Komplex transzformáció

A komplex transzformáció matematikai módszer, amely lehetővé teszi az aritmetikai műveletek (+, -, × és /) levezetését, integrálását vagy könnyű alkalmazását az idő szinuszos függvényeinek mennyiségeire , feltéve, hogy azok lineárisak. Előnyösen helyettesíti a Fresnel-ábrázolást bonyolult helyzetekben.

Elv

G ( t ) mennyiség esetén az expressziós idő szinuszos függvénye:

g(t)=G^⋅kötözősaláta⁡(ωt+φ){\ displaystyle g (t) = {\ widehat {G}} \ cdot \ cos (\ omega t + \ varphi) \,},

egy komplex szám van hozzárendelve  : modulus G és az érvelés φ . A képzeletbeli egység j megjelölésével az exponenciális jelölést írják fel G_{\ displaystyle {\ aláhúzás {G}} \,}

G_= G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle {\ aláhúzás {G}} = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,},

Megjegyzés  : gyakran rövidítjük az exponenciális jelöléseket a következő formában:

G_= G(t)⋅ejφ{\ displaystyle {\ aláhúzás {G}} = \ G (t) \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ varphi} \,}Közreműködik: , G(t)= G⋅ejωt{\ displaystyle \ G (t) = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ omega t} \,} Ebben az esetben emlékezetben kell tartani az ω létezését a levezetésekhez vagy az integrációkhoz.

A villamos energiában áramok és feszültségek esetén szokás olyan komplex számot használni, amelynek modulusa megegyezik a mennyiség effektív értékével :

G=G^2{\ displaystyle G = {\ frac {\ hat {G}} {\ sqrt {2}}} \,}

Alapműveletek

• Számtani műveletek  : visszatérünk a komplex számokkal végzett műveletekhez, majd az inverz transzformációt alkalmazzuk, hogy megkapjuk a szinuszos mennyiséget, amely megfelel a művelet eredményének.

• Származtatás

Levezetjük a komplex számképet: G_= G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle {\ aláhúzás {G}} = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}, azt kapjuk : ω⋅ G⋅ej(ωt+φ+π2){\ displaystyle \ omega \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ balra (\ omega t + \ varphi + {\ frac {\ pi} {2}} \ jobbra)},} vagy jω⋅ G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle j \ omega \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

• Integráció

Integráljuk a komplex számképet, és megkapjuk: 1ω⋅ G⋅ej(ωt+φ-π2){\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega}} \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ balra (\ omega t + \ varphi - {\ frac {\ pi} {2} } \ jobbra}} \,}, vagy 1jω⋅ G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle {\ frac {1} {j \ omega}} \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

Áramok és feszültségek komplex ábrázolása (általánosítható)

Lineáris komponensekből álló szinuszos állandó állapotú áramkörben az áram vagy a feszültség a következő g ( t ) függvény :

g(t)=G^⋅kötözősaláta⁡(ωt+φ){\ displaystyle g (t) = {\ widehat {G}} \ cdot \ cos (\ omega t + \ varphi) \,},

Jelöljük a g ( t ) -hez társított komplex számot, amely egyenlő: g_{\ displaystyle {\ aláhúzás {g}}}

g_= G⋅ejφ⋅ejωt{\ displaystyle {\ aláhúzás {g}} = \ G \ cdot e ^ {j \ varphi} \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ omega t}}

• |g_|{\ displaystyle | {\ aláhúzás {g}} |}egyenlő a g tényleges értékével ,
• arg⁡(g_){\ displaystyle \ kezelőnév {arg} ({\ aláhúzás {g}})} egyenlő a g teljes fázisával (beleértve ω t ).

A kifejezés az úgynevezett komplex amplitúdó az s , mert ez jellemzi a jelet, míg a kifejezés e j ω t közös az összes a jeleket az áramkör. Ezt észrevesszük . ezért az a matematikai elem, amely a fázis és amplitúdó információt hordozza . Ezért a komplex amplitúdókkal próbálják leírni az áramkört szinuszos rendszerben. Az exponenciális formában történő jelölés lehetővé teszi a trigonometrikus képletek használatának elkerülését, és ezt a komplex impedancia kapcsán kell feltüntetni .  G⋅ejφ{\ displaystyle \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ varphi}}g(t)=ℜ(g_){\ displaystyle g (t) = \ Re ({\ aláhúzás {g}})}g_{\ displaystyle {\ aláhúzás {g}}}g(t){\ displaystyle g (t)}

Megjegyzések és hivatkozások

1. http://www.brouchier.com/Amplitude_Complexe

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">