Hullám sebessége

A hullám olyan zavar, amely egy közegben mozog. Két hullámsebesség társítható hozzá , nevezetesen a fázissebesség és a csoportsebesség, amelyek néha nem egyenlőek:

Homogén közegben, a terjedési egy adott irányba egy monokromatikus (vagy szinuszos) hullám eredményeket egy egyszerű fordítása a szinuszgörbe sebességgel nevezett fázis sebességét vagy celerity . Nem diszpergáló közegben ez a sebesség nem függ a frekvenciától. Különböző frekvenciájú (vagy pulzációs) monokromatikus hullámok egymásra helyezésével összetettebb hullámokat kapunk (lásd Spektrális elemzés ). Amikor a fázissebesség független a frekvenciától, a keletkező hullám is átmegy profiljának globális fordításán, ez deformáció nélkül.
Diszperz közegben, vagy ha a terjedési irányok változatosak (1-nél nagyobb méretben), a megfelelő komponensek diszpergálódnak. Ebben az esetben gyakran lehetséges azonosítani az alkatrészek fázissebességétől eltérő csoportsebességgel mozgó hullámcsomagokat (vagy hullámcsoportokat) .

Fázissebesség

A fázis sebessége a hullám az a sebesség, amellyel a fázisban a hullám halad az űrben. A hullám egy adott pontjának (pl. Csúcs) kiválasztásával ez az immateriális pont fázissebességgel mozog a térben. Az ω hullám lüktetésének és a $k$ hullámok számának függvényében fejezik ki :

v _ {\ phi} = \ frac {\ omega} {\ mathrm {Re} (k)}

A jelölés a $k$ komplex valós részét képviseli . A $k$ képzeletbeli része, amelynek csak az amplitúdó csillapításának van hatása, csak a hullámmodul valós részét kell figyelembe venni. Most tegyük fel, hogy $k$ valós. Kiindulva egy térben és időben meghatározott monokromatikus hullámból , vegyünk egy hullámfelületet, amely az összes pontból áll, amelyek értéke azonos és következésképpen azonos a fázis értékével : ez a fázisterv . Ha a fázissík időben és időben helyezkedik el , akkor: $\ mathrm {Re} (k)$ $\ psi (x, t) = \ psi _ {{0}} \ cos (\ omega t-kx + \ phi _ {{0}}) \,$ $\ psi \,$ $\ phi \,$ $\ phi \,$ $x \,$ $t \,$ $x + dx \,$ $t + dt \,$

\ phi = \ omega t-kx + \ phi _ {{0}} \,.

\ phi = \ omega (t + dt) -k (x + dx) + \ phi _ {{0}} \,.

Tehát különbség szerint: azaz $0 = \ omega dt-kdx \ ,,$

v _ {{\ phi}} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {\ omega} {k}}.

Elektromágneses hullámok esete

Egy vákuum , a fázis sebessége az elektromágneses hullám egyenlő állandó , amely a fény sebessége . Átlátszó közegben olyan tényezővel csökken, amely definíció szerint megegyezik a közeg n törésmutatójával : $vs.$

n = {\ frac {c} {v _ {{\ phi}}}} \,

Ezen túlmenően, mivel ez a közeg általában diszpergáló, az index függ a hullámhossztól , ami a csoportsebesség fogalmának bevezetéséhez vezet, amelyet meg kell jegyezni , ez akkor, amikor a megfigyelt hullám a szomszédos frekvenciák monokromatikus hullámainak szuperpozíciója vagy lineáris kombinációja . Valóban, egy adott pillanatban a komponensek egymásra épülése bizonyos pontokban konstruktív , másokban viszont pusztító . $v_ {g} \,$

Csoportsebesség

A fenti, a fázis sebessége monokromatikus hullám egyenlő viszonyítva az pulzálás, hogy annak hullámszám ( hullám vektor norma ).

Vizsgáljuk meg a legegyszerűbb esetet, amikor egy hullám a szomszédos pulzációk két hullámának és az egység amplitúdójának egymásra helyezéséből áll (a kevéssé beavatkozó fázisokat figyelmen kívül hagyják):

\ psi (x, t) = \ cos (\ omega _ {1} t-k_ {1} x) + \ cos (\ omega _ {2} t-k_ {2} x). \,

A trigonometria klasszikus összefüggését alkalmazva, amely szerint a koszinuszok összege egyenlő a koszinuszok szorzatával ( Simpson-képletek ), a következőket kell megadni :

\ psi (x, t) = 2 \ cos \ balra ({\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ {2} + k_ {1 }} {2}} x \ jobbra) \, \ cos \ balra ({\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ {2} - k_ {1}} {2}} x \ jobbra).

Így a figyelembe vett hullám két kifejezés szorzatából áll:

Az első egy monokromatikus hullám, amelynek fázissebessége megegyezik a két komponens fázissebességének a hullámvektoraik szerinti súlyozott átlagával. $v _ {{\ phi}} = {\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {k_ {2} + k_ {1}}}$
A második egy másik monokromatikus hullám, amelynek fázissebessége . Ezután az első ciklus amplitúdó-modulátoraként működik . $v _ {{\ phi}} = {\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {k_ {2} -k_ {1}}}$

Ezáltal olyan ütemjelenség keletkezik, amely révén a két komponens tulajdonságaihoz közeli jellemzőkkel rendelkező szinuszoidot az alacsonyabb pulzációjú szinuszoid modulálja. A két impulzushoz és a komponensek két hullámvektorához közeli értékeknél a csoportsebesség megközelítőleg egyenlő $v_ {g} = {\ frac {{\ mathrm d} \ omega} {{\ mathrm d} k}}.$

Sok monokromatikus hullám szuperpozíciójának általános esetben ez a csoportsebesség egy szinuszosnál bonyolultabb burkot érint. Lehetőség van a csomagok hullámzására vonatkozó korábbi megközelítés általánosítására több dimenziós térben.

Az a reláció, amely a pulzációt a hullámvektor függvényében fejezi ki, a diszperziós reláció . Amikor a pulzáció egyenesen arányos a hullámvektor modulussal, és az utóbbiak mind kollinárisak , akkor a fázissebesség független a pulzációtól, és a csoportsebesség megegyezik ezzel a közös fázissebességgel. Ellenkező esetben a hullám burkolata a terjedés során deformálódik.

Elektromágneses hullámok esete

Elektromágneses hullám esetén a fázissebesség és a csoportsebesség a közelítéssel függ össze (csak alacsony frekvenciákra érvényes):

v_ {g} v _ {{\ phi}} = {\ frac {c ^ {2}} {n ^ {2}}}

hol van a fény sebessége vákuumban és a közeg törésmutatója. $vs.$ $nem$

A fázissebességtől eltérő csoportsebesség alapja a diszperzió fontos hatás, amelyet figyelembe vesznek az információk optikai szálak általi továbbításakor .

A csoportsebességet általában az a sebesség jelöli, amellyel az energiát vagy információt egy hullám hordozza. Ez a leírás általában érvényes, bár továbbra is lehetséges olyan kísérleteket végrehajtani, amelyek során a meghatározott anyagokba küldött lézerimpulzusok sebessége nagyobb, mint a jelátvitel sebessége.

Információs sebesség

Bizonyos körülmények között az elektromágneses hullám fázissebessége nagyobb lehet, mint a vákuum fénysebessége: ez az eset áll fenn, amikor bizonyos frekvenciák esetében a közeg törésmutatója kisebb, mint 1 (ezt a jelenséget X- sugarak). Egy ilyen helyzet azonban nem jár energia vagy információ átadásával a fénynél nagyobb sebességgel.

Valójában az információ sebességét a két sebesség közül az alacsonyabb korlátozza, vagyis a fentiekben megadott összefüggés azt jelenti: $v _ {{\ text {info}}} = \ perc (v _ {{\ phi}}, v_ {g})$

v _ {{\ text {info}}} \ leq {\ frac {c} {n}}.

Tegyük fel, hogy erről meggyőződtünk . Ebben az esetben az információ, amelyet a hullám egyes komponensei hordoznának (sebességgel ), eltűnnek a modulációs folyamatban, mivel ez időnként felülírja ezen komponensek amplitúdóját. Így az információt csak a hullámcsoport továbbíthatja. Hasonló érvelést tarthatunk, amikor . $v_ {g} <v _ {{\ phi}}$ $v _ {{\ phi}}$ $v_ {g}> v _ {{\ phi}}$

Történelmi

A csoportsebesség és a fázissebesség megkülönböztetését először 1880-ban vezette be Georges Gouy .

Hivatkozások

Émile Picard , „ Hódolat Georges Gouy emléke előtt ”, Heti beszámolók a Tudományos Akadémia üléseiről , t. 182, N o 5,1 st február 1926, P. 293 ( online olvasás )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

Animáció a Futura-Sciences-en