tőszám

A nyelvészetben a teljes természetes szám nulla , egy , kettő , három stb. sarkalatos számjelzőknek nevezzük .

A set -elmélet , a Cardinal vagy tőszámnév egy sor E ( véges vagy végtelen ) van, intuitív, a „szám” az elemek hozzá tartozó . Formálisan meghatározni, mi a „szám”, mint az osztály valamennyi készlet ekvivalensnek az E (azaz egy levelezés és E ), vagy nagyon eltérő módon, mint a legkisebb sorrendi equipotens az E .

A kész eset

Az évszakok, a sarkalatos pontok , az Aymon szálak három, egy bizonyos minőséget képviselő készletet alkotnak, amelyet nem osztanak meg a kéz összes ujjával: ezt a minőséget kiemelhetjük úgy, hogy az elemeket egyesével illesztjük egymáshoz. mondják, hogy kardinális " négyesek ". A "négy" akkor a szóban forgó ingatlan aláírása lenne.

Ugyanígy a kéz ujjainak halmaza elemenként lehet levelezésbe helyezni az {"Amerika", "Afrika", "Antarktisz", "Óceánia", "Eurázsia" szavakkal; ez a két halmaz bizonyos értelemben ekvivalens : azt mondjuk, hogy bijekcióban vannak, vagy hogy ekvipotensek .

Másrészt nincs mód az egyes sarkalatos pontok "egyesével" egyeztetni a kéz minden ujjával (még a második készlet injekciója sem történik az elsőbe); ezért nem ekvipotens szerelvényekkel van dolgunk. Van azonban egy injekció az első szettből a másodikba. Azt fogjuk mondani, hogy az első alpotenciális a másodikhoz. A subpotence egy kapcsolatban az előjegyzés az osztályban a készletek.

Amit "bíborosnak" nevezünk, bizonyos értelemben az egész "erejének" a mértéke lesz. Egy halmaz végesnek mondható az n bíborosról, ha ekvipotens az {1, 2,…, n } egész számok halmazára, vagy azzal egyenértékű módon a {0, 1, 2,…, n - 1} halmazra. amelyet von Neumann jelölésében magával n azonosít .

Tehát mindaddig, amíg a végeshez ragaszkodunk, a bíborosok az egyenértékűség és a rend kettős aspektusa alatt jelennek meg : mindegyik a halmazok közötti ekvivalencia aláírása, de közöttük nagyság szerint rendezett.

Az alábbiakban láthatjuk, hogy a helyzet bonyolultabbá válik, amikor végtelen bíborosokkal van dolgunk; így az az állítás, hogy két bíboros közül az egyiknek felül kell lennie a másikon, a választott axiomatikától függ: ez a kardinális összehasonlíthatóság problémája .

Az általános eset

Frege meghatározása

A kardinalitás első elmélete felépíthető az ekvipotencia-viszony elméleteként, anélkül, hogy meghatároznánk, mi is a kardinális szám valójában az összes általánosságban.

Az ekvipotencia-reláció, amely reflexív, szimmetrikus és tranzitív a halmazok osztályán , mindegyik ekvivalencia-osztályt kardinális számnak vagy egyszerűen kardinális számnak nevezik .

Ez a nagyon természetesnek tűnő definíció néha a halmazelmélet elemi bemutatásainál fordul elő . Azonban annak használata szempontjából bizonyos problémákat a szokásos elméletek: így az osztály A csak egy elem, ami a szám az egyik , nem egy sor, és nem eleme bármely típusú, ugyanúgy az osztály négy elemből álló halmazok stb., ezért lehetetlen egész természetes számú intervallumok egyenletes beszédét beszélni. Ezek a nehézségek hasonlóak Russell paradoxonjához , amelyet akkor fedeztek fel, amikor utóbbi kritikus levelet írt Frege-nek .

Meghatározás rendek szerint

A probléma helyzete

E nehézségek kiküszöbölése érdekében választhattunk egy képviselőt a halmazok minden osztályában, amelyek egymással egyenértékűek. Ez a kész esetben nagyon egyszerűen megtehető az alábbiak szerint:

Az {1, 2,…, n } forma üres halmaza és egész halmaza kettőből áll, két különböző bíborosból;
A „von Neumann-egész számok” meghatározásával, amely a ordinálisok definíciójának végesére korlátozódik , az n természetes szám , amelyet véges sorszámnak tekintünk, elődeinek halmaza: n = {0, 1, 2,…, n - 1}, különösen 0 = ∅, az üres halmaz az egyetlen halmaz, amely ekvipotens csak önmagára;
Jelöljük kártyával (∅) = 0 és kártyával ({1, 2,…, n }) = n .

Ennek a módszernek a végtelen halmazokra történő kiterjesztése azonban további eszközöket igényel:

Az „ X halmaz injekciója van az Y halmazba ” reláció részleges előrendelés a halmazokon;
Ha két A és B halmaz ekvipotens, akkor nyilvánvalóan a kettő injektálódik a másikba;
A Cantor-Bernstein tétel lehetővé teszi számunkra, hogy megmutassuk az ellenkezőjét: két halmaz egyenértékű, amint mindegyikük injekciót ad a másikba. Így az ekvipotencia az előrendeléssel összefüggő ekvivalencia-reláció , és az ( ek ) potenciálosztályokon (részleges) sorrend-relációnk van;
Az az állítás, hogy ez a sorrend teljes , egyenértékű a választott axiómával : ez a kardinális összehasonlíthatósági tétel . Anélkül, hogy ez axióma, hiszen két E és F , ott nem feltétlenül létezik injekciót E be F vagy F be E ;

Ezért látjuk, hogy a bíboros meghatározása a választott axiómától függ. A választott axióma egyenértékű a jó rend létezésével bármely halmazon;
A ZFC set elmélet (Zermelo-Fraenkel az axiómának a választás), és annak folytatását, mi határozza meg egy osztály képviselői minden jó megbízás sorszámai , általánosítása egész szám, amelyek képviselet halmazelméletben köszönhető Neumann . Ez egy tiszta osztály , maga jól rendezett és ezért különösen teljesen rendezett.

Meghatározás

Ebben az összefüggésben a számszámot ezután sorszámként (von Neumann) határozzuk meg, amely nem egyenértékű semmilyen szigorúan alacsonyabb rendszámmal. Egy halmaz bíborosa a legkisebb sorszám, amelyre ez a halmaz ekvipotens.

Minden természetes szám, amelyet véges ordinálisokkal azonosítanak, ebben az értelemben bíborosok. A végtelen bíborosokat a héber aleph betű jelöli : ℵ. A legkisebb végtelen bíboros a ℵ₀ . Ez a természetes egész számok N halmazának a bíborosa, amelyet ω sorszámként is jelöl . A következő magasabb bíboros a ℵ₁ stb. Általában bármely végtelen bíboros mindig írható ℵ α , ahol α sorszám.

Általános tulajdonságok

Példák

Megszámlálható halmaznak hívunk minden olyan halmazt, amely ekvipotens a természetes számok halmazára. Például a racionális halmaz megszámlálható.

kártya (ℚ) = ℵ₀: = kártya (ℕ).

A valós számok halmazának számossága megegyezik a ℕ részeinek halmazával :

{\ displaystyle \ mathrm {kártya} (\ mathbb {R}) = \ mathrm {kártya} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}))> \ aleph _ {0}}

( Cantor tétele ). Ezt a bíborost is megjegyzik , mondta a folytonos bíborosa.

{\ mathfrak {c}}

Azt mondjuk, hogy egy halmaznak folytonos ereje van, ha annak bíborosa van (a hatalmat a bíboros értelmében használták, és ekvipotenset is adott). ${\ mathfrak {c}}$
Ahogy ℕ k ekvipotens a ℕ-ra, bármely k > 0 egész számra ℝ k egyenértékű a ℝ-re , vagyis a bíborosra . A valós szekvenciák ℝ ℕ halmaza ekvipotens a ℝ-re is. ${\ mathfrak {c}}$
A ℝ in ℝ folytonos funkcióinak halmaza ezért szintén kardinális , mert ennek a halmaznak legfeljebb ℝ ℚ (és legalábbis a kontinuumé) ereje van . ${\ mathfrak {c}}$
${\ displaystyle \ mathrm {kártya} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {R}) ^ {\ mathbb {R}}) = \ mathrm {kártya} (\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R }}) = \ mathrm {card} (\ mathbb {N} ^ {\ mathbb {R}}) = \ mathrm {card} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {R}))> {\ mathfrak {vs}}}$ ( B A jelöli az A és B közötti térképkészletet ).

Tulajdonságok

Ha van egy surjection a A be B , majd kártya ( B ) ≤ kártya ( A ) .
Az E halmaz minden részén nincs túlszárnyalás . Egy halmaz ezért soha nem egyenértékű minden részével, bár az egyes elemei együttese injektálja bele , ami lehetővé teszi az írást: ${\ mathcal P} (E)$ ${\ displaystyle \ mathrm {kártya} (E) <\ mathrm {kártya} ({\ mathcal {P}} (E)).}$ Ez Cantor tétele ; a végtelen halmazok kardinalitásának elméletének kiindulópontja egy Georg Cantor 1874-es cikke volt, amely kimutatta, hogy a kontinuumot , a valósok halmazát nem lehet a természetes egészek halmazával bijektációba helyezni, és ezért különböző végtelenségek vannak a kardinalitás szempontjából.
Ha A végtelen, akkor a kártya ( A × A ) = kártya ( A ). Ennek az állításnak, amely egyenértékű a választott axiómával , sok következménye van. Például, ha végtelen: NÁL NÉL{\ displaystyle A} $NÁL NÉL$
- ha , akkor - különösen, $kártya ($ $A$ $⊔$ $A$ $) = kártya ($ $A$ $)$ , akkor ${\ displaystyle 0 <\ mathrm {kártya} (B) \ leq \ mathrm {kártya} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {kártya} (A \ szorzat B) = \ mathrm {kártya} (A)}$
- ha , akkor ; vs.nál nélrd(B)≤vs.nál nélrd(NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathrm {kártya} (B) \ leq \ mathrm {kártya} (A)} ${\ displaystyle \ mathrm {kártya} (B) \ leq \ mathrm {kártya} (A)}$ vs.nál nélrd(NÁL NÉL∪B)=vs.nál nélrd(NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathrm {kártya} (A \ csésze B) = \ mathrm {kártya} (A)} ${\ displaystyle \ mathrm {kártya} (A \ csésze B) = \ mathrm {kártya} (A)}$
  - különösen, ha a végtelenbe tartozik , akkor ; $B$ $VS$ ${\ displaystyle \ mathrm {kártya} (B) <\ mathrm {kártya} (C)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {kártya} (C) = \ mathrm {kártya} (C \ setminus B)}$
- Igen , akkor . ${\ displaystyle 2 \ leq \ mathrm {kártya} (B) \ leq \ mathrm {kártya} ({\ mathcal {P}} (A))}$ ${\ displaystyle \ \ mathrm {kártya} (B ^ {A}) = \ mathrm {kártya} ({\ mathcal {P}} (A))}$
- Összességében End ( A ) a kész részek A és az összes A < ω a véges szekvenciák elemeinek Egy ugyanolyan számosságú, mint A .Valóban, kártya ( A ) ≤ kártya (Fin ( A )) ≤ kártya ( A <ω ) = ∑ n ∈ℕ kártya ( A n ) = ∑ n ∈ℕ kártya ( A ) = kártya (ℕ × A ) ≤ kártya ( A × A ) = kártya ( A );

A nagy bíborosok

A halmazelmélet kardinalitásának vizsgálata továbbra is aktív kutatási téma. A „ nagy bíborosok ” lehetővé teszik a ZFC elmélet természetes kiterjesztését.

A bíboros nem elérhető

Az akadálymentesség annak a lehetősége, hogy kisebb rendekből adott sorszámot vagy bíborost érjünk el.

A rendes β-ról azt mondják, hogy az α-sorrendben kofinális , ha létezik a β szigorúan növekvő $f$ térképe az α-ban, így α az $f$ határa a következő értelemben:

\ forall \ gamma \ alfa, \ delta \ beta, \ gamma \ leq f (\ delta) létezik.

Például egyetlen strictly-nál szigorúan kisebb sorszám sem c végleges, mivel strictly-nél szigorúbban kisebb sorszám n = {0, 1, 2,…, n - 1} egész szám és szigorúan növekvő térkép, amelyet a {0, 1 , 2,…, n - 1} korlátos. A Card bíboros ekkor rendszeresnek mondható , ez minden utód bíboros esetében így van.

Másrészt, ω az alkalmazás segítségével a of ω bíborosban végleges . $f: n \ in \ omega \ mapsto \ aleph _ {n}$

Ez kardinális ℵ co ezután azt mondta, hogy egyes számban .

A cf (α) legkisebb α végső sorszámának megjegyzésével cf (ω) = cf (ℵ ω ) = ω.

A bíborosokat ezután a következőképpen osztályozzák:

ℵ α + 1 formájúak , amelyeket α rendes + 1 utódjaival indexelünk;
a ℵ α formájúak , amelyeket az α határértéke indexel, és amelyek egyesek;
a ℵ α formájúak , amelyeket egy α határértéke indexel és szabályosak.

Ez utóbbi típusú bíborosokat gyengén elérhetetlennek nevezik, mivel nem lehet kisebb bíborosokból felépíteni. Az egyik megkülönbözteti azokat az erősen hozzáférhetetlen bíborosokat, akik ezen felül ellenőriznek . Az ilyen bíborosok létezése nem vezethető le a ZFC halmazelmélet axiómáiból; ezek a bíborosok és mások, akik ugyanolyan feltételnek felelnek meg, ezért nagy bíborosoknak minősülnek . ${\ mathrm {card}} (x) <\ aleph _ {{\ alpha}} \ Rightarrow 2 ^ {{{\ mathrm {card}} (x)}} <\ aleph _ {{\ alpha}}$

Éppen ellenkezőleg, az első két típusú bíborosok hozzáférhetőnek minősülnek , mert a náluk kisebb bíborosokból (ZFC-ben) felépíthetők.

Folyamatos hipotézis

Az egyenlőtlenség kártya N = ℵ₀ <kártya R = 2 ℵ₀ fent lehetővé teszi, hogy írjon ℵ₁ ≤ 2 ℵ₀ óta ℵ₁ a legkisebb bíboros szigorúan nagyobb, mint ℵ₀.

A kontinuumhipotézis megerősíti a ℵ₁ = 2 equality egyenlőséget . Megmutatjuk, hogy ez a tulajdonság eldönthetetlen a ZFC.

Az általánosított kontinuumhipotézis kiterjesztésként azt állítja, hogy bármely α sorszám esetén ℵ α + 1 = 2 ℵ α .

A következő eredményeket úgy kapjuk meg, hogy axiómának ismerjük el az általánosított kontinuumhipotézist.

A gyengén megközelíthetetlen és erősen hozzáférhetetlen bíborosok fogalma között ekvivalencia van.
A beállított ℵ alfa ℵ p a funkciók ℵ p in ℵ alfa van bíboros:
- ℵ α, ha ℵ β <cf (ℵ α );
- ℵ α + 1, ha cf (ℵ α ) ≤ ℵ β ≤ ℵ α ;
- ℵ β + 1, ha ℵ α ≤ ℵ β .

A kontinuumhipotézis újrafogalmazása az, hogy R , a valós számok halmaza valóban able 1 típusú rendelhető . Erősebb állítás, mint az az egyszerű tény, hogy R jól rendezhető, ami ZF-ben egyenértékű a valós számok részhalmazaival szembeni választott axiómával.

Az általánosított kontinuumhipotézis erős formája, amelyet minden végtelen halmazra vonatkozóan megfogalmaztunk, a választott axiómát eredményezi (lásd Hartogs Ordinal című cikkét ).

Megjegyzések és hivatkozások

R. Maillard, G. Girard és A. Lentin, matematika, második osztály , 1964.
. Az egyik megoldás, mivel Dana S. Scott , abból áll, hogy a készlet x a minimális rank tartalmazott olyan osztályban, amely feltételezi a axiómával Alapítvány .
René Cori és Daniel Lascar, Matematikai logika , Dunod, Párizs 2003, vol. 2. fejezet. 7. cikk, 4.13 . 163 .
Lásd például Jech 2003 , p. 50, az 5.20 (ii) tétel igazolása.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Patrick Dehornoy , Logika és halmazelmélet , Előadási jegyzetek , FIMFA ENS , 2006-2007, 5. fejezet: A bíborosok
(en) Thomas Jech , Set Theory: The Third Millennium Edition , Springer , koll. "Springer-monográfiák a matematikában",2003( 1 st ed. 1978), 772 p. ( ISBN 978-3-540-44085-7 , online olvasás )
(en) Akihiro Kanamori , The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Beginnings , Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxiv + 536 p. Második kiadás, Springer, koll. Monográfiák a matematikában, 2008 ( ISBN 978-3540003847 )