Véletlenszerű vektor

A véletlenszerű vektort sokdimenziós véletlen változónak is nevezik .

Meghatározás

A véletlenszerű vektor egy valós véletlen változó n- dimenziós általánosítása . Míg a valós véletlen változó egy olyan függvény, amely egy valós számot illeszt az egyes esetekhez, a véletlenszerű vektor egy X függvény, amely megfelel a következő vektoroknak : $\ mathbb {R} ^ {n}$

X: \ omega \ mapsto X (\ omega) = (X_ {1} (\ omega), X_ {2} (\ omega), \ pontok, X_ {n} (\ omega))

ahol $ω$ az $Ω$ általános eleme , az összes lehetséges eshetőség tere.

Az $X 1 , ..., X n$ alkalmazások véletlen változók, amelyeket az X véletlen vektor komponenseinek nevezünk . Ezután $X-$ szel jelöljük $= ($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ .

Egy térkép $X$ a (definiálva $Ω$ ), értékekkel a térben felruházott Borelian törzs , egy véletlen vektor, ha ez a hatás mérhető. $(\ Omega, \ mathcal {F})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Elosztási funkció

Legyen egy véletlenszerű vektor. Elosztási funkcióját a következőképpen határozzuk meg: $X = (X_ {1}, \ pont, X_ {n})$ $F: \ R ^ n \ to \ R$

F (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) = \ mathbb {P} ((X_ {1} \ leq x_ {1}) \ cap \ cdots \ cap (X_ {n} \ leq x_ {n }))

Véletlenszerű vektorok függetlensége

Meghatározás

Két véletlenszerű vektor csak akkor független, ha annak valószínűsége, hogy ezek a vektorok egy adott értéket vesznek fel, megegyezik annak valószínűségének szorzatával, hogy az egyes vektorok egy adott értéket vesznek fel. Sőt, ha a két vektor kovarianciája nulla.

Példa

Legyen valószínűsített tér. Három véletlenszerű vektort állítottunk be. $(\ Omega, \ mathcal {T}, \ mathbb {P})$

{\ displaystyle X (\ Omega) = \ {x_ {1}, ..., x_ {p} \}, \, Y (\ Omega) = \ {y_ {1}, ..., y_ {q} \}, \, Z (\ Omega) = \ {z_ {1}, ..., z_ {r} \}.}

Függetlenségükkel:

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = x_ {i}, Y = y_ {j}, Z = z_ {k}) = \ mathbb {P} (X = x_ {i}) \ cdot \ mathbb {P } (Y = y_ {j}) \ cdot \ mathbb {P} (Z = z_ {k}), \ \ mind i \ -ban [\! [1; p] \!], J \ -ban [\! [ 1; q] \!], K \ -ban [\! [1; r] \!].}

Gauss-vektor

Meghatározás

Az $n$ dimenzió véletlenszerű vektora akkor Gauss-vektor, ha összetevőinek bármely lineáris kombinációja Gauss-változó .

Definíció - Legyen $X = ( X 1 , ..., X n )$ véletlenszerű vektor. $X$ jelentése Gauss , ha, és csak akkor, ha bármilyen szekvencia $( egy 1 , ..., a n )$ a valós számok, a valószínűségi változó

Z = a_ {1} X_ {1} + a_ {2} X_ {2} + \ cdots + a_ {n} X_ {n}

egy Gauss-változó .

Tulajdonságok

Legyen egy Gauss-vektor, értékekkel . Jelöljük a várakozást , és annak kovariancia mátrix . Bármelyik és . Ekkor a véletlenszerű vektor Gauss-féle, annak várható értéke és a kovarianciamátrix . ${\ displaystyle \ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle m \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ M_-ben {n, p} (\ mathbb {R}) \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle b \ \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle AX + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle Am + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ Sigma A ^ {T}}$
Adott egy Gauss-vektor , mindegyik alkotóeleme Gauss-törvényt követ, mivel mindenre felírhatjuk: hol van a Kronecker szimbólum . ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle \ displaystyle i \ itt: [\! [1, n] \!]}$ ${\ displaystyle X_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ delta _ {ij} X_ {j}}$ $\ delta_ {ij}$
Másrészt, az ellenkezője hamis: ha és független valószínűségi változók redukált központú Gauss és Rademacher törvények , elismeri a atom, és ezért nem követi a Gauss törvény. Azonban, és kövesse a csökkentett központú Gauss-törvényt. $x$ $\ varepsilon$ ${\ displaystyle X + \ varepsilon X}$ ${\ displaystyle 0}$ $x$ ${\ displaystyle \ varepsilon X}$
Legyen független Gauss-féle valós véletlen változók családja . Ekkor a véletlenszerű vektor Gauss-féle. ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {i}) _ {1 \ leqslant i \ leqslant n}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {1}, ..., X_ {n})}$

Gauss-vektor felépítése kovariancia-mátrixából

Figyelemre méltó, hogy bármely pozitív definit mátrix a kovariancia mátrix Gauss vektor. Ezenkívül egy egyedi Gauss-vektor meghatározható ebből a mátrixból és egy valós vektorból (amely megfelel a Gauss-vektor-átlag vektorának).

Tulajdonság - Legyen $Γ$ $d \times d$ nagyságú pozitív határozott valós mátrix , $μ$ pedig $d$ méretű vektor .

Van egy egyedi Gauss-vektor, $X = ( X 1 , ..., X n ),$ amelynek $Γ$ a kovarianciamátrix, $μ$ pedig az átlagos vektor.

{\ displaystyle \ Gamma = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {Var} (X_ {1}) & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) & ... & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {n}) \\\ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) és ... & ... & \\ ... &&& \\\ mathrm {Cov } (X_ {1}, X_ {n}) és ... & ... & \ mathrm {Var} (X_ {n}) \\\ end {pmatrix}} {\ text {és}} \ mu = {\ begin {pmatrix} \ mathbb {E} (X_ {1}) \\\ mathbb {E} (X_ {2}) \\ ... \\\ mathbb {E} (X_ {n}) \ end {pmatrix}}}

Jelöljük a $μ-vel$ és $Γ-$ vel társított Gauss-vektort . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

Ezen felül kiszámíthatjuk ennek a Gauss-vektornak a sűrűségét.

Tulajdon - akár . A sűrűség $f$ $X$ $($ $u$ $) van$ kifejezve (a és $d$ dimenziója $X$ ): ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ cfrac {1} {\ sqrt {(2 \ pi) ^ {d} \ mathrm {det} (\ Gamma _ {X})}}}} exp = balra (- {\ dfrac {1} {2}} (x- \ mu) ^ {t} \ Gamma ^ {- 1} (x- \ mu) \ right)}

Végül megjegyezhetjük ezt az összefüggést $X$ Gauss-vektor és egy független redukált, középre rendezett normális eloszlás vektora között :

Tulajdon - akár . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

{\ displaystyle X = AZ + \ mu}

a $A$ négyzetgyöke mátrix $Γ$ , $μ$ vektor eszközök és $Z$ véletlen vektor, amelynek az összetevői függetlenek , és kövesse a normális eloszlás ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$

Jellemző funkció

Kiszámíthatjuk a Gauss-vektor jellegzetes függvényét:

Tulajdon - akár . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

A karakterisztikus függvény $Φ X ( u ) van$ kifejezve (a ): ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle \ Phi _ {X} (u) = \ exp \ left (iu ^ {t} \ mu - {\ frac {1} {2}} u ^ {t} \ Gamma u \ right)}

Különösen a Gauss-vektor jellemzői olvashatók közvetlenül a Fourier-transzformáción. Valóban, ha egy jellemző funkciójú Gauss-vektor a következő: ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$

{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ Phi _ {X} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) = \ exp \ left (i \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu _ {i} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } \ Gamma _ {i, j} x_ {i} x_ {j} \ jobbra}}

Ekkor az átlagos vektorát a kovarianciamátrixa adja meg . ${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma = (\ Gamma _ {ij}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}$

Megjegyzések és hivatkozások

Gauss-vektorok, Felkészülés az összesítésre Bordeaux 1, Jean-Jacques Ruch

Bibliográfia

Patrick Bogaert, Valószínűség a tudósok és mérnökök számára, De Boeck Egyetem, 2006, Brüsszel
Alain Combrouze , Valószínűségek1, Presses Universitaires de France, 1996, Párizs
Yves Ducel, Bevezetés a valószínűség matematikai elméletébe, Ellipses , 1998, ( ISBN 2-7298-9820-4 )
Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Korrigált gyakorlatok a valószínűségelméletben, Ellipses , 1996, ( ISBN 2-7298-4688-3 )

Belső linkek

Külső linkek