén maximális:

τmnál nélx=τz{\ displaystyle \ tau _ {max} = \ tau _ {z}}

A kicsi arc közepén lévő kényszer:

τy=η×τz=η×τmnál nélx{\ displaystyle \ tau _ {y} = \ eta \ times \ tau _ {z} = \ eta \ times \ tau _ {max}}

Az együtthatók , és függ az arány , és adjuk meg az alábbi táblázatban. k1{\ displaystyle k_ {1}}k2{\ displaystyle k_ {2}}η{\ displaystyle \ eta}h/b{\ displaystyle h / b}

h/b{\ displaystyle h / b}	1	1.2	1.5	1.75	2	2.5	3	4	5.	6.	8.	10.	∞{\ displaystyle \ infty}
k1{\ displaystyle k_ {1}}	0,208	0,216	0.231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,291	0,299	0,307	0,313	1/3
k2{\ displaystyle k_ {2}}	0,141	0,166	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,291	0,299	0,307	0,313	1/3
η{\ displaystyle \ eta}	1		0,859	0,820	0,795	0,766	0,753	0,745		0,743	0.742	0.742	0.742

Zárt üreges szakasz csavarása

Vegyünk egy vékony falú csövet, a szakasz alakja önkényes, de zárt. Egy elem egyensúlya azonnal megadja, hogy az átlagos feszültség (a középvonalon) vastagsága szorzata egyenletes. Nekünk van : τ×e{\ displaystyle \ tau \ times e}

ϕ=τ×e=Mt2NÁL NÉL{\ displaystyle \ phi = \ tau \ times e = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {2 \ mathrm {A}}}}

hol van az átlagvonalon belüli terület. Mivel a fal vékony, közelítéssel figyelembe vehető, hogy a maximális feszültség megegyezik az átlagos feszültséggel. NÁL NÉL{\ displaystyle A}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Jean-Louis Fanchon , Mechanical Guide , Nathan, 2001( ISBN  978-2-09-178965-1 ) , p.  315
2. [ (fr) Anyagokkal szembeni ellenállás alakulása - Torzió (ESTP)  (az oldal megtekinthető: 2012.06.16.)]  

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Sugárelmélet - Torzió
• Autóüzem
• Young modulusa
• Tehetetlenségi nyomaték
• Az anyagok szilárdsága
• Stressz feszültség
• Vontatás

Külső linkek

• Éric Davalle , "Egységes torzió " , az I. szerkezetek mechanikájában , EPFL ( olvasható online )