Bell sorozat

A számelmélet , a Bell-sorozat a hivatalos sorozat használt tulajdonságainak tanulmányozására aritmetikai funkciók . Eric Temple Bell mutatta be és fejlesztette ki őket .

Meghatározás

Ha f egy aritmetikai funkciót, és p egy prímszám , akkor határozza meg a Bell sorozat index p az f :

{\ displaystyle f_ {p} (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f (p ^ {n}) X ^ {n}.}

Tulajdonságok

Két funkciók multiplikatív f és g megegyezik, ha (és csak akkor), bármely egész szám elsődleges p , van: . ${\ displaystyle f_ {p} (X) = g_ {p} (X)}$
Két aritmetikai f és g függvény esetén ${\ displaystyle f_ {p} (X) g_ {p} (X) = h_ {p} (X),}$ ahol h a Dirichlet konvolúció terméket az f és g .
Ha f teljesen multiplikatív, akkor: ${\ displaystyle f_ {p} (X) = {\ frac {1} {1-f (p) X}}.}$

Példák

Íme néhány gyakori számtani függvény és ezek Bell-sorozata:

A semleges δ 1 a Dirichlet konvolúciós, azaz a karakterisztikus függvénye a Singleton {1}: $(δ 1 ) p ( X ) = 1$ ,
a k- edik $I$ $k$ teljesítményfüggvény (amely teljesen multiplikatív): ${\ displaystyle (I_ {k}) _ {p} (X) = {\ frac {1} {1-p ^ {k} X}},}$
a Möbius-függvény $μ: μ p ( X ) = 1 - X$ ,
a Liouville $λ$ függvény $: λ$ $p$ $($ $X$ $) = 1 / (1 +$ $X$ $)$ ,
az Euler függvényfunkciója : ${\ displaystyle \ varphi _ {p} (X) = {\ frac {1-X} {1-pX}},}$
A osztó funkció $σ k$ : ${\ displaystyle (\ sigma _ {k}) _ {p} (X) = {\ frac {1} {1- \ sigma _ {k} (p) X + p ^ {k} X ^ {2}} }.}$

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Bell-sorozat ” ( lásd a szerzők listáját ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">