Az algebra a matematika olyan ága, amely kifejezheti a műveletek tulajdonságait, valamint az egyenletek és eredmények kezelését az algebrai struktúrák tanulmányozása során . A figyelembe vett tanulmányi időtől és szinttől függően a következőképpen írható le:
A alkalmazási területe algebra terjed számtani problémák, amelyek foglalkoznak a számokat, hogy azok a geometriai eredetű, mint például a analitikus geometria a Descartes vagy komplex számok . Az Algebra tehát sarkalatos helyet foglal el az aritmetika és a geometria között, lehetővé téve a digitális tartomány kiterjesztését és egységesítését.
Az „algebra” szó egy 825 körül írt mű címéből származik, Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala („ Számítás összeállítása helyreállítással és összehasonlítással ”), az eredeti matematikus perzsa Al- Khwarizmi . Ennek a könyvnek gyakorlati célja volt: az öröklés kiszámítása, földmérés , kereskedelem stb., És része volt az iszlám tudomány és technológia térnyerésének .
Az arab al-djabr ( الجبر ) szó jelentése: " töréscsökkentés ", "(a darabok újraegyesítése)", "rekonstrukció", "kapcsolat", "helyreállítás", visszapattanás. Matematikai összefüggésben egy egyenlet átalakítására utal egy kifejezés hozzáadásával. A mai nyelven, például lehet alakítani úgy, hogy a mennyisége b mindkét oldalán az egyenlet csak pozitív értelemben: .
A latin algebra szó eredete, amely franciául "algebra" szót adott. A spanyol , a szó algebrista kijelöli mind azoknak, akik gyakorolják algebrai fogkő és a bonesetter (azok, akik tudják, hogyan lehet csökkenteni törések ).
Már az egyiptomi vagy babiloni ókor , írástudók voltak eljárásai találni ismeretlen mennyiségű bizonyos feltételek. Így az ókori babilóniaiak és egyiptomiak már tudták, hogyan kell megoldani az első vagy a második fokozatú egyenletekké lefordítható problémákat . A babiloniak az algoritmusok technikáját is alkalmazták , méghozzá jóval az Euklidész előtt .
Például a Rhind papirusz (a British Museum in London , nyúlik 1650 BC ) az alábbi nyilatkozatot:
- 100 kenyeret kell felosztanunk tíz ember között, köztük navigátor, művezető és őrző, mindhárman kettős részesedést kapnak. Mit adjunk mindegyiknek? "
Egy másik példában egy babiloni probléma olyan négyzet oldalát kéri, hogy 870-et kapjunk, ha kivonjuk azt az oldalt a tér területéből. Algebrai kifejezésekre lefordítva ez a következő másodfokú egyenlet megoldását jelenti :, ahol "x" a keresett oldalt jelöli.
A Kr. U. III . Században a Diophantus az előszimbolikus algebra egy formáját gyakorolja, egy ismeretlent vezet be, amelyen számításokat végez.
A görög matematika "elemzésnek" nevezte azt a módszert, amely egy ismeretlen elnevezéséből és manipulálásából áll, hogy visszatérjen a gyakorlat által előírt feltételektől az ismeretlen tulajdonságainak azonosításához, amelyek aztán meghatározhatók és ismertté válnak.
A könyvben Kitab al-mukhtaṣar Fi ḥisāb al-Jabr wa-l-muqābala ( " összefoglalása számítása szerint felújítás és összehasonlítása ") által matematikus Al-Khwarizmi írt Bagdadban , uralkodása alatt Al-Ma'mun (813- 833) , az alkalmazott módszerek nagy része elemi geometriai eredményekből származik. Emiatt ezeket az első eredményeket gyakran a geometriai algebra ágába soroljuk .
A legfontosabb újítás az „egyenlet” fogalmának bevezetése volt. Ez egyenlőség volt két matematikai kifejezés között, amelyek kifejezésükben ismert számokat és ismeretlen mennyiségeket tartalmaznak. Ilyen egyenlőség jelentette a probléma által az ismeretlen felfedezéséhez feltett feltételek matematikai nyelvre történő lefordítását. Például: "mi az a négyzet, amely tíz gyökerével együtt 39-gyel egyenlő összeget ad? " , Probléma, amelyet le kell fordítanunk a kortárs algebrára (pontosabban" átírás "és nem fordítás, mert a numerikus kitevõkben csak a Descartes-szal kezdõdik) az alábbi formában :" x "megjegyzésével a négyzet. Különleges szimbólumokat hoznak létre négyzet, kocka, négyzetgyök, köbgyök jelölésére: a numerikus kitevõ, még egyszerûen egész szám fogalma sem merül fel.
A legenda néha attribútumokat Leonardo Pisa ismert , mint Fibonacci behozatalát az úgynevezett arab számokkal, hogy ő lett volna során felfedezett egy afrikai utazás. Ennek elfelejtése, hogy Gerbert d'Aurillac , aki Cordobában tanulmányozta őket, vállalta, hogy rákényszeríti őket a kereszténységre, miután 1000-ben Pápává vált II. Sylvester néven. Ugyanakkor a Fibonacci Liber abaci című könyv határozza meg a híres Fibonacci-sorrendet, és elősegíti az arab számok és a tizedesrendszer használatának népszerűsítését Európában.
Gerbert d'Aurillac pápa 1000 év körül nullát hozott Spanyolországból , ezt az indiai találmányt Al-Khwarizmi és Abu Kamil matematikusok maguk is ismerték az egész Birodalomban, és Cordobában is .
Ez a helyzetszámozás jól befejezi az algebrai számítást, először olyan algoritmusok segítségével (az "Al-Khwarizmi" -ből eredő kifejezés, de az Euclid algoritmusában már használt folyamat ), amelyek fokozatosan felváltják az l ' abacus használatát . Olasz matematikus a XVI th században ( del Ferro , Tartaglia és Kardántengely ) egyenlet megoldásához a 3 edik mértékben (vagy köbös egyenlet ). Ferrari , hallgató Kardántengely megoldja az egyenlet a 4 th mértékben (vagy negyedfokú egyenlet ), és a módszer javítja Bombellinél . A század végén a francia Viète felfedezte, hogy a gyökerek szimmetrikus funkciói a polinomegyenlet együtthatóihoz kapcsolódnak.
A XVII . Századig az algebra tágan jellemezhető az egyenletek eredményeként vagy kezdeteként, valamint az aritmetika kiterjesztéseként ; főleg az algebrai egyenletek felbontásának tanulmányozásából és az ezt lehetővé tevő szimbolikus műveletek progresszív kodifikációjából áll. François Viète (1540-1603), „akit algebrai nyelvünk alapítójának tartanak” , azáltal ismerkedik el, hogy az ismeretleneket és a határozatlanokat betűkkel veszi tudomásul.
Míg a Viète-ben a hatalmakat latin szavakkal jegyezték fel, René Descartes kitevők formájában jegyzi meg őket, és ez az írás a lényeges. Többé-kevésbé megtartottuk Descartes szó szerinti jelöléseit, amelyek valódi algebrai szimbolikát alkotnak. Az "algebra" kifejezés ekkor válik a "szó szerinti számítás" szinonimájává. René Descartes és Pierre de Fermat bemutatták azt is, amit a közép- és középiskolákban mindig „analitikai geometriának” neveznek, más szóval a koordináták geometriáját: a görbéket és a felületeket olyan egyenletek képviselik, amelyeket az algebra módján manipulálnak.
A matematikusok fokozatosan elkezdtek "képzeletbeli" számokat használni egyenleteik gyökereinek kiszámításához, néha még akkor is, amikor az utóbbiak nagyon valóságosak voltak.
Döntő lépés volt a tört kitevők megírásával , majd gyorsan valós és képzeletbeli . Ez lehetővé teszi Eulernek , hogy elmondja híres képletét, amely öt figyelemre méltó számot kapcsol össze. Ezeken a képzeletbeli kitevőkön keresztül az algebrai világ és a trigonometrikus világ zökkenőmentes összekapcsolódása megy végbe.
Figyelembe véve a megoldást egyenletek, amelyek komplex számok vezet d'Alembert , hogy az állami (1746), és Gauss bizonyítani (1799) az algebra alaptétele :
Tétel - Bármely n fokú polinomiális egyenletnek komplex számokban pontosan n gyöke van (mindegyik a lehetséges multiplicitásával számol).
A tétel a mai formájában megfogalmazódik:
Tétel - Az összeadás és szorzás által biztosított komplex számok mezője algebrailag bezárt .
A XIX . Századot ma már a számíthatóság gyökerei érdeklik, különösen az a képesség, hogy ezeket képletalapú gyökökön keresztül fejezzék ki. Az 5. fok egyenleteit érintő kudarcok arra késztetik Abel matematikust ( Vandermonde , Lagrange és Gauss után ), hogy elmélyítsék az átalakításokat az egyenlet gyökein. Évariste Galois (1811 - 1832) egy káprázatos memoárban tanulmányozza a polinomegyenlet gyökereinek permutációinak csoportját, és oda vezet, hogy a gyökök feloldják az 5-ös vagy annál nagyobb fokú egyenleteket.
Ettől kezdve olyan tárgyakon kezdtünk számolni, amelyek már nem feltétlenül számok. A modern algebra termékeny utat kezd: Boole létrehozza a nevét viselő algebrát , Hamilton feltalálja a kvaternereket , az angol matematikusok, Cayley , Hamilton és Sylvester pedig mátrixszerkezeteket tanulnak. A lineáris algebra , amely régóta korlátozódik a 2 vagy 3 ismeretlen lineáris egyenletrendszerek megoldására, a Cayley-Hamilton-téttel indul ("Minden négyzetmátrix együtthatóval vagy megsemmisíti a jellegzetes polinomját "). Ott kövesse a transzformációk változása bázis, a diagonalizáció és trigonalization mátrixok, és a számítási módok, amelyek táplálja, a XX E században, a programozási a számítógépek. Dedekind meghatározza az ideálokat (amelyek már a csíránál is többet tartalmaznak az ideális komplex szám Kummer által bevezetett fogalmában ), amelyek lehetővé teszik a nagy számtani tételek általánosítását és újrafogalmazását. A lineáris algebra multilináris és tenzor algebra általánosít .
A XX . Század elején a német Hilbert és a francia Poincare vezetésével a matematikusok megkérdőjelezik a matematika alapjait: a logika és az axiomatizáció áll a középpontban. A Peano axiomatizálja az aritmetikát, majd a vektortereket . A szerkezet a vektor tér és a szerkezetét algebra vizsgáltuk mélységét Artin 1925-ben, bázis eltérő területeken , vagy , és egyre inkább elvont üzemeltetők. Tartozunk Artinnak is, akit a kortárs algebra atyjának tartanak, alapvető eredményekkel az algebrai számok terén . A nem kommutatív mezők meghatározzák a gyűrű modulusszerkezetét és a klasszikus eredmények általánosítását vektortereken.
A Weil , Cartan és Dieudonné által vezetett francia " Nicolas Bourbaki " iskola vállalja, hogy axiomatikus alapon átírja az összes matematikai tudást: ez a gigantikus munka a halmazelmélettel és az algebrával kezdődik a század közepén, és megerősíti az algebra mint egyetemes nyelv matematika. Paradox módon, miközben a publikációk száma az egész világon exponenciálisan növekszik , míg egyetlen matematikus sem állíthatja, hogy a tudás nagyon kis részét uralja, a matematika még soha nem tűnt olyan egységesnek, mint manapság.
Ezeknek a struktúráknak a vizsgálata egységes módon, az univerzális algebra keretein belül végezhető el .
Az algebra ismeretelméleti tanulmányát Jules Vuillemin vezette be .
Az „algebrai” kifejezést kiterjesztve a matematika más részeire is, amelyek objektumai vagy módszerei az algebra alá tartoznak.