Hagyományosan a számelmélet a matematika olyan ága, amely az egész számok (akár természetes, akár relatív egész ) tulajdonságokkal foglalkozik. Általánosabban elmondható, hogy ennek az elméletnek a vizsgálati területe a problémák nagy csoportjára vonatkozik, amelyek természetesen az egész számok tanulmányozásából adódnak. A számelmélet különleges helyet foglal el a matematikában, sok más területhez való kapcsolódása révén, valamint a tételei és nyitott problémái iránti elbűvölés révén, amelyek állításai gyakran könnyen érthetők azok számára is, akik nem. . Ezt fejezi ki Jürgen Neukirch következő idézete :
„A számelmélet a matematika diszciplínái között idealizált pozíciót foglal el, hasonlóan ahhoz, mint a többi matematika. "
Az " aritmetika " kifejezést a számelméletre is utalják. Ez egy meglehetősen régi kifejezés, amely már nem olyan népszerű, mint korábban; a félreértések elkerülése végett a huszadik század elejéig a számelméletet néha „magasabb számtannak” is nevezték. Ennek ellenére az aritmetika melléknév továbbra is meglehetősen elterjedt, különös tekintettel a matematikai mezők kijelölésére ( aritmetikai algebrai geometria , görbék és elliptikus felületek aritmetikája stb.), Ahol a kérdések és megoldások korlátozása egész számokra vagy azok egyes kiterjesztéseire meghatározó szerepet. Az aritmetika kifejezésnek ezt a jelentését nem szabad összekeverni azzal, amit a logika az egész számok axiomatizáló formális rendszereinek tanulmányozásához használ , mint Peano számtanában .
A számelmélet az alkalmazott módszerektől és a megválaszolt kérdésektől függően több tanulmányi területre oszlik.
Az elemi kifejezés általában olyan módszert jelöl, amely nem használ komplex elemzést . Például a prímszám-tételt komplex elemzéssel bizonyították 1896-ban, de elemi bizonyítást Erdős és Selberg csak 1949-ben talált . A kifejezés kissé félreérthető: például a bonyolult tauberi tételeken alapuló bizonyításokat (például a Wiener-Ikehara tétel ) gyakran nagyon megvilágítónak, de nem eleminek tekintik. Az elemi bizonyítás a legtöbb olvasó számára hosszabb és nehezebb lehet, mint a nem elemi bizonyítás.
A számelmélet olyan területről híres, amelyben a laikusok sok eredményt érthetnek. Ugyanakkor ezen eredmények bizonyítékai nem különösebben hozzáférhetőek, részben azért, mert az általuk használt eszközök köre szokatlanul széles a matematikában.
Az elemi számelmélet számos kérdése egyszerűnek tűnik, de nagyon alapos megfontolást és új megközelítéseket igényel, például a következő példák:
Az elmélet a Diophantine egyenletek is kimutatták, hogy eldönthetetlen , azaz, hogy lehet építeni egy explicit egyenlet, amelynek létezését a megoldások nem bizonyítható a szokásos axiómák matematika (c ' Matiyasevich tétel ).
Az analitikus számelmélet meghatározható:
Néhány tantárgyat, amelyet általában az analitikus számelmélet részének tekintenek, például a szitaelméletet , a második meghatározás határozza meg.
Az analitikus számelmélet problémáira példaként említhetjük a prímszám-tételt, a Goldbach-sejtést (vagy az ikerprím- sejtést vagy a Hardy-Littlewood-sejtést ), a Waring-problémát vagy a Riemann-hipotézist . Az analitikus számelmélet legfontosabb eszközei a kör , a szita és az L függvények . A moduláris formák (és általánosabban az automorf formák ) elmélete is egyre központibb helyet foglal el az analitikus számelméletben.
Az algebrai szám egy komplex szám, amely egy polinomi egyenlet megoldása a mező együtthatóival . Például, bármilyen megoldás az algebrai szám. Az algebrai számelmélet az algebrai számok területeit tanulmányozza. Így az analitikai és az algebrai számelméletek átfedhetnek: az elsőt a módszerei, a másodikat a vizsgálati tárgyak határozzák meg.
Ennek az ágnak az alapjai, mint tudjuk, a XIX . Század végén jöttek létre , amikor az eszmék és az értékelés kialakultak. Az eszmék fejlődésének lendülete ( Ernst Kummer által ) a magasabb viszonosság törvényeinek, vagyis a másodfokú viszonosság törvényének általánosításából származik .
A testeket gyakran más kisebb testek meghosszabbításaként tanulmányozzák: egy L testről azt mondják, hogy egy K test kiterjesztése , ha L tartalmaz K-t . Az abeli kiterjesztések osztályozása az osztályterepi elmélet programja volt , amelyet a XIX . Század végén kezdeményeztek (részben Kronecker és Eisenstein ), és nagyrészt 1900 és 1950 között valósult meg.
Az Iwasawa-elmélet egy példa az algebrai számelmélet aktív kutatási területére. A Langlands programot , amely a matematika jelenlegi nagyszabású, teljes körű kutatási programja, néha úgy írják le, mint kísérletet tenni az elméleti osztályok nem abeli kiterjesztésekre való általánosítására.
A Diophantine geometria központi problémája annak meghatározása, hogy mikor van egy Diophantine egyenletnek megoldása, és ha igen, akkor hány. Az alkalmazott megközelítés szerint az egyenlet megoldásait geometriai objektumként kell figyelembe venni.
Például egy kétváltozós egyenlet meghatároz egy görbét a síkban. Általánosabban elmondható, hogy egy egyenlet vagy egyenletrendszer, két vagy több változóval, meghatároz egy görbét, egy felületet stb. Egy n- dimenziós térben . A Diophantine geometriában azt kérdezzük magunktól, hogy vannak-e racionális pontok (pontok, amelyek koordinátái mind racionálisak) vagy egész pontok (pontok, amelyek koordinátái mind egész számok) vannak a görbén vagy a felületen. Ha vannak ilyen pontok, a következő lépés az, hogy megkérdezzük, hány van és hogyan vannak elosztva. Alapvető kérdés ebben az irányban: van-e véges vagy végtelen számú racionális pont egy adott görbén (vagy felületen)? Mi a helyzet az egész ponttal?
Ilyen például a Pitagorasz-egyenlet ; racionális megoldásait szeretnénk tanulmányozni, vagyis olyan megoldásait , hogy x és y egyaránt racionális . Ez annyit jelent, hogy a teljes megoldást kéri ; ennek az egyenletnek bármely megoldása megoldást ad nekünk , . Ez egyenértékű azzal, hogy minden racionális koordinátájú pontot kérünk az általunk leírt görbén (ez a görbe történetesen az egység kör ).
Az egyenletekre vonatkozó kérdések újrafogalmazása a görbék pontjai tekintetében sikeresnek bizonyul. Egy algebrai görbén a racionális vagy egész pontok számának végessége, vagy sem, kiderül, hogy döntően függ a görbe nemzetségétől. Ez a terület szorosan kapcsolódik a diofantin közelítésekhez : adott számot mennyire lehet közel a racionalitáshoz? (Úgy gondoljuk, hogy egy racionális , köztük a és b primmel jó közelítés az if , hol nagy.) Ez a kérdés különösen érdekes, ha algebrai szám. Ha nem lehet jól közelíteni, akkor egyes egyenletek nem rendelkeznek teljes vagy racionális megoldásokkal. Ezenkívül számos fogalom döntőnek bizonyul mind a diofantin geometriában, mind a diofantin közelítések tanulmányozásában. Ez a kérdés különösen érdekes a transzcendens számelmélet szempontjából is : ha egy szám jobban megközelíthető, mint bármely algebrai szám, akkor ez transzcendens szám . Ez meg ez az érv, hogy bebizonyosodott, hogy a és a transzcendens.
A diophantine geometriát nem szabad összekeverni a számgeometriával , amely az algebrai számelmélet bizonyos kérdéseinek megválaszolására szolgáló grafikus módszerek gyűjteménye. Az aritmetikai geometria kifejezést kétségkívül leggyakrabban akkor használják, amikor a modern algebrai geometriával (mint például Faltings tétele ) való kapcsolatokat akarják hangsúlyozni, nem pedig a diofantikus közelítések technikáira.
Ha véletlenszerű számot veszünk fel egy és egymillió között, mekkora a valószínűsége annak, hogy elsődleges? Ez csak egy újabb mód arra, hogy megkérdezzük, hány prímszám van egy és egymillió között. És átlagosan hány elválasztó lesz?
A valószínűségi számelmélet nagy része tekinthető az egymástól szinte független változók tanulmányozásának egyik ágaként . Néha a nem szigorú valószínűségi megközelítés számos heurisztikus algoritmushoz és nyitott problémához vezet, nevezetesen a Cramér-sejtéshez .
Let A lennie egy sor N egészek. Tekintsük az A + A = { m + n | halmazt m , n ∈ A } áll minden összeget két elemét A . Az A + A sokkal nagyobb, mint A ? Alig magasabb? Does A néz ki, mint egy számtani sorozat ? Ha elkezdjük egy elég nagy végtelen A , van benne egy csomó olyan elem a számtani sorozat ?
Ezek a kérdések jellemzőek a kombinatorikus számelméletre. A növekedés és az eloszlás iránti érdeklődése részben annak köszönhető, hogy kialakult kapcsolata az ergodikus elmélettel , a véges csoportok elméletével , a modellelmélettel és más területekkel. A vizsgált halmazoknak nem egész számhalmazoknak kell lenniük, hanem nem kommutatív csoportok részhalmazainak , amelyekhez hagyományosan a szorzót, és nem az összeadás szimbólumot használják; gyűrűk részhalmazai is lehetnek .
Két fő kérdés van: "kiszámíthatjuk ezt?" És "gyorsan kiszámíthatjuk?" ". Bárki tesztelheti, hogy egy szám prím-e, vagy ha nem, megkapja a prímtényezőjét ; ennek gyorsan bonyolultabbá válik. Ma már ismerünk gyors algoritmusokat az elsődlegesség tesztelésére , de a sok munka (mind elméleti, mind gyakorlati) ellenére egyetlen algoritmus sem igazán gyors ehhez a feladathoz.
A számítás nehézsége hasznos lehet: a modern üzenet-titkosítási protokollok (például RSA ) a mindenki által ismert funkcióktól függenek, amelyek inverzeit azonban csak csekély számban ismerik, és ha saját erőforrásaikkal találnak rá, túl sokáig tartana. Míg a számelméleten kívül számos számítási probléma ismert, a legtöbb jelenlegi titkosítási protokoll néhány elméleti probléma nehézségén alapul.
Kiderült, hogy egyes dolgok egyáltalán nem számíthatók ; ez bizonyos esetekben bizonyítható. Például 1970-ben bebizonyosodott, ezzel megoldva Hilbert tizedik problémáját , hogy nincs olyan Turing-gép, amely képes lenne megoldani az összes Diophantine-egyenletet. Ez azt jelenti, hogy a kiszámítható és megszámlálható axiómák halmaza alapján vannak olyan Diophantine-egyenletek, amelyekre az axiómákból nincs bizonyíték arra, hogy az egyenlethalmaznak van-e egész megoldása.
A számtani jellegű történelmi felfedezés egy táblázat töredéke: a törött agyagtábla, a Plimpton 322 ( Larsa , Mezopotámia , Kr. E. 1800 körül) tartalmazza a " Pitagorai hármasok " listáját , vagyis egész számokat, mint pl . Ezek túl nagyok ahhoz, hogy kimerítő kutatások révén meg lehessen őket szerezni . A táblagép elrendezése azt sugallja, hogy a modern nyelvhasználatban mért érték alapján készült az identitás
.Míg a babiloni számelmélet ebből az egyetlen töredékből áll, a babiloni algebra (a középiskolai "algebra" értelmében ) kivételesen jól fejlett volt. Pitagorasz matematikát tanult volna a babilóniaiaktól. Számos korábbi forrás szerint Thales és Pythagoras Egyiptomban utazott és tanult .
A √ 2 irracionalitásának felfedezése a korai pythagoreusiaknak tulajdonítható. Úgy tűnik, hogy ez a felfedezés okozta a matematikai történelem első válságát; bizonyítását és elterjesztését olykor Hippasusnak tulajdonítják , akit kizártak a pitagorai szektából. Ez kénytelen megkülönböztetni egyrészt a számokat (egész számokat és racionális értékeket), másrészt a hosszakat és arányokat (valós számok).
A Kínai maradéktétel tűnik, mint egy gyakorlatot a Szerződés Sunzi Suanjing ( III E , IV E vagy V th század ie. ).
Az ókori Görögország és a hellenisztikus időszak kezdeteNéhány töredéktől eltekintve az ókori Görögország matematikája vagy a kortárs nem matematikusok beszámolóin keresztül, vagy a hellenisztikus korszak matematikai munkáin keresztül ismert. A számelmélet esetében ide tartozik Platón és Euklidész . Platónt a matematika érdekelte, és egyértelműen megkülönböztette a számtant és a számítást. (A számtani, hallotta az elmélet a számot.) Igaz az egyik Platón, Theaitétosz , tudjuk, hogy Theodore bebizonyította, hogy vannak irracionális számok . Theaetetus Platónhoz hasonlóan Theodore tanítványa volt; a különbözõ arányosságok megkülönböztetésén dolgozott , ezért vitathatatlanul úttörõ volt a digitális rendszerek tanulmányozásában.
Euklidész Elemeinek egy részét a prímszámoknak és az oszthatóságnak szentelte, a számelmélet központi tantárgyainak ( Euklidesz elemeinek VII – IX. Könyve). Különösen algoritmust adott két szám legnagyobb osztójának ( Elements , Prop. VII.2) kiszámítására és az első ismert bizonyítékra a prímszámok végtelen létezésének létezésére ( Elements , Prop. IX. 20).
DiophantusNagyon keveset tudunk az alexandriai Diophantusról ; valószínűleg Kr. u. harmadik században élt, vagyis körülbelül ötszáz évvel Euklidész után. Az Arithmetica olyan problémák gyűjteménye, ahol a feladat racionális megoldásokat találni a polinomegyenletekre, általában vagy vagy formában . Így manapság Diophantine egyenletekről beszélünk, amikor olyan polinomi egyenletekről beszélünk, amelyekre racionális vagy egész megoldásokat kell találnunk.
Míg Diophantust főleg a racionális megoldások érdekelték, természetes egész számokról sejtett, például arról, hogy bármelyik egész szám négy négyzet összege .
Āryabhaṭa, Brahmagupta, BhāskaraMíg a görög csillagászat valószínűleg befolyásolta az indiai tanulást, a trigonometria bevezetéséig úgy tűnik, hogy az indiai matematika bennszülött hagyomány; Valójában nincs bizonyíték arra, hogy az Euklidesz elemei a XVIII . Század előtt elérték Indiát .
Árjabhata (. 476-550 BC) azt mutatta, hogy a pár kongruencia , meg lehet oldani egy módszert nevezte kuṭṭaka ; ez az Euklidész algoritmusának szoros és általános eljárása , amelyet valószínűleg függetlenül fedeztek fel Indiában. Brahmagupta (Kr. E. 628) megkezdte a másodfokú egyenletek tanulmányozását, különös tekintettel a Pell-Fermat-egyenletre , amelyben Archimedes már érdeklődött, és amelyet csak Nyugaton kezdtek megoldani Fermat és Euler . Jayadeva talált egy általános eljárást (Method chakravala ) a Pell egyenletének megoldására (a XI . Században idézik , munkája elveszett); az első fennmaradt expozíció a Bhāskara II . Bija-ganitában jelenik meg . Az indiai matematika a XVIII . Század végéig ismeretlen maradt Európában . Brahmagupta és Bhāskara művét Henry Colebrooke fordította angolra 1817-ben .
Számtan az iszlám aranykorbanKora IX th század kalifa Al-Ma'mun elrendelte a fordítás számos kutatás görög matematika és legalább egy munka szanszkrit (a Sindhind , ami lehet, hogy nem lehet a Brāhmasphuṭasiddhānta a Brahmagupta ). A Diophantus fő művét, az Arithmeticát Qusta ibn Luqa (820–912) fordította arabra . Roshdi Rashed szerint Alhazen , Al-Karaji kortársa tudta, amit később Wilson-tételnek fognak nevezni .
Nyugat-Európa a középkorbanA Fibonacci számtani haladású négyzetekről szóló értekezésén kívül Nyugat-Európában a középkorban a számelméletben nem történt előrelépés . A dolgok a reneszánsz végén kezdtek megváltozni Európában, köszönhetően az ókori Görögország műveinek megújult tanulmányának.
Pierre de Fermat (1601-1665) soha nem tette közzé írásait; különösen a számelmélettel kapcsolatos munkáját szinte teljes egészében a Matematikusoknak írt levelek, valamint a Magánjegyzetek és margók tartalmazzák. Alig írt bizonyítékot a számelméletről. Nem volt példaképe a terepen. Ismételten alkalmazta az ismétlődő érvelést , bevezette a végtelen leszármazás módszerét . Az egyik Fermat első érdekek tökéletes számok (amelyek szerepelnek Eukleidész Elemek IX) és barátságos számok ; ez arra készteti, hogy dolgozzon az egész számok elválasztóin, amelyek a kezdetektől fogva a levelezés (1636-os és azt követő évek) tantárgyai között voltak, amelyek kapcsolatba hozták az akkori matematikai közösséggel. Már alaposan tanulmányozta a Diophantus Bachet-kiadását; 1643 után érdeklődése a Diophantine és a négyzetek összessége felé fordult (Diophantus is kezelte).
Fermat számtani eredményei a következők:
Fermat azon állítása ("Fermat utolsó tétele"), amely bebizonyította, hogy az egyenletre nincs mindenre megoldás, csak a Diophantus Arithmetica példányának peremén jelenik meg .
EulerLeonhard Euler (1707-1783) érdeklődése a számok elmélete iránt először 1729-ben váltott ki, amikor egyik barátja, az amatőr Goldbach a Fermat néhány, a témával foglalkozó munkájához irányította. Ezt nevezték a modern számelmélet "újjászületésének", miután Fermat viszonylag sikertelenül hívta fel kortársainak figyelmét a témára. Euler számelméleti munkája a következőket tartalmazza:
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) elsőként adott teljes bizonyítékot Fermat és Euler egyes munkáira és megfigyeléseire - például négy négyzet tételére és a Pell-Fermat egyenlet elméletére . Tanulmányozta a másodfokú formákat is, amelyek meghatározták ekvivalencia-viszonyukat, megmutatták, hogyan lehet őket redukált formába helyezni stb.
Elsőként Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fogalmazta meg a másodfokú kölcsönösség törvényét . Azt is feltételezte, hogy a mai nap egyenértékű a prímszám-tétellel és Dirichlet számtani progresszióval kapcsolatos tételével . Teljes elemzést adott az egyenletről . Élete végén elsőként bizonyította Fermat utolsó tételét n = 5 esetén.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Disquisitiones Arithmeticae (1798) című művében bemutatta a másodfokú kölcsönösség törvényét és kidolgozta a kvadratikus formák elméletét. Bevezette a kongruencia jelölését, és egy részt az elsődleges teszteknek szentelt . A Disquisitiones utolsó szakasza összekapcsolja az egység gyökereit a számelmélettel. Ily módon Gauss kétségtelenül elindította Évariste Galois munkáját és az algebrai számelméletet .
A XIX . Század elejétől a következő fejlemények fokozatosan történtek:
„A matematika a tudomány és a számelmélet a matematika királynője. » Gauss
Angol fordítandó szöveg:
A takiltum kifejezés problematikus. Robson a megjelenítést részesíti előnyben
Angol fordítandó szöveg:
ap.
Angol fordítandó szöveg:
a Proclus megbízhatóságáról
Angol fordítandó szöveg:
A szöveg dátumát belső bizonyítékok (= a szövegben feltételezett adórendszerek) révén leszűkítették Kr. E. 220-420 (Yan Dunjie) vagy 280-473 Kr. (Wang Ling).
Lefordítandó angol nyelvű szöveg:
Ez a számelméletben inkább így volt, mint más területeken (észrevétel Mahoney 1994-ben , 284. o. ). Bachet saját bizonyításai "nevetségesen esetlenek" voltak
Angol fordítandó szöveg:
Fermat levelezésének kezdeti tárgyai között voltak osztók ("alikvot részek") és számos, a számelméleten kívüli tantárgy; lásd a felsorolást Fermat és Roberval között, 1636.IX
Angol nyelvű fordítandó szöveg:
A Fermat Varia Opera összes alábbi idézete a Weil 1984-ből származik , fejezet. II. A standard Tannery & Henry mű magában foglalja Fermat posztumusz Varia Opera Mathematica átdolgozását, amelyet eredetileg fia készített
Angol fordítandó szöveg:
Euler nagylelkűen adott hitelt másoknak ( Varadarajan 2006 , 14. o. ), Nem mindig helyesen.
Angol szöveget lefordítani:
Az előszó
Angol fordítandó szöveg:
a fordítás innen származik
Angol fordítandó szöveg:
Lásd a vita Goldstein és Schappacher 2007 5. szakaszában . Az öntudat korai jelei már Fermat leveleiben is jelen vannak: így észrevételei arról, hogy mi a számelmélet, és arról, hogy "Diophantus műve [...] valójában nem tartozik [hozzá]" (idézi
Lefordítandó angol nyelvű szöveg:
Lásd a Davenport és Montgomery 2000 1. szakaszának bizonyítékát .
Angol fordítandó szöveg:
Lásd a modularitás fontosságára vonatkozó megjegyzést Iwaniec és Kowalski 2004 , p. 1.