Principia Mathematica

Principia Mathematica
A Principia Mathematica cikk szemléltető képe
Szerző Bertrand Russell és Alfred North Whitehead
Ország Egyesült Királyság
Eredeti verzió
Nyelv angol
Cím Principia Mathematica
Szerkesztő Cambridge University Press
Kiadási dátum 1910

A Principia Mathematica egy háromkötetes munka által Alfred North Whitehead és Bertrand Russell , megjelent 1910-es - 1913-as . Ez a munka a matematika alapjairól szól . Különösen Gottlob Frege ideográfiájával együtt ez alapvető mű, amennyiben döntő módon részt vesz a modern logika megszületésében .

Eredet és közzététel

1898 és 1903 között Whitehead az Universal Algebra  (de) című traktátusának második kötetén dolgozott . Rájön, hogy megközelítése hasonló ahhoz, amelyet Russell választott a Matematika alapelveinek második kötetében , szintén előkészületben. Ezért úgy döntenek, hogy nem teszik közzé személyes munkájukat, és együttműködnek.

Közel tíz év után benyújtják munkájukat közzétételre a Cambridge University Press-hez . Ez utóbbi szerint 600 font veszít , ebből 300 támogatást vállal, és a Royal Society 200 fontot biztosít, Russellnek és Whiteheadnek egyaránt 50 fontot kell kitennie a zsebéből.

Tartalom

Az alapelvek tartalmazzák a halmazelméletet , a sarkalatos számokkal és a rendszámokkal , valamint a valós számokkal . A valódi elemzés fejlettebb tételei nem kerültek be. Kezdetben egy negyedik kötetet terveztek, de soha nem készítették el. A Peano által kifejlesztett logikai jelölést alkalmazzák , bár azt újra adaptálták, azzal a céllal, hogy a könyv tartalma világosabb és tömörebb legyen.

1 + 1 = 2 igazolása

Több száz oldalt megelőzik a bizonyítéka a híres javaslat a matematika, amely megtalálható a következő oldalon 379 I. kötet az 1 st  kiadás.

Matematikai nyelvén a szóban forgó szakasz azt demonstrálja, hogy "ha két α és β halmaznak csak egy eleme van ( x és y ), akkor mondjuk, hogy nincs közös elemük ( x eltér y-től ) ekvivalens mondván, hogy uniójuk két elemet tartalmaz ( x és y ). "

Annak igazolása, hogy 1 + 1 = 2 valóban elkészült a második kötetben ( 1 st  kiadás), 86. oldal kíséretében a megjegyzés : „  A fenti javaslat esetenként hasznos  ” ( „a fenti javaslat néha hasznos lehet” ). Azt mondják, hogy "Legalább háromszor használják, .6113.66 és ✸120.123.472" .

Összefoglaló kiadás

Összefoglaló kiadás jelent meg a teljes mű és Russell 1919-es, kevésbé technikai jellegű, Bevezetés a matematikai filozófiába című könyvének felénél . 1925-ben a szerzők bevezették a második kiadást , egy A. függeléket (amely a ✸9 helyébe lépett ) és egy új C. függeléket .

A szerződés fontossága

A Principia tartják az egyik legbefolyásosabb könyv a történelem logikája hasonló, a Organon az Arisztotelész . Nagy szerepe volt a matematika alapjainak kutatásában . A könyv áttekintésében Godfrey Harold Hardy felismeri a tartalom és az írás stílusának fontosságát, ugyanakkor elismeri, hogy ez egy olyan könyv, amelyet nagyon kevesen fognak teljes egészében elolvasni, és hogy a használt jelölések valószínűleg elrettentik a könyvek többségét. olvasók, köztük maguk a matematikusok is

A Modern Könyvtár helyen azt 23 -én egy listát, amely a non-fiction könyvek százaléka angol a legfontosabb a huszadik század .

Az értekezés az összes matematikai tételt egy meghatározott logikai-szimbolikus nyelv felhasználásával próbálja levezetni az axiómák és a dedukciós szabályok jól definiált listájából .

A Principia egyik célja azoknak a paradoxonoknak a feloldása, amelyek Gottlob Frege 1884-es számtani alapjaiban jelentek meg , és amelyeket Russell 1901-es paradoxona emelt ki . A "  logikai típuselmélet  " ezt a paradoxont ​​oldja fel a következő módon: egy halmaz ontológiailag különbözik elemeitől, ezért egy halmaz nem tartozhat önmagához.

Elméleti alapok

A formalista elmélettől eltérően a Principia Mathematica „logikus” elmélete nem „határozta meg a formalizmus szintaxisát”. Az értelmezések az elmélet (abban az értelemben, az elmélet modellek ) kerülnek bemutatásra szempontjából igazság értékeket , különösen a szimbólumok „⊢” (mondja az igazság), „~” (nem logikus), és a „V” (VAGY befogadó).

A formális elmélet kortárs felépítése

A következő formalista elméletet mutatjuk be a Principia Mathematica logisztikai elméletével ellentétben . A kortárs formális rendszert a következőképpen építenék fel:

  1. Használt szimbólumok  : Ez a halmaz a kezdő halmaz, más szimbólumok létrehozhatók, de csak a kezdő szimbólumok meghatározásával . Kiinduló halmaz lehet a következő Kleene 1952-ből származó halmaz: logikai szimbólumok „→” (implicit, IF-THEN, „⊃”), „&” (és), „V” (vagy), „¬” (nem ), „∀” (mindenki számára), „∃” (van); állítmány szimbólum "=" (egyenlő); a „+” (számtani összeadás), „∙” (aritmetikai szorzás), „” (utód) függvény szimbólumok ; "0" (nulla) egyedi szimbólum ; az " a ", " b ", " c " változók ; és a zárójelben "(" és ")".
  2. Láncok szimbóluma  : Az elmélet összefűzéssel (egymás mellé helyezés) építi fel a szimbólumok "láncait" .
  3. Képzési szabályok  : Az elmélet a szintaxis szabályokat rekurzív definícióként határozza meg, amely "0" -val kezdődik, és meghatározza a " jól formázott képletek " (fbfs) felépítésének módját. Ez magában foglalja a „helyettesítés” szabályt is.
  4. Transzformációs szabály (ok) : axiómák, amelyek meghatározzák a szimbólumok viselkedését és a szimbólumszekvenciákat.
  5. Következtetés szabálya , modus ponens  : Szabály, amely lehetővé teszi az elmélet számára, hogy "következtetést" szerezzen a "helyiségekből", majd ezt követően megszabaduljon a "helyiségektől" (szimbólumok a vonal the bal oldalán vagy a vonal felett, ha vízszintesek). Valójában a modus ponens alkalmazása után csak a következtetés marad.

A kortárs elméletek gyakran meghatározzák első axiómájukat, a modus ponenst vagy a "leválás szabályát ":

A , A ⊃ B │ B

A "│" szimbólum általában vízszintes vonallal van ábrázolva, itt a "⊃" jelentése "magában foglalja". Az A és B szimbólumok változók; ezt a jelölési formát "axióma sémának" nevezzük. Ez a következőképpen olvasható: HA A és A B-t foglal magában, akkor B- t megtartja B- t későbbi felhasználás céljából. De a szimbólumoknak nincs "értelmezésük" (azaz nincs " igazságtáblájuk ", " igazságértéke " vagy "igazságfüggvénye"), és a modus ponenusok mechanikusan haladnak, csak nyelvtan alapján.

Építkezés

A Principia Mathematica elmélet számos hasonlóságot mutat a modern formai elméletekkel. Kleene elmondta, hogy „ez a matematikai következtetés a logikából intuitív axiómaként került bemutatásra. Az axiómákat elfogadható hipotézisként kellett elfogadni, amely leírja a világot ”. Valójában, ellentétben egy formalista elmélettel, amely a szimbólumokat a szintaxis szabályai szerint manipulálja, a The Principia Mathematica bevezette az "igazságértékek", vagyis az igazság és a hamisság valódi értelmében vett fogalmat , és az "igazság megerősítése" a az elmélet felépítésének ötödik és hatodik eleme. ( PM 1962: 4–36):

  1. Változók
  2. Betűk használata
  3. A propozíciók alapvető funkciói  : az „ellentmondásos funkciót” a „~”, a „diszjunktív függvényt” szimbolizálja, ha a „v” -et primitív és logikus implikációnak vesszük, amelyet p ⊃ q határoz meg . = . ~ p ∨ q Df . ( PM 1962: 11), és a p . Által meghatározott logikai szorzatot . q . = . ~ (~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962: 12)
  4. Ekvivalencia  : A logikai ekvivalenciák (nem aritmetikai): a "≡" bemutatja a szimbólumok használatát, nevezetesen: "Tehát 'p ≡ q' jelentése '(p ⊃ q) . (q ⊃ p) '. " ( PM 1962: 7). "
    a logikai ekvivalencia ismét definícióként jelenik meg: p ≡ q . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962: 12), Megjegyezhetjük a zárójelek megjelenését. Ez a nyelvtani használat nincs meghatározva, és rendszeresen megjelenik; a zárójel fontos szerepet játszik a szimbólum húrjaiban.
  5. Igazságértékek  : „A tétel„ igazságértéke ” igaz, ha igaz, és hazugság, ha hamis” (ez az idézet Frege-től származik ) ( PM 1962: 7)
  6. Megerősítő jel  : „'⊦' . p olvasható 'igaz, hogy' ... így '⊦ : p . ⊃ . q „a következők: igaz, hogy p azt jelenti, q ”, míg „⊦ . o . ⊃⊦ . q 'jelentése: p igaz; ezért q igaz '. " ( PM 1962: 92).
  7. Következtetés  : a változata a Principia Mathematica Modus ponens a következő: „[Si]„⊦. p 'és' ⊦ (p ⊃ q) ', majd' ⊦. q '. " ( PM 1962: 9).
  8. Pontok használata
  9. Definíciók  : Ezek a "=" jelet használják a kifejezések végén, jobbra a "Df" jellel.
  10. Az előző állítások összefoglalása : a javaslathoz előtagú "~ p ", " p ∨ q " és "⊦" primitív gondolatok rövid tárgyalása .
  11. Primitív  állítások: axiómák vagy posztulációk. Ezt a második kiadás jelentősen megváltoztatta.
  12. Propozíciós funkciók  : A „propozíció” fogalmát a második kiadás módosította, ideértve a logikai jelekkel összekapcsolt „atom” propozíciók bevezetését a „molekuláris” propozíciók kialakításához, valamint a molekuláris propozíciók atom- vagy molekuláris javaslatokban történő helyettesítésének alkalmazását a új kifejezések létrehozása érdekében.
  13. Az értékek rangja és a teljes variáció
  14. Kétértelmű nyilatkozatot, és valós változó  : Ez a szakasz, és a következő két módosították, vagy csökkent a 2 nd  edition. Különösen a 15. meghatározás és a valós változó, valamint a 16. valós kapcsolódási javaslatok és a látszólagos változók szakaszban meghatározott fogalmak közötti különbségtétel esett el a második kiadásban.
  15. Formális implikáció és formális ekvivalencia
  16. Identitás
  17. Osztályok és kapcsolatok
  18. A kapcsolatok különféle leíró funkciói
  19. Leíró funkciók
  20. Egységosztályok

Primitív ötletek

Vö. PM 1962: 90–94, első kiadás:

Primitív javaslatok

Az első kiadás a "⊃" szimbólum meghatározásával kezdődik.

✸1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Df .

✸1.1 . Minden igaz, ami egy valódi elemi tételből következik. PP modus ponens

( ✸1.11 a második kiadásban elejtették.)

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . o . A tautológia Pp elve

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Pp az összeadás elve

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ o . Pp permutációs elv

✸1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). PP asszociatív elv

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . Pp összegzési elv

✸1.7 . Ha p elemi tétel, akkor ~ p elemi tétel. Pp

✸1,71 . Ha p és q elemi propozíciók, akkor p ∨ q elemi propozíció. Pp

✸1,72 . Ha φ p és ψ p elemi függvények, amelyek elemi tételeket vesznek fel argumentumként, akkor φ p ∨ ψ p elemi tétel. Pp

A „Bevezetés a második kiadásba” címmel a második kiadás A. melléklete elvetette a teljes section9 szakaszt . Ez magában foglalja a hat primitív javaslatokat származó ✸9 hogy ✸9.15 az axiómák redukálhatósága.

A felülvizsgált elméletet megnehezíti a Sheffer-sáv ("|") bevezetése, amely az "inkompatibilitást" szimbolizálja (vagyis ha a két p és q elemi tétel igaz, akkor a "bar» P | q hamis), a kortárs logikus NAND . A felülvizsgált elméletben a bevezető bevezeti az "atomtétel" fogalmát, egy "nullapontot", amely "a logika filozófiai részéhez tartozik". Ezeknek nincs összetevőjük, és nem tartalmazzák az "összes" vagy "néhány" fogalmát. Például: "ez piros", vagy "ez egy újabb, mint ez". A Principia Mathematica ezután "molekuláris javaslatokká fejlődött", amelyeket mind a "rúd" összekapcsol. A definíciók a "~", "∨", "⊃" és "egyenértékűségeket adják meg . ".

Az új bevezetés az „elemi tételeket” atom- és molekuláris helyzetként definiálja. Ezután az ✸1,2-től ✸1,72-ig terjedő összes primitív tételt csak egy sávra vonatkozó javaslattal helyettesíti:

„Ha p , q , r elemi állítások, akkor legyen p és p | ( q | r ), akkor következtethetünk r-re . Ez egy primitív javaslat. ”

Az új bevezetés fenntartja a „van” (ma már „néha igaz”) és a „mindenért” („mindig igaz”) jelölést. Az A. melléklet megerősítette a "mátrix" és a "predikatív függvény" fogalmát ("primitív ötlet", PM 1962: 164).

Értékelés

"Ennek a munkának a pontozását felváltotta a későbbi logikai fejlődés a XX .  Században, olyan mértékben, hogy egy újoncot nehezen olvasható a Principia Mathematica  "  ; míg a szimbolikus tartalom nagy része modern kottákra konvertálható, maga az eredeti jelölés "tudományos vita tárgya". "

Kurt Gödel keményen bírálta ezt az értékelést:

„Sajnálatos, hogy a matematikai logika első teljes és mélyreható bemutatásánál nincs annyi formális pontosság az alapokban, és ami ebből a szempontból visszalépést jelent Frege-től. Hiányzik mindenekelőtt a formalizmus szintaxisának pontos kimutatása ”.

Ezt tükrözi a " p ", " q ", " r " és "⊃" szimbólumok alábbi példája , amelyek a "p ⊃ q ⊃ r" karakterláncban képezhetők. A PM-nek meg kell határoznia, hogy ez a szimbólumlánc milyen szimbólumokat tartalmaz; a modern logikában a „formálódási szabályok” (a „jól kialakított formulákhoz” vezető szintaktikai szabályok) megakadályozták volna ennek a láncnak a kialakulását.

A jelölés forrása  : Az "Eszmék és jelölések előzetes magyarázata" című I. fejezet a jelölés elemi részeinek (a szimbólumok =, ⊃, ≡, -, Λ, V, ε és a pontrendszer) forrásával kezdődik:

„Az ebben a munkában elfogadott jelölés Peano-ra épül , és az ezt követő magyarázatok bizonyos mértékben azokon a modelleken alapulnak, amelyeket a Formulario Mathematico-ban [azaz Peano 1889] ismertetett. A periódusok zárójelként történő használatát elfogadják ”( PM 1927: 4).

A Principia Mathematica megváltoztatta a jelet a Peano Ɔ ⊃-ben, és később a Peano néhány szimbólumát ℩ és ι-ként is átvette, azzal a szokással, hogy Peano visszaadja a betűket.

A miniszterelnök elfogadja az 1879-es Frege Begriffsschrift állításának "⊦" jelét :

"Elolvasható" igaz, hogy ""

Így a p állítás állításához ezt írjuk:

„⊦ . o . " ( PM 1927: 92)

(Ne feledje, hogy az eredetihez hasonlóan a bal öltés is négyzet alakú és nagyobb méretű, mint a jobb oldali öltés.)

A többi PM jelölés nagy részét Whitehead találta fel .

Bevezetés az „A szakasz logikai matematika” jelöléséhez (ulas1 - ✸5.71 képletek)

A PM- pontok használata hasonló a zárójelekhez. Mindegyik pont (vagy több pont) zárójelet jelent a bal vagy a jobb oldalon, vagy a logikai szimbólum ∧. Több pont jelenti a zárójelek "mélységét", például " . "" : "Vagy:" :. "," :: ". A jobb vagy a bal zárójel közötti megfelelés helyzetét azonban nem kifejezetten közöljük ezzel a jelöléssel, hanem bizonyos zavaros és néha félreérthető szabályokból kell következtetni. Továbbá, amikor a pontok a logical logikai szimbólumot képviselik, annak bal és jobb operandusát hasonló szabályok alapján kell levezetni. Először a kontextustól függően kell eldönteni, hogy a pontok zárójelet vagy logikai szimbólumot képviselnek-e. Ezután el kell döntenünk, hogy a másik megfelelő zárójel milyen távolságban helyezkedik el: folytatni kell ezt a keresést, amíg az egyik vagy nagyobb számú ponttal, vagy ugyanannyi következő ponttal találkozik, amelyeknek "ereje" egyenlő vagy nagyobb , vagy a sor végén. A ⊃, ≡, ∨, = Df jelek mellett elhelyezkedő pontok nagyobb erővel bírnak, mint az (x), (∃x) melletti pontok, és amelyek maguknak nagyobb erővel bírnak, mint a logikai szorzatot indicating jelző pontok.

1. példa A vonal

✸3.12 . ⊢: ~ o. v. ~ q. v. o. q

megfelelnek

(((~ p) v (~ q)) v (p ∧ q))

ahol a fül a külső zárójeleket jelöli, a következő két pont a ~ p és ~ q körüli zárójeleket, a harmadik pont a p ∧ q körüli zárójeleket, a negyedik pont a ∧ logikai szimbólumot jelöli, nem pedig egy zárójelet.

2. példa kettős, hármas és négyszeres öltéssel:

✸9.521 . ⊢ :: (∃x). φx. ⊃. q: ⊃ :. (∃x). φx. v. r: ⊃. qvr

eszközök

(((((∃x) (φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

3. példa logikai szimbólumot jelölő kettősponttal (1. kötet, 10. oldal):

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. p ⊃ r

eszközök

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r ) ⊃ ( p ⊃ r ))

ahol a kettős pont a logical logikai szimbólumot jelöli, és a jobb operandusja minden következõbõl áll, mert nagyobb az ereje, mint egyedül a pontoké. Később a section 14. Szakaszban szögletes zárójelek jelennek meg a „[]”, a ✸ 20 és annál magasabb szakaszokban pedig a „{}” göndör zárójelek. Sajnos önmagában a periódus (de a " : ", " :. ", " :: " stb.) Szintén egy "logikai termék" (a modern logikai ÉS , gyakran "&" vagy " ∧ ”).

A logikai implikációt a "Ɔ" (Peano) "⊃" -re egyszerűsítve ábrázolja, a logikai tagadást egy hosszúkás tilde jelképezi, nevezetesen a "~" (a kortárs "¬"), a logikai VAGY "v". A "=" szimbólum a "Df" -vel együtt a "definiálva" kifejezésre szolgál, míg a ✸ 13-as és annál magasabb szakaszokban a "=" definíció szerint (matematikailag) "azonos", azaz a kortárs matematikai " egyenlőség " ". a logikai ekvivalenciát "≡" (a kortárs " csak és csak akkor " képviseli); Az "elemi" propozíciós függvényeket korabeli módon írják, például "f (p)" , de később a zárójeleket eltávolítják, például "φx", "χx" stb.

Példa: a miniszterelnökök a következőképpen vezették be a „logikai termék” kifejezés meghatározását:

✸3.01 . o . q . = . ~ (~ p v ~ q ) Df . ahol „ p . q ” p és q logikai szorzata . ✸3.02 . p ⊃ q ⊃ r . = . p ⊃ q . q ⊃ r Df . Ez a meghatározás egyszerűen a bizonyítékok rövidítésére szolgál.

Képletek fordítása kortárs szimbólumokra  : Különböző szerzők alternatív szimbólumokat használnak, így nem adható végleges fordítás. Azonban az olyan kritikák miatt, mint Kurt Gödel fenti, a legjobb kortárs fordítások nagyon pontosak lesznek a képletek "formálási szabályainak" (szintaxisának) tekintetében. Az első képletet az alábbiak szerint lehet átalakítani modern szimbólummá:

( p & q ) = df (~ (~ p v ~ q ))

vagy

( p & q ) = df (¬ (¬ p v ¬ q ))

vagy

( p ∧ q ) = df (¬ (¬ p v ¬ q ))

stb.

A második képlet a következőképpen alakítható át:

( p → q → r ) = df ( p → q ) és ( q → r )

De vegye figyelembe, hogy ez (logikailag) nem egyenértékű a (p → (q → r)), sem a ((p → q) → r) értékkel, ez a két képlet sem logikailag egyenértékű egymással.

Bevezetés a „B szakasz látszólagos változók elmélete” jelöléséhez (✸8 - ✸14.34 képletek)

Ezek a szakaszok foglalkoznak az úgynevezett predikátumok számításával és a predikátumok logikájával az azonossággal (egyenlőség).

Section10 . Szakasz: Univerzális és egzisztenciális „operátorok”  : A PM-ek hozzáadják az „(x)” -t a korabeli univerzális szimbólum „minden x” vagy „∀x” képviseletéhez, és fordított E-vel jelölik azt, hogy „létezik olyan x, mint pl. "vagy" (Ǝx) ". A tipikus jelölés hasonló lenne a következőkhöz:

"( X ) . φ x "azt jelenti, hogy" az x változó összes értéke esetében az function függvény igaz " „(Ǝ x ) . φ x "azt jelenti, hogy" az x változó bizonyos értékeire az φ függvény igaz "

Szakaszok ✸10, ✸11, ✸12: Properties egy változó terjeszteni minden egyén  : szakasz ✸10 bevezeti a fogalom a „tulajdon” a „változó”. A PM ezt a példát hozza: φ olyan függvény, amely azt jelzi, hogy "görög", és ψ azt jelzi, hogy "férfi", és χ azt jelzi, hogy "halandó", ezek a függvények az x változóra vonatkoznak . A miniszterelnök most írhat és értékelhet:

( x ) . ψ x A fenti jelölés jelentése "minden x esetében x ember." Egyének halmaza alapján értékelhetjük ezt a halmazt a fenti képlet segítségével. Például, ha figyelembe vesszük a kis egyedszámot (Socrates, Platon, Russell, Zeus}), akkor ez kudarcot vall: ( x ) . φ x mert Russell nem görög. És azért ( x ) . χ x

mert Zeusz nem halandó.

Ezzel a jelöléssel a miniszterelnökök képleteket hozhatnak létre a következők kifejezésére: "Ha minden görög férfi, és ha minden ember halandó, akkor minden görög halandó." ( PM 1962: 138)

( x ) . φ x ⊃ ψ x : ( x ) . ψ x ⊃ χ x : ⊃ : ( x ) . φ x ⊃ χ x Egy másik példa: a képlet: ✸10.01 . (Ǝ x ) . φ x . = . ~ ( x ) . ~ φ x Df . jelentése: „Az„ állítás legalább egy x létezik, amely megfelel a φ függvénynek ”kifejezéseket a„ Az nem igaz, hogy az x összes értékének figyelembevételével ott n ”van. az x értéke nem felel meg φ '”.

A ⊃ x és a „≡ x ” szimbólumok ✸10.02 és ✸10.03 számon jelennek meg . Mindkettő az egyetemesség rövidítése (mindenre). A modern jelölés egyszerűen zárójeleket használt volna az egyenlőségjelen ("=") kívül:

.0210,02 φ x ⊃ x ψ x . = . ( x ) . φ x ⊃ ψ x Df Kortárs jelölés: ∀ x (φ ( x ) → ψ ( x )) .0310,03 φ x ≡ x ψ x . = . ( x ) . φ x ≡ ψ x Df Kortárs jelölés: ∀ x (φ ( x ) ↔ ψ ( x ))

A miniszterelnök az első szimbólumot Peanóhoz rendeli.

A ✸11 szakasz ezt a szimbólumot két változóra alkalmazza. Így a következő jelöléseket: ⊃ x , ⊃ y , ⊃ x , tudott minden jelenik egyetlen képletben.

A Section12 szakasz visszaállítja a „mátrix” ( igazságtábla ), a logikai típusok fogalmát, különös tekintettel az első és a második rendű függvények és állítások fogalmaira .

Az új szimbolika „φ ! x ”egy elsőrendű függvény értékét jelenti. Ha egy „＾” gondnok egy változóra kerül, akkor ez a változó y „egyedi” értéke .

Most a mátrix fogalmával felszerelve a PM- ek érvényre juttathatják a redukálhatóság ellentmondásos axiómáját : egy vagy két változó függvénye, ahol az összes értéket megadják (azaz a mátrixában) (logikailag) egyenértékű ("≡") ugyanazon változók "predikatív" függvénye. A változó definíciója az alábbiakban látható a jelölés szemléltetésére ( PM 1962: 166-167):

.112.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ x . f ! x Pp ;

A Pp „primitív állítás” („Bizonyíték nélkül feltételezett tétel”).

Ez azt jelenti, hogy: "Megerősítjük a következők igazságát: Van egy f függvény azzal a tulajdonsággal, hogy: az x összes értékét figyelembe véve az φ függvényben (azaz a mátrixukból eredő) adott értékelésük logikailag egyenértékű az f bizonyos értéke (és fordítva, ezért a logikai egyenértékűség). ”. Más szavakkal, ha az x változóra alkalmazott φ tulajdonság által meghatározott mátrix létezik, létezik egy f függvény, amely x-re alkalmazva logikailag egyenértékű a mátrixával. Vagy még egyszer: mindegyik φx mátrixot ábrázolhatjuk x-re alkalmazott f függvénnyel , és fordítva .

✸13: Azonosító operátor "="  : Ez egy olyan meghatározás, amely kétféle módon használja a jelet, amint azt a PM idézete jelzi  :

✸13.01 . x = y . = : (φ) : φ ! x . ⊃ . φ ! y Df

eszközök:

"Ez a meghatározás azt jelzi, hogy x és y azonosnak mondható, ha az x által teljesített minden predikatív függvényt y is kielégíti ... Vegye figyelembe, hogy a fenti definíció második egyenlőségjelét" Df "-nel kombináljuk, és ezért n" valójában nem ugyanaz a szimbólum, mint a meghatározott egyenlőség jele. "

A „≠” egyenlőtlenségi jel definícióként jelenik meg a ✸13.02-ban .

✸14: Leírások  :

„A leírás az„ y kifejezés kielégíti φ ŷ ; ahol φŷ egy és csak egy argumentum által kielégített függvény. " Ettől kezdve a PM két új szimbólumot alkalmaz, egy „E” -t és egy fordított jótát „ɿ”. Íme egy példa: ✸14.02 . E ! (ɿ y ) (φ y ) . = : (Ǝ b ) : φ y . ≡ y . y = b Df

Bevezetés az osztályok és kapcsolatok elméletének jelöléséhez

A szöveg a section 14 szakaszról közvetlenül az alapozó szakaszokra ugrik ✸ 20 AZ OSZTÁLYOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE és ✸ 21 A KAPCSOLATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE . A "kapcsolatok" azok, amelyeket a kortárs halmazelmélet rendezett párok halmazaként ismer . A ✸ 20 és ections 22 szakasz számos, ma is használt szimbólumot mutat be. Ide tartoznak az "ε", "⊂", "∩", "∪", "-", "Λ" és "V" szimbólumok: ahol az "ε" jelentése "a" ( PM 1962: 188) eleme ; „⊂” (✸ 22.01 ) azt jelenti, hogy „benne van”, „a részhalmaza”; A „∩” (✸ 22.02 ) az osztályok (halmazok) logikai szorzatát jelenti; A „∪” (✸ 22.03 ) az osztályok (halmazok) logikai összegét jelenti; „-” (✸ 22.03 ) egy osztály (halmaz) tagadását jelenti; "Λ" jelentése null osztály; és "V" az egyetemes beszéd osztályát vagy univerzumát jelenti.

A kis görög betűk (az "ε", "ι", "π", "φ", "ψ", "χ" és "θ" kivételével) osztályokat képviselnek (például "α", "β", " Γ "," δ "stb.) ( PM 1962: 188)

x ε α „Egyetlen betű használata olyan szimbólumok helyett, mint a ẑ (φ z ) vagy ẑ (φ ! Z ), gyakorlatilag elengedhetetlen, különben a jelölés gyorsan elviselhetetlenül kényelmetlenné válik. Tehát ' x ε α' azt jelenti, hogy ' x az α osztály tagja' '. ( PM 1962: 188) α ∪ –α = V Egy halmaz és inverze összege univerzális (véges) halmaz. α ∩ –α = Λ Egy halmaz és inverzének szorzata null (üres) halmaz.

A 23. KAPCSOLATSZÁMÍTÁS szakaszban alkalmazott kapcsolatokra alkalmazva a "⊂", "∩", "∪" és "-" szimbólumok pontot szereznek: például: "⊍", "∸".

Az "osztály" (halmaz) fogalma és jelölése  : A PM első kiadása azt állítja, hogy nincs szükség új primitív ötletekre annak meghatározásához, hogy mit is értenek az "osztály" alatt, és csak két új "primitív tételt" neveznek axiómának.  az osztályok és a kapcsolatok redukálhatósága (en) ( PM 1962: 25). De mielőtt ezt a fogalmat definiálnák, a miniszterelnök azt állítja, hogy létre kell hozni egy sajátos „ ẑ ( φz )” jelölést, amelyet ő „fiktív objektumnak” nevez. ( PM 1962: 188)

⊢ : x ε ẑ (φ z ) . ≡ . (φ x ) "Vagyis:" x az (φẑ) által meghatározott osztály tagja "[logikailag] egyenértékű az" x kielégíti (φẑ) "vagy" (φx) igaz ". ". ( PM 1962: 25)

A PM felfedheti az olvasót, hogyan viselkednek ezek a fiktív objektumok, mert "egy osztály teljesen meghatározódik, amikor ismert az összetétele, nevezetesen, hogy két különböző osztály létezhet ugyanazon összetételben" ( PM 1962: 26). Ezt a következő egyenlőség jelképezi (hasonló a fenti 13.01-hez ):

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) . ≡ : ( x ) : φ x . ≡ . ψ x "Ez utóbbi az osztályok megkülönböztető jellemzője, és igazolja ẑ (ψ z ) kezelésében, hogy az a [függvény] the által meghatározott osztály." ( PM 1962: 188) Egyéb jelölés: φ x ≡ x ψ x . ⊃ . ( x ) : ƒ (φ ẑ ) ≡ ƒ (ψ ẑ ) ( PM 1962: xxxix) „IF minden értékére x az igazság értékeit a függvények φ és ψ a X jelentése [logikailag] egyenértékű, akkor a függvény ƒ egy adott φẑ és ƒ a ψẑ vannak [logikailag] egyenértékű.”

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

  1. A The Principles előszavában Russell jelzi, hogy biztosította "a MAN Whitehead együttműködését" a mű második kiadásához. Ez az együttműködés a Principia Mathematica formáját ölti majd .
  2. Vagy  ma 61 700 font , miután beállítottuk az inflációt .
  3. Ez egyenként 5 142 font jelenlegi egyenértékű  .
  4. Ez a kiadás már befolyásolta a Logikai-filozófiai által Wittgenstein

Hivatkozások

  1. Jean-Luc Verley, "  WHITEHEAD ALFRED NORTH (1861-1947) - 2) A matematikus  " , az Encyclopædia Universalis c .
  2. Vernant 1993 , The Opus Magnum, p.  254
  3. Irvine 1996, 1. bekezdés. A Principia Mathematica története
  4. Harrell, Martha "  kiterjesztés geometriája Principia Mathematica és a kapcsolódó rendszerek  " , digitális Commons (megajándékozzuk 1 -jén június 2012 ) .
  5. Principia Mathematica, Az első kötet előszava, p.  1 .
  6. Principia Mathematica, 379. oldal .
  7. Principia Mathematica, 86. oldal .
  8. "  Principia mathematica: * 56-ig  " , Sudoc Catalogue (hozzáférés : 2012. május 28. ) .
  9. "  Principia Mathematica to * 56  " , Google Books (hozzáférés : 2012. május 28. ) .
  10. "  Principia Mathematica to * 56  " , Cambridge University Press (hozzáférés : 2012. május 28. ) .
  11. "  Philosophy 701 - Russell  " , Információs Technológiai Iroda (hozzáférés : 2012. május 28. ) .
  12. Shalom A. "  A nyelv mint képnyelv, mint eszköz  ," Nyelvek , n o  2 'Nyelv és logika "1966, P.  96–107 ( online olvasás , konzultáció 2015. március 15-én )
  13. Irvine 1996 , 2. A Principia Mathematica jelentősége .
  14. (in) Godfrey Hardy, "  Az új szimbolikus logika  " , The Times Literary Supplement ,1911. szeptember 7( online olvasás , konzultáció 2020. szeptember 17 - én ).
  15. "  A Modern Könyvtár száz száz legnépszerűbb szépirodalmi könyve  " ,1999. április 30(megtekintés : 2011. október 14. ) .
  16. Ez a készlet Kleene 1952: 69-ből származik, helyettesítve → for-vel.
  17. Kleene 1952 71, Enderton 2001: 15
  18. Enderton 2001: 16
  19. Ezt a szót használta Kleene 1952: 78
  20. Idézet Kleene 1952: 45-ből.
  21. Ez az ötlet Wittgenstein Tractatus- ból származik , PM 1962: xiv - xv)
  22. Linsky 2004 .
  23. Kurt Gödel 1944 "Russell matematikai logikája", a Feferman et al. 1990 Kurt Gödel Collected Works II. Kötet , Oxford University Press, NY, ( ISBN  978-0-19-514721-6 ) (v.2.pbk.).
  24. Összehasonlításképpen lásd Peano 1889 fordított részét: Van Heijenoort 1967: 81ff.
  25. Az első példa a plato.stanford.edu (loc.cit.) Oldalról származik.
  26. Az 1927. évi xiii. Oldal 1962-től ✸56- ig jelent meg .
  27. Wiener 1914 "A kapcsolatok logikájának egyszerűsítése" (van Hejenoort 1967: 224ff)

Függelékek

Bibliográfia

Művek Cikkek

Külső linkek