Csoportelmélet

A matematikában , pontosabban az általános algebrában , a csoportelmélet az a tudományág, amely a csoportoknak nevezett algebrai struktúrákat tanulmányozza . A csoportelmélet fejlődése a számelméletből , az algebrai egyenletek és a geometria elméletéből fakadt .

A csoportok elmélete szorosan kapcsolódik a reprezentációk elméletéhez . Számos alkalmazásuk van az elméleti fizikában , a kémia , az anyagtudomány és az aszimmetrikus kriptográfia területén .

Az egyik legnagyobb a fejlett matematikai a XX -én században a teljes osztályozási véges egyszerű csoportok . 500 cikken keresztül több mint 100 szerző együttműködésének eredménye.

Történelem

A csoport gondolatának egyik eredete Joseph-Louis Lagrange ( 1771 ) algebrai egyenletek tanulmányozása . A „csoport” terminológiáját Évariste Galois ( 1830 ) emeli ki először : „csoportosíthatjuk” egy elválasztható polinom bomlási mezőjének automorfizmusait. A csoportötlet az új geometriák, Felix Klein ( 1872 ) és a számelmélet tanulmányozásából is származik : Leonhard Euler , Carl Friedrich Gauss .

Alkalmazások

A csoportelméletet széles körben használják a kémia területén . Például arra szolgál, hogy a szimmetriáinak kiaknázásával egyszerűsítse egy molekula Hamilton-féle írását . Ez lehetővé teszi, hogy kiszámítja molekulapályák összegeként atomi pályák és megjósolni a fajta deformáció, hogy a molekula mennek keresztül infravörös (IR) spektroszkópia . A spektroszkópiában lehetővé válik annak megismerése, hogy az átmenet látható lesz-e az infravörös spektrumban és / vagy a Raman-spektrumban , a deformációjának szimmetriájától függően.

Minden molekulának van egy olyan szimmetriája, amelyet az alábbi legördülő mezőben található szinoptikus segítségével lehet meghatározni . Miután megtalálta a pontszimmetria csoportot , a megfelelő karaktertáblát használja.

A molekula szimmetriacsoportjának meghatározása

Az a rokonság elemi struktúrái, a etnológus Claude Lévi-Strauss , segített a matematikus André Weil , azonosítja a koncepció elemi szerkezete rokonság segítségével fogalma csoport (különösen Klein-csoport ). A The Structure Mítoszok , Lévi-Strauss betáplálhatja Klein csoportok, hogy létrehozza a „kanonikus képlettel a mítosz”.

A csoportelméletet az elméleti fizikában is széles körben alkalmazzák , különösen a nyomtávelméletek kidolgozásához .

A csoportok redukálhatatlan ábrázolási táblázatokat hoznak létre. Például a víz esetében a szimmetriák a következők szerint kombinálódnak:

asztal

C _ {{2v}}

$C _ {{2v}}$	E	$C _ {{2}}$	$\ sigma _ {{vb}} (xz)$	$\ sigma '_ {{vb}} (yz)$
E	E	$C _ {{2}}$	$\ sigma _ {{vb}}$	$\ sigma '_ {{vb}}$
$C _ {{2}}$	$C _ {{2}}$	E	$\ sigma '_ {{vb}}$	$\ sigma _ {{vb}}$
$\ sigma _ {{vb}}$	$\ sigma _ {{vb}}$	$\ sigma '_ {{vb}}$	E	$C _ {{2}}$
$\ sigma '_ {{vb}}$	$\ sigma '_ {{vb}}$	$\ sigma _ {{vb}}$	$C _ {{2}}$	E

és a kapcsolt karaktertábla:

asztal

C _ {{2v}}

$C _ {{2v}}$	E	$C _ {{2}}$	$\ sigma _ {{vb}} (xz)$	$\ sigma '_ {{vb}} (yz)$
A 1	1	1	1	1	z	x 2 , y 2 , z 2
A 2	1	1	-1	-1	R z	xy
B 1	1	-1	1	-1	x, R y	xz
B 2	1	-1	-1	1	y, R x	yz

A molekuláris rezgés minden módja redukálhatatlan ábrázolások kombinációjává redukálható, amelyek jellemzői ezután lehetővé teszik annak megállapítását, hogy Raman vagy infravörös spektroszkópia alá tartoznak-e.

Kiegészítő cikkek

Sarah B. Hart , e szakterületre szakosodott matematikus

Megjegyzések és hivatkozások

Elwes, Richard, Óriási tétel: a véges egyszerű csoportok osztályozása , Plus Magazine , 41. szám, 2006. december.
A fő pont szimmetria csoportok karaktertáblái a scienceamusante.net oldalon
Paul Jolissaint, Olvasási megjegyzések: Csoportok és etnológia
- (htlm) [1]
- [PDF] [2]

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

(en) Derek JS Robinson (de) , A csoportok elméletének tanfolyama , Springer, koll. " GTM " ( n ° 80)1996, 499 p. ( ISBN 978-0-387-94461-6 , online olvasás )