A halmazelmélet a matematika egyik ága , amelyet német Georg Cantor matematikus hozott létre a XIX . Század végén.
A halmazok elmélete primitívként adja meg a halmaz és a tagság fogalmát , amelyekből rekonstruálja a matematika szokásos tárgyait: függvényeket , relációkat , természetes , relatív, racionális egész számokat , valós számokat, komplexumokat ... Ezért a A halmazelmélet alapvető elméletnek tekinthető, amelyet Hilbert mondhatott "paradicsomnak", amelyet Cantor hozott létre a matematikusok számára.
Amellett, hogy megalapozza a matematikát, Cantor gyökeresen új fogalmakat vezetett be halmazelmélettel, ideértve azt az elképzelést is, hogy a végtelenségnek többféle típusa mérhető és összehasonlítható új számok ( ordinálisok és bíborosok ) segítségével.
Modernsége miatt a halmazelmélet keserűen ellentmondásos volt, különösen azért, mert végtelen halmazok létezését feltételezte, ellentmondva a konstruktív vagy intuitionista matematika bizonyos alapelveinek .
A XX . Század elején számos tényező vezetett a matematikusokhoz egy axiomatikus halmazelmélet kidolgozását: olyan paradoxonok felfedezése , mint Russell paradoxona , de különösen a folytonossági hipotézis körüli kérdések megkérdőjelezése, amely az egész fogalmának pontos meghatározását igényelte. Ez a formális megközelítés vezetett több axiomatikus rendszerek , a legismertebbek a axiómák ZF , hanem az elmélet az osztályok a Neumann vagy elmélet típusok a Russell .
Cantor a fő alkotója halmazelmélet amit be az 1880-as években. Ez volt munka közben problémák egyediségét trigonometrikus sor az 1870-es, hogy a Cantor vezette, hogy meghatározzák a fogalmát levezetését. Készlet valós számok : adott egy sor a valós számok, annak származéka az, amelyből az összes izolált pontot eltávolították . Például, ha a halmazt vesszük, akkor minden számot elkülönítünk, így egyszerűen . Ez az utolsó halmaz viszont levezethető, és deriváltja az üres halmaz.
Ha most vesszük, akkor mindegyik el van szigetelve , de a már nem, tehát a származék az . Láthatjuk tehát, hogy az egész háromszor differenciálható.
Ennek a folyamatnak az iterálásával így összeállíthatunk egy valós számhalmazot, amely végtelen számú alkalommal származtatható a következő értelemben: ha a -edik deriváltját jelöljük , akkor a halmazok csökkenő sorrendjét alkotják (befogadás céljából); végtelen származéka mindezek metszéspontja , amit jelölünk . De itt nem áll meg: Cantor felfedezte a valós csoportok létezését, amelyek elkülönített pontokat tartalmaznak, ezért még mindig differenciálható. Léteznek tehát olyan halmazok, amelyekből végtelen + 1 idő, végtelen + 2 alkalommal, ..., 2 végtelen idő stb. Ezért úgy tűnt, hogy létezik a végtelen számtana, és Cantor ennek magyarázatával dolgozta ki a halmazok elméletét.
Az alapötlet az volt, hogy meghatározzák az azonos értékűséget : két A és B jelentése azonos hatékonyságú , vagy ugyanolyan számosságú (azonos számú elemet, amikor véges), ha van egy módja annak, hogy társítani minden egyes eleme egy egy és csak egy elem és B fordítva. Mi lehet tehát azt mutatják, hogy a beállított természetes egész számok azonos számosságú, mint a beállított a racionális számok , bár ez egy valódi részhalmaza az . Ez a két halmaz állítólag végtelenül megszámlálható . Másrészt a valós számok halmazának nem ugyanaz a kardinalitása, mint a vagy , hanem egy magasabb kardinalitása van, amelyet a kontinuum hatalmának neveznek . Cantor két bizonyítékot adott arra, ami megszámlálhatatlan, a második pedig, amely a Cantor átlós érvének nevezett érvet használja , rendkívül nagy hatással volt, és számos és sokféle alkalmazási területtel rendelkezett a logikában és a matematikában.
Cantor elmélyítette az elméletet, és végtelen halmazok, sorszámok és sarkalatos számok végtelen hierarchiáját konstruálta . Ezek az építkezések ellentmondásosak voltak az ő korában, az ellenzéket a finitista Leopold Kronecker vezette ; de ma a matematikusok többsége elfogadja őket.
A halmaz kardinalitásának fogalma arra késztette Cantort, hogy tegyen fel egy kérdést, amelynek alapjává kellett válnia: léteznek-e olyan valósághalmazok, amelyek megszámlálhatatlanok (szigorúan több elemük van, mint ), de nem rendelkeznek folyamatos erővel (szigorúan kevesebb elem van) mint )? Ez a kérdés (a lehetséges negatív válasz, amelyet kontinuumhipotézisként ismerünk ) Cantor élete során nem kapott választ (az első félválaszra csak 1938-ban Gödelnél volt válasz), de választ váltott ki. különösen az axiomatikus halmazelmélet fejlesztése.
Cantor elméletét azért tekintik „ naivnak ”, mert még nem alkalmaz pontos axiomatikát , és mert számára csak egy halmazelmélet volt, egy várható halmazegyetem, míg a halmazelméleti elméletek tagjai ma különböző univerzumokkal zsonglőrködnek.
Ezt követően képesek voltunk leegyszerűsíteni, Cantor számára elégtelenül igazságosan, azáltal, hogy elméletét az extenzivitás axiómájának hallgatólagos felhasználásával és a megértés axiómáinak rendszerének túlságosan erős változatával összegeztük , amely lényegében lehetővé tenné számunkra hogy a tulajdonságot igazoló összes objektumot bármely tulajdonsághoz társítsuk. Egy ilyen elmélet, amelyet nem fogunk Cantornak tulajdonítani, ellentmondásos. Két paradoxoncsaládhoz vezet. Egyesek, hasonlóan Berry paradoxonához vagy Richard paradoxonjához , ahhoz a tényhez kapcsolódnak, hogy a nyelv nincs pontosan meghatározva, mások, mint Russell paradoxonja vagy a legnagyobb bíboros paradoxona , a túl széles nyelvhasználathoz kapcsolódnak. Megértés : amikor megpróbáljuk felépíteni a halmazt S = {A | A∉A} az önmagukba nem tartozó halmazok között ellentmondással találkozunk. A megértés axiómáinak jelenlegi , Zermelo által javasolt sémáját korlátozzák ennek a paradoxonnak az elkerülése érdekében.
Cantor Russell paradoxonjának felfedezése előtt tudott összetettebb, de ugyanolyan természetű paradoxonokról, mint például a Burali-Forti paradoxon vagy a legnagyobb bíboros paradoxonjáról . Sok set szakember egyetért abban, hogy a legmegfelelőbb axiomatizálása az elmélet által kidolgozott Cantor a ZFC elmélet alapító axióma (lásd alább), vagy a class elmélet a Neumann , Gödel és Bernays. , Amely, bizonyos értelemben (ami pontos legyen), egyenértékű.
A századfordulón Cantort idegállapota egyre inkább hátrányos helyzetbe hozza, de a paradoxonokra adott megoldások levelezést terjesztenek, és a XIX . Század végén ismertek Richard Dedekindtől és David Hilbert Göttingen-től, Ernst Zermelo pontozásával . . A paradoxonok azonban sok akkori matematikus számára kétségbe vonják a halmazelmélet érvényességét, a Cantor által javasolt megoldások túl informálisak ahhoz, hogy meggyőzzék azokat, akik ismerik őket. Néhányan az axiomatikus módszer felé haladnak, amelyet Hilbert egyidejűleg illusztrál a geometria alapjaihoz (1899).
Így 1908 , Ernst Zermelo épített rendszer axiómák a halmazelmélet. Az extenzivitás axiómájától eltekintve ezek az axiómák a megértés axiómáinak sémájának ellentmondásos változatának korlátozásaként használhatók olyan konkrét esetekre, amelyek nem engedik levezetni a paradoxonokat. Ebben a rendszerben magában foglalja a választás axiómáját (aminek semmi köze a megértéshez), egy akkoriban nagyon ellentmondásos axiómát, amellyel megmutatta (1904-ben) a jó rend tételét , és amelyet hallgatólagosan is használtak. Kántor. Zermelo rendszere fejeződött be az 1920-as években Ábrahám Adolf Fraenkel és Thoralf Skolem , aki hozzá a csere axióma rendszer (egy másik speciális esete korlátlan megértés), így az elmélet ma ismert, mint a ZF (anélkül, hogy axióma a választás) vagy ZFC (a axióma választás). Azóta más szerzők a halmazelmélet axiomatizálásának problémáján dolgoztak, nevezetesen John von Neumann, aki a ZF-nek nagyon érdekes alternatívát határozott meg : az osztályelmélet .
A választott axióma kifejezetten megjelent Ernst Zermelo 1904-ben megjelent publikációjában , vagyis a halmazelmélet axiomatizálásának publikálása előtt. A választott axióma valóban más természetű, mint a halmazelmélet később kifejtett többi axiómája, és amelyek többnyire a korlátlan megértés gondos elemzéséből származnak . Valójában a választott axióma nem ad egyértelmű meghatározást a felépített halmazról (választási halmaz vagy választási függvény a verziótól függően). Másrészt 1904-es cikkében Zermelo a választott axiómával bemutatja híres tételét, amely szerint minden halmaz jól megrendelhető, amely tételnek semmi intuitív módon nyilvánvaló, ha csak a „valósok halmaza”. A választott axiómát hallgatólagosan legalább Georg Cantor használta , de Zermelo publikációja heves vitákat váltott ki az akkori matematikusok körében.
A választott axióma ráadásul nagyon összefügg a matematikai végtelennel, valójában a választás axióma intuitív módon igaz véges számú választásra, sőt, ebben az esetben teljesen kimutatható a halmazelmélet többi axiómájából. Most 1904 körül vagyunk a paradoxonok felfedezése által kiváltott vita közepette. A matematikai végtelen sokféle elképzelése ütközik. Ez megy, mint amennyire a radikális megkérdőjelezése matematika alapjait által Luitzen Egbertus Jan Brouwer , alapítója intuitionism , aki elutasítja a elve a kizárt harmadik fél , amely a központ jól upstream axióma a választás. Abban az időben azonban néhány matematikus, aki nem ment el olyan messzire, és elfogadta a nem konstruktív érvelés bizonyos formáit, óvakodott a választott axiómától. Émile Borel 1950-ben megint ezt írta: „A Zermelo-axióma ellenzői által már elért fontos eredmény, hogy mindazok, akik elismerik ezt az axiómát, ügyelnek arra, hogy új tétel megszerzése esetén megadják, hogy ennek a tételnek az igazolása megköveteli-e vagy sem. Zermelo axiómájának felhasználása. Ez az axióma a matematika külön ágát hozta létre; ennek az ágnak a fontossága és érdeklődése dönti el sorsát. " Ma is elmondhatjuk, hogy ma, csak látva a matematika fontos ágaiban való alkalmazását, a választott axióma széles körben elfogadott.
Ez annál is inkább, mivel Gödel munkájából tudjuk, hogy a választási axióma beismerése nem „kockázatosabb”, abban az értelemben, hogy azt mutatja, hogy ha a ZFC elmélet következetlen volt, akkor a ZF elmélet is (lásd a függetlenségi eredményekről szóló részt lent halmazelméletben).
Meghatároztuk a választás axiómájának korlátozásait is, például a megszámlálható választás axiómáját (amely lehetővé teszi például annak kimutatását, hogy a megszámlálható halmazok megszámlálható uniója megszámlálható), ez maga a megszámlálható halmazok axiómájának következménye. függő választás (amely lehetővé teszi például egy alaptalan reláció végtelen csökkenő szekvenciájának meglétét ). Így Robert Solovay 1970-ben közzétette a ZF elmélet koherenciáját + a függő választás axiómája + a valósok bármely részhalmaza Lebesgue-mérhető, ezért egy elmélet ellentmond a választás axiómájának teljes általánosságában, a ZF + il elmélethez képest elérhetetlen bíboros (a ZF elmélet megerősítése, amely lehetővé teszi a ZF koherenciájának kimutatását). Azonban a megszámlálható választás axióma az algebrai geometriában nem elegendő, mert az algebrai szempontból zárt mezők kezeléséhez Zorn lemma szükséges, amely ekvivalens a választott axiómával; ezért az a tétel, amely szerint bármely mező elmerülhet egy algebrai szempontból zárt mezőben, az általános választás axiómáján alapszik.
Az egyik legjobb példa azokra a furcsaságokra, amelyekhez a választott axióma vezet, minden bizonnyal az 1924-ben megjelent Banach-Tarski paradoxon , amely a választott axióma segítségével kijelenti, hogy egy gömböt véges darabszámra lehet vágni, mozgatni merev mozdulatok sorozatával ( fordítás és forgatás ), lehetővé téve bizonyos darabok áthaladását másokon és összehozásukat, az eredeti gömb két példányát alkotva. Ez látszólag ellentmond a térfogat fizikai megérzésének, de a Banach-Tarski paradoxon nem mérhető részeket tartalmaz.
Az axiomatikus rendszerek halmazelmélet, ZF , Class elmélet , Type elmélet egyenértékű legalább abban az értelemben, hogy minden lehetővé teszik, hogy képviselje a lényegét matematika. Közülük a ZF a legelterjedtebb, ezért itt nem hivatalos leírást adunk róla.
Az eredeti Zermelo axiómákon alapuló elméletet Zermelo- elméletnek vagy Z-elméletnek hívják . Ha kiegészítjük Fraenkel helyettesítő axiómájával , akkor megkapjuk a Zermelo-Fraenkel elméletét, vagy egyszerűbben a ZF elméletet , bár az axiómák végső formája Skolemnek köszönhető. Amikor hozzáadjuk a választott axiómát, megkapjuk a ZFC elméletet („C” a „választáshoz”).
A ZF-elmélet fontos szempontja, hogy az összes objektum, amellyel foglalkozik, halmazok, és csak halmazok lehetnek. Különösen a halmaz minden eleme önmagában halmaz. A többi megszokott matematikai objektumot, például a számokat, halmazokként kell meghatározni.
Szigorúan véve a ZF axiómái egyszerűen az egalitárius elsőrendű predikátumok kiszámításának kijelentései egy olyan nyelven, amelynek egyetlen primitív tagsági szimbóluma van ( bináris reláció ). A továbbiakban tehát csak kísérletnek kell tekintenünk, hogy franciául fejezzük ki ezen axiómák várható jelentését. Sőt, az elválasztás (vagy megértés) axióma és a helyettesítés axióma valójában az axiómák végtelen sémája.
Az első figyelemre méltó függetlenségi eredmény a halmazelméletben Kurt Gödel eredménye, aki bebizonyítja, hogy a választott axióma kompatibilis a ZF elmélettel, más szóval, ha a ZF elmélet következetes , akkor a ZFC elmélet is következetes. Ugyanazt az eredményt mutatja a folytonossági hipotézis esetében is a ZF vagy a ZFC tekintetében. Gödel a belső modellek módszere óta alkalmazott módszert alkalmazza , ami azt jelenti, hogy például egy olyan ZF-modellben konstruálunk, amely nem feltétlenül elégíti ki a választott axiómát, annak egy alosztályát, amelynek új tagsági viszonya van, kielégítve a választott axiómát. A ZFC-elmélet ellentmondása tehát a ZF-elmélet ellentmondásához vezet.
Paul Cohen 1963-ban bebizonyította, hogy a kontinuumhipotézis (HC) tagadása összeegyeztethető a ZFC elméletével: ha a ZFC elmélet következetes , akkor a ZFC + elmélet (nem HC) is következetes. Az általa bevezetett módszer arra kényszerítette , hogy hatalmas sikert érjen el a halmazelméletben. Fogalmazni, kiterjesztett iterált (in) , akkor jelenhetnek meg sok találat függetlenségét.
A korábbi függetlenségi eredmények équicohérence (vagy équiconsistance) eredményeken alapulnak , például a ZF elmélet konzisztenciája megteremti a ZF + AC koherenciáját (fordítva nyilvánvaló). De más axiómák, például a nagy bíborosok axiómái esetében ez nem így van: a ZFC + elméletben „létezik elérhetetlen bíboros” megmutathatjuk a ZFC modelljének létezését, vagyis a ez az elmélet. Gödel második befejezetlenségi tétele arra enged következtetni, hogy a ZFC-ben nem bizonyítható egy hozzáférhetetlen bíboros létezése (természetesen feltételezve, hogy ez az utolsó elmélet következetes). A második hiányosság tétel tehát lehetővé teszi a függetlenségi eredmények bemutatását is. Szélesebb körben használják az elméletek összehasonlítására, az egyik elmélet "erősebb", mint a másik, ha bizonyítani tudja következetességét.