Peirce törvénye

A logika szerint Peirce törvénye az a javaslat, ahol az implikáció kijelöli . Charles Sanders Peirce logikus és filozófus javasolta . ${\ displaystyle ((A \ - B) \ - A) \ - A}$ $\ nak nek$

Ez a klasszikus logikában érvényes képlet érvénytelen az intuitionista logikában . Ez azt jelenti, hogy noha Peirce-törvénye nem utal kifejezetten az elutasításra, a bánásmódunkkal közvetlenül összefügg. Így megmutathatjuk, hogy az intuíciós logikában egyenértékűség mutatkozik Peirce törvénye, a kettős tagadás megszüntetésére vonatkozó szabály vagy a kizárt harmadik fél elve között . Ezen elvek közül csak egy hozzáadása az intuíciós logikához helyreállítja a klasszikus logika összességét.

Peirce törvényének igazolása a klasszikus logikában

A klasszikus logika egyik alapelve az abszurd gondolkodás . Egy tétel bemutatásához feltételezzük, hogy ez hamis. Ha ellentmondásba kerülünk, akkor következtetünk . $NÁL NÉL$ $NÁL NÉL$ $NÁL NÉL$

Annak bizonyítására, hogy az implikáció érvényes, feltételezzük, és be kell mutatnunk, hogy ez igaz. Érveljünk abszurd módon, és tegyük fel, hogy ez hamis. De ha hamis, akkor viszont a következtetés igaz. Amint feltételeztük, és a hipotézis igaz, a következtetés is igaz, ezért ellentmondás. ${\ displaystyle ((A \ - B) \ - A) \ - A}$ ${\ displaystyle ((A \ - B) \ - A)}$ $NÁL NÉL$ $NÁL NÉL$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle A \ to B}$ ${\ displaystyle ((A \ - B) \ - A)}$ ${\ displaystyle A \ to B}$ $NÁL NÉL$

Bizonyítható néhány olyan elv alkalmazásával is, mint például az ellentmondásos, De Morgan törvényei és a kizárt harmadik elve, amely a klasszikus logikában is érvényes. Peirce törvénye valóban egyenértékű:

${\ displaystyle \ balra (\ neg A \ balra (\ balra (A \ B-re \ jobbra) \ ék \ neg A \ jobbra \ jobbra)}$

${\ displaystyle \ Balra mutató nyíl balra (\ neg A \ balra (\ balra (\ neg A \ vee B \ jobbra) \ ék \ neg A \ jobbra \ jobbra}}$

${\ displaystyle \ Balra mutató nyíl balra (\ neg A \ balra (\ neg A \ vee \ balra (\ neg A \ ék B \ jobbra) \ jobbra \ jobbra}}$

${\ displaystyle \ Balra mutató nyíl balra (A \ vee \ neg A \ vee \ balra (\ neg A \ B ék \ jobbra) \ jobbra}}$

Ez a kizárt harmadik fél elve szerint igaz . ${\ displaystyle A \ vee \ neg A}$

Intuitionista logika és Peirce törvénye

Peirce törvénye az intuíciós logikában nem érvényes. Az intuíciós logika az alábbiak szerint kezeli a tagadásokat (feltételezzük, hogy az olvasó ismeri azokat a jelöléseket, amelyeket például a cikk kalkulusában határozunk meg )

Ha állításunk és tagadásunk is van , akkor van egy ellentmondásunk, amelyet megjegyezünk ( a tagadás megszüntetéseként ismert szabály ); $NÁL NÉL$ $\ nem A$ $\ bot$
Ha egy tétel ellentmondáshoz vezet, akkor ez érvényes ( a tagadás bevezetéseként ismert szabály ). Ebben az értelemben nem más, mint a ; $NÁL NÉL$ $\ nem A$ $\ nem A$ ${\ displaystyle A \ to \ bot}$
Ha egy érvelés ellentmondással zárul le, akkor ebből ki lehet vezetni bármely állítás ( az ellentmondás megszüntetésének nevezett szabály ) érvényességét.

Vegye figyelembe a következő szabályokat:

A kettős tagadás megszüntetése : ${\ displaystyle \ lnot \ lnot A \ to A}$
Harmadik fél kizárva : $A \ lor \ lnot A$
Ellentét : ${\ displaystyle (\ lnot A \ to \ lnot B) \ to (B \ to A)}$

Helyezzük magunkat az intuitionista logika keretei közé (együtt , tagadással, diszjunkcióval és kötőszóval), és egészítsük ki ezt a logikát Peirce törvényével. Megmutatjuk, hogy a három korábbi szabály érvényes, és hogy megkapjuk a klasszikus logikát. Emlékeztetek arra, hogy ha átadjuk Peirce törvény helyett az ellentmondó állítás , megkapjuk a következő változat (meghívásával magunkat, hogy van ). $\ bot$ $B$ $\ bot$ ${\ displaystyle (\ lnot A \ to A) \ to A}$ $\ nem A$ ${\ displaystyle A \ to \ bot}$

Bizonyítás a kettős tagadás kiküszöbölésére : Legyen a hipotézis . Tegyük fel továbbá , hogy ellentmondást kapunk (egy állítást és annak tagadását). Az abszurd megszüntetésének szabályával arra következtetünk . Mivel ettől vezetjük le , arra a következtetésre jutunk a hatása (bevezetésének a hatása). A Peirce-törvény fenti változatát alkalmazva arra következtetünk . Ezért megmutattuk . $\ lnot \ lnot A$ $\ nem A$ $NÁL NÉL$ $\ nem A$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle \ lnot A \ to A}$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle \ lnot \ lnot A \ to A}$

A kettős tagadás kiküszöbölése alapozza meg az abszurd érvelést . Valóban, ha ellentmondáshoz vezet, akkor a tagadás bevezetésének szabályával rendelkezünk, és ezért a kettős tagadás megszüntetésével. Megmutattuk tehát, hogy Peirce törvényének hozzáadása az intuitionista logikához klasszikus logikát ad. $\ nem A$ $\ lnot \ lnot A$ $NÁL NÉL$

A kizárt harmadik fél igazolása : valójában a kettős tagadás vagy az abszurd érvelés megszüntetésének közvetlen következménye. Ha van, akkor van , ami ellentmondásos. Tehát van és ezért a kettős tagadás megszüntetésével. ${\ displaystyle \ lnot (A \ lor \ lnot A)}$ ${\ displaystyle \ lnot A \ land \ lnot \ lnot A}$ ${\ displaystyle \ lnot \ lnot (A \ lor \ lnot A)}$ $A \ lor \ lnot A$

Az ellentmondás igazolása : a kettős tagadás megszüntetésének is a következménye. Vagy a javaslat . Mutassuk meg . Erre tegyük fel és mutassuk meg . Ha lenne, akkor volna , ami ellentmond a hipotézisnek. Megvan tehát , és a kettős tagadás megszüntetésével megvan . ${\ displaystyle \ lnot A \ to \ lnot B}$ ${\ displaystyle B \ to A}$ $B$ $NÁL NÉL$ $\ nem A$ ${\ displaystyle \ lnot B}$ $\ lnot \ lnot A$ $NÁL NÉL$

Hivatkozások

CS Peirce, „ A logika algebrájáról : hozzájárulás a jelölés filozófiájához ”, American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Sokszorosítva: Charles Sanders Peirce 3.359–403 összegyűjtött iratai és Charles S. Peirce írásai: A kronológiai kiadás 5., 162–190.
Valójában az intuitionista logikában a De Morgan-törvény gyengült formája van, nevezetesen ez , de nincs fordítva. ${\ displaystyle \ lnot (A \ lor B) \ to (\ lnot A \ land \ lnot B)}$

Lásd is