A matematika , a paradoxon Burali-Forti megjelent 1897-ben jelöl építési ami bizonyos elméletek készletek vagy elméletek túl naiv típusok egy antinómiában, ez azt jelenti, hogy az elmélet ellentmondásos (mi is mondjuk következetlen vagy ellentmondásos ). Röviden elmondva kijelenti, hogy mivel meghatározhatjuk a rendek halmazának felső határát , ha az összes rend halmaza létezik, akkor meghatározhatunk egy sorszámot, amely szigorúan nagyobb, mint az összes rend, ezért ellentmondás.
Az érvelés ezért az ordinális, vagyis lényegében a jó rend fogalmát használja : technikaibb, mint Russell paradoxona , bár érve nem áll olyan távol ez utóbbitól, amely egyszerűbb. A Burali-Forti paradoxon azonban az első a közölt halmazelméleti paradoxonok közül, hat évvel Russell paradoxona előtt, erről Georg Cantor levelezésében beszámol, a legnagyobb bíboros paradoxonnal együtt.(Cantor paradoxonjaként ismert), ugyanezekben az években. Ráadásul a Burali-Forti paradoxon közvetlenül a rend fogalmát hozza játékba, és nem az összetartozás fogalmát (még akkor is, ha manapság ez a két fogalom egybeesik a rendek esetében, ahogyan azokat a halmazelmélet meghatározza). Így egyes elméletek következetlenségét a Burali-Forti paradoxon közvetlen levezetésével állapították meg. Így mutatta be John Barkley Rosser 1942- ben Willard Van Orman Quine új alapítványainak egyik első változatának következetlenségét .
A paradoxon a sorszám fogalmát használja, a természetes egész szám fogalmának általánosítását, mivel ez jó rendet képvisel . Bármely jó megrendeléshez egyetlen és csak egy sorozatot társítunk, amely "azonos" sorrendszerkezettel rendelkezik. Az egész számok a véges rendesek. A természetes számok halmaza jól rendezett, sorszámát általában ω-val jelöljük. A sorszám fogalma eltér a kardinális szám fogalmától, amint a végtelenbe megyünk (az elkülönült végtelen ordinálák ugyanazzal a bíborossal rendelkezhetnek).
A sorszám fogalmából fakadó okokból tudjuk, hogy a rendek összessége természetes módon rendezett. Ha beismerjük, hogy az összes ordinális halmaz létezik, megmutatjuk, hogy a záró tulajdonságok miatt, amelyeket egy ilyen halmaz szükségszerűen ellenőriz, az e jó rendnek megfelelő sorszám szigorúan nagyobb lenne, mint az egyes elemei. Ezért ellentmondással állunk szemben: a társított sorszámnak szigorúan nagyobbnak kell lennie, mint maga.
Hogy többet mondjak, kicsit pontosabban kell meghatároznunk a jó rendek és rendek tulajdonságait . Mindenekelőtt meghatározhatjuk a rend izomorfizmus fogalmát. Két jól rendezett halmazok ( A , < A ) és ( B , < B ) izomorfak ha létezik egy bijekciót f a A , hogy a B , amely hordozza a sorrendben szerkezettel, vagyis egyre nagyobb bijekciót származó A in B :
x < A y ⇔ f ( x ) < B f ( y ).A sorszám, ha akarja, jó rend "az izomorfizmusig"; néha a rend típusáról beszélünk . Anélkül, hogy részletes részletekbe menne, a rendeseket úgy kell meghatározni, hogy bármely jó rend érdekében egyetlen és egyetlen rendes izomorf legyen a jó rendnek.
A jó megrendelések hasznos fogalma, amely lehetővé teszi azok összehasonlítását, az a kezdő szakasz vagy a kezdeti szegmens . Hívjuk a kiindulási rész vagy kezdeti szakasza egy rendezett halmaz ( E <) (döntünk a szigorú sorrendben) egy részhalmaza F az E , amely, ha elemet tartalmaz, E , minden kisebb elemek:
X ∈ E ⇒ (∀ y < x ) y ∈ F .Az ( E , <) tiszta felső halmaz nem üres felső halmaz, és különbözik az összes E-től . A jól rendezett készlet nem indulási szakaszát a rá korlátozott sorrend jól rendezi. Két jó sorrend összehasonlításához kijelenthetjük, hogy egy jól rendezett halmaz ( A , < A ) szigorúan kisebb, mint egy jól rendezett halmaz ( B , < B ), ha ( A , < A ) izomorf a ( B , < B ). Ez a kapcsolat szigorú sorrend , tranzitív, a játékban lévő két morfizmus összetételével és irreflexív .
Javaslat (irreflexivitás). Egy jól rendezett halmaz nem lehet izomorf a saját kezdő szakaszaihoz képest.Ezt a felvetést a játékban lévő jó rendre való indukció bizonyítja (vagyis lényegében a jó rend meghatározásának felhasználásával).
Alapvető fontosságú, mivel Cantor, hogy a hármas felosztás . Kimondja, hogy ha a korábbi szigorú rendet a rendesekre korlátozzuk, akkor egy teljes rendet határoz meg (vagy hogy a jó rendeken teljes rendet határoz meg az izomorfizmusig, ami ugyanannak felel meg).
Javaslat (trichotomia). Két jól rendezett halmaz ( A , < A ) és ( B , < B ),Ezt a tulajdonságot az indukcióval történő jó definíció elvének megfelelő demonstrációja bizonyítja .
Megmutattuk tehát, hogy miként határozhatjuk meg a teljes sorrendet a rendek halmazán: az α sorszám szigorúan kisebb, mint a β rendes, ha izomorf a β saját kezdő szakaszához képest. De ez a megrendelés is jó megrendelés. Valóban, legyen A egy nem üres halmaza ordinals és elemeként α az A . Az eredmények azt mutatják, hogy az összes sorrendi az A -nél kisebb vagy egyenlő α van, hogy izomorfizmus szereplő α tehát van egy kisebb tagja, amely a legkisebb eleme A .
Tétel (legkisebb elem). Bármely nem üres rendtartománynak van egy kisebb eleme.A rendek halmaza ezért természetesen jól rendezett: minden nem üres részhalmazának van egy kisebb eleme. Erre a halmazra korlátozva levezethetjük a Burali-Forti paradoxont, ha megkérjük, hogy ellenőrizze ezt a két záró tulajdonságot (az első valójában elegendő lenne):
A jó rendű utód ( E , <) az a jó megrendelés, amelyet úgy kapunk, hogy E "végén" új elemet, azaz e- t adunk hozzá , vagyis azt , hogy E bármely eleme szigorúan kisebb e- nél . Definíció szerint szigorúan nagyobb, mint a helyes sorrend ( E , <). Az ( E , <) összes jó utódrendje természetesen izomorf, ezért meghatározhatjuk a sorszám utódját.
Az első tulajdonság biztosítja, hogy a rendek halmazán elért jó sorrend nagyobb vagy egyenlő legyen minden elemével, a második, hogy ha az elsőt is kielégíti, akkor szigorúan felülmúlja őket, mivel felülmúlja az utódot minden egyes eleme.
Az összes ordinális halmaz szükségszerűen igazolja ezt a két záró tulajdonságot, tehát nem létezhet paradox büntetés alatt. Most a "sorszámú" tulajdonságot képesnek kell lennie formálisan meghatározni. A megértés axiómarendszerének korlátlan használata ezért ellentmondáshoz vezet.
Csakúgy, mint Russell paradoxonjában, amelynek ráadásul egy bizonyos módon logikai felépítése van (ez az átlós gondolkodás kérdése), a Burali-Forti paradoxont úgy oldják meg, hogy korlátozzák a megértés axiómáinak sémáját . Ha az ordinális természetes definícióját követjük, akkor azt az előző bekezdésben leírt rendbeli izomorfizmus jó osztályú izomorfizmusának osztályaként határoznánk meg. De a megértési séma korlátozása miatt az izomorf osztály nem halmaz. Az egyelemes rendű izomorf osztály már összesíti az összes szingulettet (szigorú sorrendként az üres relációval ellátva). Az újraegyesülés axiómája alapján megkapnánk az összes halmaz halmazát, ezért Russell paradoxona a megértési séma szerint.
Lehetséges azonban egy reprezentatív izomorf osztályonkénti reprezentatív felépítés: ezek a von Neumann-rendek . Ezután meghatározhatjuk a halmazelmélet nyelvén a „rendesnek lenni” tulajdonságot (a von Neumann sorszám a tagság által rendezett transzitív halmaz ). Ezért beszélhetünk a rendek osztályáról . Már nincs ellentmondás, a Burali-Forti paradoxon a következőképpen alakul:
a rendek osztálya megfelelő osztály .A Burali-Forti paradoxont először a szerző 1897-ben megjelent cikkében tették közzé, de a fentiektől eltérő formában. Minden arra utal, hogy Cantor már korábban ismerte ezt a paradoxont. Az 1895-ös dátumot vagy David Hilbert 1896-ból származó levelét gyakran hivatkozásként említik. Úgy tűnik, hogy Philip Jourdain volt az, aki előbbre lépett. Gyakran idézünk Felix Bernstein , aki Cantor hallgatója volt , 1905-ben megjelent cikkét , de ez Jourdainra utal. Például Jean Cavaillès idézi Bernsteint. Bár ezek az időpontok valószínűek, 1896-ból származó levelet nem találtak. Hilbertnek 1897-ben írt levelében Cantor magyarázatát adja a legnagyobb bíboros paradoxonáról, de az alef-sorozatra hivatkozva, amelyet a ordinálisok indexelnek. Ezért azt gondolhatjuk, hogy ismeri Burali-Forti paradoxonját is, főleg, hogy a levél erről a témáról való elmélkedésének előrehaladott állapotáról tanúskodik. Egyébként az 1890-es évek végén, Göttingenben a Burali-Forti paradoxon és annak Cantor-elemzése vált ismertté Hilbert és környezete, köztük Zermelo számára.
Burali-Forti 1897-es feljegyzésének első mondatától kezdve kijelenti, hogy ennek fő célja annak bemutatása, hogy léteznek olyan transzfinit számok, amelyek nem hasonlíthatók össze, vagyis a trichotómiás tulajdonság (lásd fent) negatívja (lásd fent). Cantor írta, és ugyanebben az évben jelentette meg, néhány hónappal Burali-Forti feljegyzése után. Ennek az eredménynek a bizonyítására Burali-Forti bevezeti a tökéletesen rendezett halmaz fogalmát , amely tévesen azt gondolja, hogy erősebb, mint egy jól rendezett készleté (amelyet Cantor vezetett be 1883-ban). Ezután meghatározza a rendes értékeket, mint tökéletesen rendezett halmazok sorrendjeit. Az „ordinálisok” osztályát a következőképpen rendezi meg: a rendezett halmaz ( A , < A ) szigorúan kisebb, mint a rendezett halmaz ( B , < B ), ha növekszik az ( A , < A ) injekció a ( B , < B ), de nincs növekvő bijekció, ami az "igaz" ordinálisok esetében egyenértékű a fent leírt kezdő szakasz sorrenddel. Aztán megmutatja, hogy ha feltételezzük, hogy ez a sorrend teljes (a trichotómia tulajdonsága), akkor a „rendes” osztály (értelme szerint) tökéletesen rendezett. Nem indokolhatunk egy tökéletes sorrendbe történő indukcióval, azonban ez a fogalom elegendő ahhoz, hogy Burali-Forti megmutassa, hogy az általa meghatározott rendek nem izomorfak a megfelelő kiindulási szakaszok egyikével szemben, míg ez összesen hamis megrendelések általában, és - ahogy ő maga is megfigyeli - a szerinte helyes megrendeléseknek (kissé más formában). Mivel azonban Burali-Forti úgy gondolja, hogy a tökéletes megrendelések jó megrendelések, mégis levonhatja, hogy a trichotómiás tulajdonság a fortiori hamis a számukra.
Burali-Forti érvelése tehát a fentiekben leírt, még akkor is, ha nem a helyes fogalomra alkalmazza, és ezért hamis következtetést von le az "igazi" jó megrendelésekről, de csak a megrendelésekről. Tökéletes, vagy amiről szerinte helyes megrendelések. A Burali-Forti parancsnokságai, amelyek a tökéletes rendekhez kapcsolódnak, valóban nincsenek teljesen megrendelve. Egyszerűen a bizonyítása nem tekinthető elfogadhatónak, ésszerű halmazelméletben nem formalizálható, mivel ilyen formában átültethető lenne a valódi ordinálisokra, amelyek eredménye hamis.
Ugyanabban az évben ugyanabban a folyóiratban megjelent néhány soros feljegyzésében (lásd a hivatkozásokat) maga Burali-Forti rámutat, hogy tévedett a jó rend meghatározásában, és hogy a tökéletes rend fogalma ennél gyengébb. Cantor értelmében jó rendű. Érdekes módon nem von le belőle következtetést, kivéve, hogy "az olvasó ellenőrizni tudja, hogy a jegyzetemben szereplő [...] állításokat a jól rendezett osztályok is igazolják-e". Érvelése azonban, amint már említettük, problémamentesen érvényes a jó megrendelésekre, tehát Cantor értelmében a rendesekre, és úgy tűnik, hogy ez meglehetősen gyorsan egyértelmű volt a matematikusok számára, akiket érdekeltek ezek a problémák, ami jól teszi a Burali- Forti paradoxon a halmazelmélet első ismert paradoxona, annak ellenére, hogy Cantor 1897 előtt megismerhette.
A Burali-Forti által használt meghatározásokÚgy tűnik, hogy a Tökéletes Rendek alig élték túl Burali-Forti feljegyzését. Ez a fogalom mindenesetre egyértelműen kevésbé hasznos, mint a jó rendé, és az ehhez kapcsolódó indukció elvéért. A következő meghatározások tehát lényegében történelmi jelentőségűek. Nem követjük pontosan Burali-Forti terminológiáját, bár ez még mindig elég érthető lenne egy modern olvasó számára.
Nevezzük egy teljesen rendezett halmaz elemének utódját ennek az elemnek a szigorú felső határai közül a legkisebb: nem feltétlenül létezik, de ha létezik, akkor valóban egyedi. Hasonlóképpen hívjuk az elem elődjét a szigorú alsó korlát (ha van ilyen) közül a legnagyobbnak.
Burali-Forti tévesen úgy gondolja, hogy a jól rendezett halmaz ( E , <) egy teljesen rendezett halmaz, amely kielégíti a következő két tulajdonságot:
A tökéletesen rendezett halmazok definiálásához hozzáad egy harmadik tulajdonságot:
Miért kell bevezetni ezt a harmadik tulajdonságot? Burali-Forti példát hoz egy olyan sorrendre, amely kielégíti az első kettőt, de a következőt nem: elegendő az egészek másolatának végét vetni, majd ezt egy fordított sorrendben, {0} × N ∪ {1 } × Z - lexikográfiailag formálisnak rendezve . Ha ennek a sorrendnek az utódját tekintjük formálisnak, akkor azt, amelyet a „végén”, {0} × N ∪ {1} × ( Z - ∪ {1}) elem hozzáadásával kapunk, izomorf rendet kapunk. Ezért nem remélhetjük, hogy megmutatjuk a rendezett halmazok összehasonlítási sorrendjének reflexivitását a kezdő szakasz által meghatározott módon, és még ha nem is ezt használja Burali-Forti, akkor is képesnek kell lennie egy szigorú felső határ felépítésére.
Másrészt a fenti példa nem elégíti ki a harmadik tulajdonságot. Amint a harmadik tulajdonság igazolódik, egy rend nem lehet izomorf az utódjával szemben. Valójában vagy a kezdeti sorrendnek nem volt nagyobb eleme, de akkor az utód sorrendnek feltétlenül van, vagy nagyobb volt az eleme, és az eredményt rendes indukcióval (egész számokon) kapjuk meg az elemmé redukcióhoz szükséges iterációk számán. előd nélkül (még egy ismétlés szükséges az utódrendhez). Ez tehát azt mutatja, hogy a tökéletesen rendezett halmaz utódja egy szigorú felső határ, egy olyan tulajdonság, amely elegendő a Burali-Forti érvhez (amelyet emlékeztetünk abszurd módon a trichotómiát feltételezve).
A jó megrendelés tökéletes megrendelés: ha nem így lenne, akkor az elem ismételt elődjeinek folytatása kisebb elem nélküli halmazt adna. A sorrend akkor tökéletes, ha minden elem valamilyen módon a természetes számok másolatában él, és ha van egy kisebb elem. Ez nem elegendő a jó megrendelési tulajdonjog biztosításához, mivel semmi nem utal arra, hogy ezek az egész számok másolatai maguk is rendezettek lennének. Például egy kisebb elem hozzáadásával a Z × N-hez (lexikográfiai sorrendben) tökéletes rendet kapunk, ami nem jó.
Különösen fényesen magyarázhatjuk Burali-Forti (utóbbi nevét nem említjük) paradoxonját két, Georg Cantortól Dedekindig terjedő, 1899-ben kelt levélben. Cantor megoldást ad, amely, ha axiomatikus szempontból nem igazán kielégítő. nézet szerint kompatibilis a halmazelmélet későbbi axiomatizálásával .
Cantor kétféle határozott multiplicitást különböztet meg [ (de) bestimmte Vielheit], amelyeket ma osztályoknak neveznénk .
Cantor Ω-t hívja az összes ordinális rendszerének. Felidézi a trichotómiás tulajdonságot, és azt a tényt, hogy az Ω bármely nem üres részének van egy kisebb eleme. Mivel a sorszámnak ugyanaz a sorrendje (izomorf) a szigorúan alacsonyabb rendek halmazával szemben, ezért arra következtet, hogy ha Ω halmaz lenne, tehát sorszám, akkor szigorúan nagyobb lenne önmagánál, ahol ellentmondás van . Cantor számára az összes ordinális osztály, Ω, ezért következetlen sokaság, vagy abszolút végtelen, vagyis többé-kevésbé a Burali-Forti paradoxon értelmezése a Zermelo-Fraenkel halmazelméletben .
A következetes és inkonzisztens multiplikátumok megkülönböztetése, ha ez nem túl formális, nem amorf és teljesen ad hoc fogalom: Cantor állít egy tulajdonságot, amelyet Van Heijenoort megjegyez a pótló axióma séma egyik változata , nevezetesen, hogy két egyenértékű multiplicitás, vagyis mondjuk bijectionben, vagy mindkét halmaz, vagy mindkettő következetlen. Cantor arra használja, hogy megmutassa, hogy az alephek osztálya, a bíborosok sora, amelyet a ordinálisok indexelnek, szintén következetlen, amelyet a legnagyobb kardinális paradoxonnak vagy Cantor-paradoxonnak neveznek . Azonban felmerül a probléma, hogy tudjuk-e meghatározni, hogy a jól meghatározott sokféleség következetes-e. Cantor maga teszi fel a kérdést a Dedekindnek írt levelében1899 augusztus : „[…] Csodálkoznunk kell, honnan tudom, hogy a jól rendezett sokaságok vagy szekvenciák, amelyekhez a […] sarkszámokat rendelem, valóban„ halmazok ” . Cantor új axiómák bevezetését javasolja a bíborosok esetében. De a halmazelmélet axiomatizálásának hiányában nehéznek tűnik nagyon messzire menni ebben az irányban.