A kvantummechanika az elméleti fizika azon ága, amely a kvantumelmélet és a hullámmechanika eredményeként tanulmányozta és leírta a fizikai rendszerekben működő alapvető jelenségeket , különösen az atom és a szubatomi skálán .
Az 1920-as években egy tucat európai fizikus dolgozta ki olyan problémák megoldására, amelyeket a klasszikus fizika nem tudott megmagyarázni, például a fekete test sugárzását , a fotoelektromos hatást vagy a spektrális vonalak létezését . Eredményesen és különféle alkalmazásokban gyümölcsözőnek bizonyult: lehetővé tette különösen az atom szerkezetének rejtélyének tisztázását , és általánosabban kiderült, hogy ez az általános rész az elemi részecskék viselkedésének leírására , egészen az a modern fizika alapkivonatának a lényege.
A kvantummechanika mély fogalmi nehézségekkel jár. Ha matematikai formalizmusának hatékonysága páratlan, értelmezése a tudományos közösségben nem egyöntetű. Fogalmai tartalmazzák a részecske-hullám kettősséget , a kvantum szuperpozíciót , az összefonódást vagy a nem lokalitást .
A kvantumfizika kifejezés egy nagyobb elméleti testre utal, amely a kvantummechanikára támaszkodva jelenségek nagyobb csoportját írja le, beleértve az alapvető kölcsönhatásokat a standard modellben .
A kvantomechanikus a kvantummechanika és a kvantokémikus a kvantumkémia szakembere .
Világszerte a kvantummechanika két szempontból különbözik a klasszikus fizikától: a valószínűségek additivitására vonatkozó eltérő szabályok és a fizikai mennyiségek létezése, amelyek csak rögzített mennyiségek többszörösével, úgynevezett kvantumokkal nyilvánulhatnak meg, amelyek nevüket adják az elméletnek.
A valószínűség törvényeinek klasszikus felfogásában, amikor egy esemény két különböző módon, egymással összeegyeztethetetlen módon fordulhat elő, a valószínűségek összeadódnak. Nem ez a helyzet a kvantummechanikában, ahol egy esemény valószínűsége összefügg a valószínűsíthetően interferáló amplitúdóval , beleértve a destruktív hatást is.
Ezt a tulajdonságot Young réseinek tapasztalata szemlélteti, amelyet Richard Feynman különösen az anyag kvantum-viselkedésének legemblematikusabbnak tart. Kvantummechanikai tanfolyamán Feynman hosszú fejezetet szentel részletes elemzésének. Ez a kísérlet a hullám-részecske kettősség fogalmát is szemlélteti , amely az elmélet szokásos értelmezésének alapja.
Jelenleg úgy vélik, hogy makroszkopikus skálán ennek a valószínűségi viselkedésnek a látszólagos figyelmen kívül hagyását a dekoherencia nevű jelenség magyarázza . Vannak azonban más magyarázatok, de egyik sem egyhangú: lényegében a kvantummechanika értelmezésében mutatkozó különbségekből fakadnak .
A kvantummechanika olyan mennyiségek létezéséből ered, amelyek csak rögzített mennyiségek többszörösében nyilvánulhatnak meg, gyakran összekapcsolódva Max Planck által felfedezett állandóval . Ezek a mennyiségek például a részecskék energiája vagy szögmomentuma .
Ennek a jelenségnek a legkézenfekvőbb illusztrációja és következményeiben a leggazdagabb valószínűleg az atom szerkezetében, pontosabban az atom körüli elektronok szerveződésében keresendő. Valójában az elektronok úgy oszlanak meg, hogy elfoglalják azokat a helyeket, amelyeket az energiájukhoz és a szögmomentumukhoz kapcsolódó kvantumszámok lehetséges értékei szabadon hagynak. Ez a szervezet lehetővé teszi a természetes elemek kémiai és spektroszkópiai viselkedésének magyarázatát .
A kvantumok megléte nem alapvető tulajdonsága a kvantummechanikának, mert más megfontolásokból is kimutatható, különös tekintettel a valószínűségek additivitásának fent említett szabályára. Ez azonban minden bizonnyal a kvantummechanika egyik legjellemzőbb aspektusa, mert éppen ez nyilvánul meg legkönnyebben az egyenletekben, és történelmileg ezen aspektus alapján fedezték fel a kvantummechanikát.
Kétségtelen, hogy a fekete test sugárzási problémájának megoldása jelentette a kvantumelmélet kezdetét . A XX . Század elején Max Planck valóban úgy oldja meg a problémát, hogy feltételezi, hogy az atomok energiája adott mennyiség sokszorosában kereskedhető, mivel Planck állandójának nevezik, és ezt követően a négy alapvető állandó egyikeként ismerik .
Ez a csak diszkréten cserélhető energiamennyiségek ötlete sok fizikust inspirál, például Niels Bohr-t , aki különösen az atom szerkezetének modelljének kidolgozására fogja használni. Általánosságban ez volt az úgynevezett kvantumelmélet kezdete .
Nem sokkal Planck felfedezése után Albert Einstein , különösen a fotoelektromos hatás elemzését követően , azt sugallja, hogy a h ν mennyiség egy olyan elektromágneses részecske energiája, amelyet később fotonnak fognak nevezni . A korpuszkuláris fényfelfogás újbóli bevezetése arra ösztönzi Louis de Broglie-t, hogy javasoljon hasonló kapcsolatot, mint a Planck, de a mozgás mennyiségét illetően:
hol van egy hullámvektor . az úgynevezett redukált Planck-állandó .
Ennek során a részecskehullám kettősségének felbujtója, amely arra ösztönzi bizonyos fizikusokat, hogy az anyag hullámleírását keressék. Ezek közül Erwin Schrödinger sikerrel jár, és megszerez egy differenciálegyenletet, amely most a nevét viseli, ami lehetővé teszi egy részecske kvantumfejlődésének pontos leírását. Ez az egyenlet gyorsan bebizonyította relevanciáját a hidrogénatom modelljének leírásában .
Ugyanakkor Werner Heisenberg egy egészen más megközelítést dolgozott ki, amely közvetlenül a klasszikus analitikai mechanika ihlette mátrixszámításokra támaszkodott .
Ez a két megközelítés, valamint a részecskehullám-kettősség fogalmával kapcsolatos zavartság a feltörekvő kvantummechanikának tisztázási igényt adott. Ez a pontosítás Paul Adrien Dirac brit fizikus munkájának köszönhető .
Dirac egy 1930-ban megjelent könyvben, a Kvantummechanika alapelvei címmel mutatja be, hogy a két megközelítés, Schrödinger és Heisenberg megközelítése valójában csak egyazon lineáris algebra két ábrázolása . Ebben az alapító munkában Dirac kivonja a megfelelő kvantumtörvényeket, figyelmen kívül hagyva a klasszikus fizika által már elrendelt törvényeket. Dirac ezután axiomatikusan ábrázolja a kvantummechanikát, valószínűleg az akkori matematikai fejlemények ihlette, különös tekintettel a projektív geometriára .
Dirac munkáját néhány évvel korábban megelőzte John Von Neumann , de Von Neumann munkája matematikailag sokkal szigorúbb volt, így elsősorban a matematikusok számára szólt. A fizikusok inkább Diracét választották neki, ezért lényegében Dirac munkája hagyta el az utókort. Könyvének újrakiadásának előszavában Von Neumann megemlíti Dirac művét, és "kvantummechanika reprezentációjaként írja le, amelyet rövidség és elegancia szempontjából alig lehet felülmúlni" , de a következő bekezdésben ugyanezt hozzáteszi: módszere "semmiképpen sem felel meg a matematikai szigorúság követelményeinek" .
Paul Dirac azonosítja a fizikai jelenségek lényegében kvantumtulajdonságait, és néhány posztulátum és fogalom révén fejezi ki azokat, amelyek a kvantummechanika alapját képezik. Itt kevésbé formálisan, az általános megértést elősegítő módon mutatják be őket. A részletes cikk megfogalmazásukat szigorúbb, de absztraktabb módon is bemutatja.
Lényegében egy kvantumállapot az, ami számszerűsíti azt, amit egy kvantumrendszerről tudhatunk. Lehetővé teszi a megfigyelhetőségek valószínűségének és mért átlagértékeinek kiszámítását (helyzet, lendület stb.). A kvantumállapotokat matematikailag halmazállapot- vektorok írják le egy Hilbert-térben , amelyet egy Dirac által bevezetett dedikált jelölés képvisel, az úgynevezett bra-ket jelölés . Ezután egy kvantumállapotot írunk a formába . Ennek az állapotvektornak az időbeli alakulását matematikailag írja le a hullámfüggvény , amelyet a Schrödinger-egyenlet vezérel .
Ez a két ábrázolás tiszta állapotokat , vagyis idealizált és izolált egyszerű kvantumrendszerek állapotát érinti, ahol az egyes komponensek számszerűsíthetők és megfigyelhetők. A kevert állapotok , képviselő kvantumállapotok komplex kölcsönhatás olyan környezetben, vagy egy mérőeszköz, ahol a komponensek száma túl nagy, vagy hozzáférhetetlen megfigyelés, a kvantum állapotban inkább képviseli sűrűségmátrix .
A bra-ket jelölés esetén a kvantumállapotot a sajátállamok függvényében fejezzük ki, vagyis azokat az állapotokat, amelyeknél biztosak vagyunk abban, hogy ha egy megfigyelhető mérését végeznénk, akkor kétségtelenül kapnánk egy adott értéket . Általában ugyanazokat a szimbólumokat használják ezekhez az állapotokhoz, mint amelyet ezen érték azonosítására használnak. Például, ha biztosak vagyunk abban, hogy ha elvégezzük ezt a mérést, az eredmény érték lesz , akkor megjegyezzük az állapotot . Egy adott megfigyelhetőséghez általában létezik bizonyos számú (akár végtelen) sajátállam. Például, ha érdekli a spin- egy részecske spin 1/2, megkapjuk két sajátfüggvényeket ellentétes irányú: és . A megfigyelhető helyzetben, végtelen számú kapunk sajátfüggvényeket mindegyikének megfelelő lehetséges pozíció ... .
Ezek a sajátállamok a Hilbert-vektortér ortogonális vektorai, és ennek egy alapját képezik , egy adott megfigyelhetőhez kapcsolva . Bármely kvantumállapotot kifejezünk ezeknek a sajátállamoknak a lineáris kombinációjaként , például a spin 1/2 általánosított állapota :, a és b komplex számok .
Bármely két külön kvantumállapot nem feltétlenül különböztethető meg , mert valószínű, hogy két különálló állapot mérése ugyanazt a mért értéket adja. Két kvantumállapot akkor mondható el egymástól, ha van legalább egy mérési folyamat, amelyben teljesen biztosak vagyunk abban, hogy a két állapot eltérő eredményt ad.
A kvantummechanika valószínűleg a legfontosabb posztulátuma a szuperpozíció elve . Ezen elv szerint, ha egy fizikai rendszer állapotban lehet , és ha állapotban is lehet , akkor lineárisan összetett állapotban is lehet:
hol és melyik két komplex szám .
Más szavakkal, egy fizikai rendszer lehetséges állapotainak halmaza egy vektortér (vagy pontosabban egy Hilbert-tér , ahogy fentebb említettük), amelynek dimenziója tetszőleges lehet.
A fontos pont az, hogy az egymásra helyezett állam nem az állam, amely tudatlanságot fordít a rendszer "valódi" állapotával szemben, hanem a rendszerben rejlő határozatlanság, amely sem az államban , sem az államban nincs. . Ez a kérdés sok kérdést vetett fel a tudományos közösségben. Különösen a szuperpozíció elve áll az úgynevezett kvantummérés problémájának hátterében , amelyet Schrödinger népszerűsített azzal, hogy egy olyan macskára alkalmazta , amely Schrödinger paradoxona szerint nem halott és nem is élő.
A szuperpozíció elvét Einstein is elemezte és kritizálta, aki Borisz Podolszkijjal és Nathan Rosen- nel együtt elképzelte az EPR-kísérlet néven ismert kísérletet annak hibája érdekében. Hasonló kísérletet hajtott végre a XX . Század végén Alain Aspect , amely fenntartotta a szuperpozíció elvét.
Max Born fizikusról elnevezett Born-szabály a szuperpozíciós elv lineáris együtthatóinak valószínűségi értelmezése. Gyakran valószínűségi értelmezésnek is nevezik.
Ez a szabály szemléltethető például Schrödinger fent említett macskájának figyelembe vételével, amelynek kvantumállapota a következőképpen írható fel:
Egy kísérlet, amelynek célja annak megállapítása, hogy ez a macska meghalt vagy életben van-e, nem adna bizonyossággal eredményt (különben a macska vagy államban, vagy állapotban lenne ). Egy egyszerűsített módon, azt mondhatjuk, hogy a Born-szabály számszerűsíti ezt a bizonytalanságot, kijelentve, hogy a valószínűsége, hogy a döglött macska egyenlő a tér a modulus osztva a négyzetének összege a modulusainak és .
Általánosabban: egy olyan rendszer esetében, amelynek állapotvektora megkülönböztethető állapotok lineáris kombinációja , annak valószínűsége, hogy a megkülönböztethetőséget meghatározó mérték eredménye megegyezik azzal, mintha a rendszer állapotban lett volna :
,ahol az állapotvektor lineáris együtthatói.
A számítások egyszerűsítése érdekében az állapotvektort általában normalizálják úgy, hogy a nevező egy legyen. Ez semmilyen módon nem befolyásolja a valószínűségszámításokat. A gyakorlatban tehát Born szabályát írják leggyakrabban:
,vagy:
Ahol az arányossági együttható által bezárt normalizálására kapcsolatban: ,Born uralma a kvantummechanika egyik legnehezebben felfogható posztulátuma. Vita tárgyát képezi, már csak azért is, mert axiomatikus státusát legalább két értelmezés megkérdőjelezi: több világ értelmezése és a tranzakciós értelmezés . E két értelmezés szerint Born szabálya mélyebb matematikai és fizikai megfontolásokból vezethető le.
Amikor egy kísérlet után biztosak vagyunk abban, hogy mindig ugyanazt a mérési eredményt kapjuk , azt mondjuk, hogy a figyelembe vett fizikai rendszer állapotban van . Ez azonban nem azt jelenti, hogy biztosan tudjuk egy másik kísérleti eszközzel végzett mérés eredményét. Más szavakkal, még a rendszer állapotának teljes ismerete sem garantálja a rajta végzett kísérletek eredményeinek tökéletes ismeretét.
Így például, ha megmérjük egy részecske helyzetét az állapotban , biztosak vagyunk abban, hogy megkapjuk , másrészt viszont eleve nem lehet biztosan tudni, mi az impulzus mérésének eredménye, mert különben a részecske is állapotban lenne , ami nem általános eset, ezért ad-hoc hipotézist alkot .
Általánosabban, ha egy bizonyos mérési folyamat A mi jelöljük minden tökéletesen meghatározott mérési eredmény állapotok, akkor azáltal, hogy a szuperpozíció elve, az összes lehetséges lineáris kombinációk is lehetséges állapotok egyes rendszerek:
Ezek a lineáris kombinációk némelyikük képes lehet tökéletesíteni egy másik B mérési folyamathoz meghatározott körülményeket . A kérdés az, hogy mi lehet a mérés eredményét egy e „tiszta” államok B .
A lineáris együtthatók valószínűségi értelmezése azt sugallja, hogy a mérési eredmény, ha nem determinisztikus, akkor is statisztikailag megegyezik a matematikai várakozással :
Ez a kifejezés az együtthatók szeszkinilináris formája . A vektoros altér generált által les , akkor ezért írom ezt a kifejezést használva skalár szorzat , amelyben az alap van ortonormált . Ennek a skaláris szorzatnak a megválasztása ad jelentést a bra-ket jelölésnek: a "balra" jegyzett melltartó vektorok ekkor a ket állapot tér kettős terének elemei . Ezután megvan a kapcsolat:
hol van a Kronecker szimbólum .
A matematikai várakozás kifejezése ekkor írható:
A kifejezés azt a lineáris operátort javasolja bevezetni, amelynek sajátvektorai a és a hozzá tartozó sajátértékek a mérési eredmények lehetséges értékei. Ez az operátor az úgynevezett megfigyelhető társított mérési folyamat A . Nem más, mint egy matematikai eszköz, amely lehetővé teszi a mérési eredmény matematikai várakozásának kiszámítását, amelyet ezután felírnak:
Egy ilyen kifejezés érdeke, hogy már nem függ egyértelműen az alaptól . Így nyerünk az absztrakcióban és egyszerűsítjük a számításokat, kissé hasonlóan az analitikai geometriához, ahol gyakran egyszerűbb a vektorokat absztrakt jelölésükkel manipulálni, nem pedig egy adott bázis koordinátáival .
Elemi algebrai megfontolásokból könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a megfigyelhető önadduktív operátor, amelyet sajátvektorainak és sajátértékeinek függvényében a következőképpen írhatunk fel:
Amikor elegendő megfigyelhetőség áll rendelkezésünkre bármely mérési eredmény leírására, azt mondjuk, hogy teljes ingázási megfigyelhető készletünk van, és ez a megfigyelhető sajátvektorai által létrehozott hermetikus térben van.
A felépítéssel az állapottérben lévő pont szorzat lehetővé teszi a mérési eredmények valószínűségének kiszámítását. Könnyű megérteni, hogy azok a lineáris operátorok, amelyek megtartják ezt a skaláris szorzatot, nagyon fontos szerepet játszanak a kvantummechanikában. A lineáris algebrában ezeket az operátorokat, amelyek megtartják a dot terméket, egység operátoroknak nevezzük . Alapvető tulajdonsága, hogy helyetteseik fordítottjai legyenek:
Általános esetMivel ez tartja skalárszorzat, egy egységet üzemeltető transzformáció egy fizikailag nem lehet megkülönböztetni helyet , mert ez ad pontosan ugyanazt a mérési valószínűségeket. Ezzel ellentétben ésszerű azt feltételezni, hogy az állapotteret megkülönböztethetetlenné alakító operátor egységes.
Ezután az összes egységes operátor halmazának, valamint egy olyan részhalmaznak a figyelembevétele, amelyet μ skalárral lehet folyamatosan paraméterezni, lehetővé teszi az első sorrendben való megközelítést μ-ben:
hol van egy tetszőleges a priori lineáris operátor, amelyet anélkül, hogy elveszítené az általánosságot, formában írhatjuk .
Azáltal, hogy felírja az egységességi relációt , az első sorrendben marad:
Vagyis önsegítő.
Röviden, ha van egy olyan paraméter , amely folyamatosan transzformáció egy fizikailag nem megkülönböztethető teret , akkor létezik egy egységet üzemeltető és egy megfigyelhető mennyiséget úgy, hogy átalakítja a és:
Egyenlővé az , megjegyezve, a vektor olyan, hogy , úgy tűnik, a növekedés mértéke az egy végtelenül változása μ szomszédságában nulla, úgy, hogy lehet írni:
ahol az en függősége implicit ( ).
Schrödinger-egyenletAz előző megfontolások felhasználhatók a Schrödinger-egyenlet elméleti szempontból történő bevezetésére, egy olyan szimmetriaelvnek köszönhetően, amely szerint a fizika törvényei időben változatlanok. Ennek egy másik módja az, ha azt mondjuk, hogy egy állapottérben végzett kísérlet nem különböztethető meg az állapottérben végzett azonos kísérlettől . Ezért alkalmazhatjuk a korábbi eredményeket, ha t (vagy -t) vesszük a következőkre :
A tényezőt itt helyezzük vissza, hogy megfeleljen a korábban figyelmen kívül hagyott dimenziós korlátoknak. A megfigyelhető részletes kifejezését , amelyet a klasszikus mechanikával analóg módon Hamiltoninak nevezünk , leggyakrabban a megfelelés elvével kapjuk meg .
A Schrödinger-egyenletnek ez a megfogalmazása teljesen eltér a történelmi megfogalmazástól, és mint ilyen, néha általánosított és időfüggő Schrödinger-egyenletnek nevezik .
Impulzus és szögimpulzusAmi a Schrödinger-egyenletet illeti, de ezúttal azt az elvet alkalmazva, amely szerint a fizika törvényei invariánsak a térben, bemutatjuk a lineáris momentum (más néven impulzus ) és annak három térkomponensének megfigyelhetőségét:
A szögimpulzus esetét (néha kifejezettebben szögimpulzusnak nevezzük ) ugyanúgy kezeljük, de a térben történő forgásokra.
Két A és B operátort, amelyek nem feltétlenül megfigyelhetők, a következőképpen definiáljuk a kommutátorukat :
Ez az operátor nagyon fontos szerepet játszik a kvantummechanikában. Például, ha érdekel egy megfigyelhető A matematikai elvárása egy állapotra :
A Schrödinger-egyenletet és a jelölést használva megkapjuk :
kifejezés, amely az Ehrenfest-tételt alkotja .
A kommutátor analóg a klasszikus mechanika Poisson-konzoljával . Részt vesz a bizonytalansági elv magyarázatában és leírásában is .
Tulajdonságok:
A gyakorlatban az állapotot leggyakrabban a tökéletesen meghatározott térbeli helyzet állapotainak bázisába írják :
Itt az integráció játszik szerepet a fent használt összegzésben, különösen a szuperpozíció elvének megállapításában, a különbség az, hogy folyamatos összegről szól, vagyis a végtelenül kis kifejezések végtelen összegéről.
A függvényt „hullámfüggvénynek” hívják, és rajta hajtják végre a Schrödinger-egyenletből kapott számítások nagy részét.
A Schrödinger-egyenletet már nem a hullámfüggvény , hanem a hullámfüggvény függvényében írjuk úgy, hogy a Hamilton-féle egyes tagokat a hullámfüggvénytől függő megfelelő kifejezésekkel helyettesítjük. Például az impulzust a fentiek szerint írjuk, ahol T ( x ) az x hosszúság térbeli transzlációjának egységes operátora , vagyis:
.Ettől kezdve jön:
Az integrál alatti változó megváltoztatásával, és arra emlékezve, hogy az egyenletet x = 0 szomszédságában írják, a következõ következik:
Más szavakkal, az impulzus-operátor úgy hat az állapotvektorra, hogy olyan vektort ad, amelynek koordinátái a térbeli ábrázolásban a hullámfüggvény deriváltjai (kivéve az itt figyelmen kívül hagyott tényezőt ). Ez lehetővé teszi az összes számítás elvégzését csak a hullámfüggvényen, és ezáltal csökkenteni a részleges differenciálegyenlet felbontására , vagyis a Schrödinger-egyenletre annak történelmi formájához közelebb álló formában:
Born szabálya azt jelenti, hogy egy kísérlet eredménye még akkor is meghatározhatatlan, ha a rendszer állapota tökéletesen meghatározott. Ez a határozatlanság a rendszerben rejlik, és bizonyos értelemben nincs klasszikus megfelelője. A rendszer pontos állapotára vonatkozó tudatlanság azonban igazolhatja a kifejezés klasszikus értelmében vett valószínűségi leírást is, vagyis a valószínűség törvényeinek szokásos elfogadásával.
Így ortonormális állapotban , még akkor is, ha a pontos állapot ismeretlen, mégis valószínűségi eloszlást rendelhetünk hozzá , hol van annak valószínűsége, hogy a rendszer kvantum állapotban van . Ekkor az a kérdés, hogy az ilyen típusú valószínűséget hogyan számolják el a számításokban.
A rendszer vizsgálata a rendelkezésre álló megfigyelhetőség mérésére redukálódik, amely önmagában le van írva átlagos értékük mérésére egy megfigyelhető és ha a rendszer állapotban van :
Mivel a rendszer ismeretlen állapotban van, de a valószínűségeloszlással együtt , a matematikai várakozás a következővé válik:
Ez a kifejezés bizonyos értelemben matematikai kettős elvárás, mind a kvantum, mind a klasszikus valószínűségeket figyelembe véve. A kifejezések valójában matematikai elvárások, a szuperpozíció elvéhez és Borni szabályához kapcsolódó valószínűségeloszlásokra. A kifejezés a maga részéről egy valószínűségi eloszláshoz kapcsolódó matematikai várakozás, amely a rendszer valós állapotának tudatlanságát tükrözi, vagyis egy klasszikus valószínűség-eloszlást.
Ezután a matematikai várakozás leírható:
A kifejezést az úgynevezett sűrűségmátrixnak nevezzük, amely a bázis valószínűségi eloszlásához kapcsolódik . a nyoma .
A sűrűségmátrix a megfigyelhetőekhez hasonlóan csak egy matematikai eszköz, amely lehetővé teszi a mérési eredmények matematikai várakozásainak kiszámítását, de a megfigyelhetőségektől eltérően a sűrűségmátrix magában foglalja a rendszer pontos állapotának esetleges ismeretlenségének figyelembevételét. .
A kvantummechanikában vannak olyan problémák és tanulmányi tárgyak, amelyeket most nagyon jól elemeznek, és amelyek nagyon hasznosak más rendszerek megértéséhez. Az elméleti korpusz szerves részét képezik, és minden tankönyv részletesen foglalkozik velük.
A fent megfogalmazott alapelvek már elegendőek az anyag egyik legfontosabb tulajdonságának: a bozonok és a fermionok megkülönböztetésének magyarázatához .
Valójában ez a megkülönböztetés lényegében az állapottér vektoriális jellegéből és annak valószínűségi értelmezéséből fakad. Ha figyelembe veszünk egy fizikai rendszert (vagy egyszerűbben egy részecskét), és megjegyezzük annak állapotát, akkor a két vektor tenzortermékének felhasználásával egy ilyen részecskékből álló fizikai rendszert írunk fel .
Ekkor az a kérdés merül fel, hogy meg kell tudni, hogyan viselkedik a rendszer, ha gondolatunkkal megfordítjuk a két részecske szerepét. Más szavakkal, kíváncsiak vagyunk a és a kapcsolatára . Ez a két rendszer teljesen analóg, amikor a részecskéket megkülönböztethetetlennek tartják, ugyanúgy kell viselkedniük. Valószínűségeloszlásuk tehát azonos, ezért skalárral köti őket össze :
Most, ha ismét megfordítjuk a részecskéket, szükségszerűen újra meg kell szereznünk a kezdeti rendszert, hogy:
A komplex számok között is csak két négyzetgyöke van az egységnek: 1 és -1. Ez azt jelenti, hogy csak két nagyon különböző típusú részecske létezhet: a bozonok és a fermionok (ezek a nevek azokra a fizikusokra utalnak, akik felfedezték a kapcsolódó statisztikákat: Satyendranath Bose és Enrico Fermi ).
Ebből közvetlenül következik Pauli kizárásának elve , amelynek csak a fermionok engedelmeskednek. Vegyünk például egy fermiont, és képzeljünk el e faj két részecskéjét pontosan ugyanabban az állapotban .
Megvan: és ezért:
Más szavakkal, annak a valószínűsége, hogy két fermion azonos állapotban van, mindig nulla. Az ilyen tulajdonságnak jelentős jelentősége van a természetben. Olyan nagyrészt tartozunk neki a test áthatolhatatlanságával (en) .
Ezzel szemben a bozonok hajlamosak egymással csoportosulni, mert a valószínűség amplitúdóik konstruktív módon zavarják, ha ugyanabban az állapotban vannak. Ez okozza számos jelenséget, például a stimulált emissziót , amelyek a lézerek működésének alapját képezik .
A fenti számításokkal összehasonlítható megfontolások lehetővé teszik annak megértését, hogy páros számú fermion bozonként viselkedik. Ez okozza az olyan jelenségeket, mint a szupravezetés , ahol az elektronok Cooper-párokat alkotnak . Ez magyarázza a hélium különböző izotópjai közötti viselkedésbeli különbségeket is : a hélium 4 ( 4 He) atomjában minden részecske két példányban van jelen (két elektron, két proton és két neutron, Cooper-párokat alkotva), ami ez az atom egy bozon. Ez nem így van a hélium 3 ( 3 He) atomjában , amelynek csak egy neutronja van, ami ezt az atomot fermionvá teszi; amely egy másik hélium 3 atommal kombinálva Cooper páros bozont alkothat.
A részecskék bozonikus vagy fermionos jellege összekapcsolódik a spinükkel , amelyet spin-statisztikai tételnek nevezünk .
A kvantummechanikában analitikusan megoldható rendszerek közül egyikük történelmileg és elméletileg is különös jelentőséggel bír. Ez a harmonikus oszcillátor .
A klasszikus mechanikában a harmonikus oszcillátor nagy jelentőségű rendszer, mivel ez az egyensúlyi helyzet körüli stabil rendszerek jó közelítését jelenti. Megfelelő mértékegység-rendszerben az energiaegyenletet felírják:
Hol és hol van a mobil impulzusa és helyzete.
A kvantummechanikában az egyenlet formailag ugyanaz, de az érintett mennyiségek eltérő természetűek. Ahelyett, hogy valós időfüggő skalárok lennének, a lendület és a helyzet lineáris operátor az állapotok vektorterén. Ezek a mennyiségek algebrailag manipulálhatók, mint a normál skalároknál, azzal a különbséggel, hogy ez nem kommutatív algebra. Figyelmet kell tehát fordítani az érintett üzemeltetők közötti váltásokra . Ebben az esetben a kapcsoló között és a következő:
Ezután a rendszer felbontása áthalad a figyelemre méltó identitás ihlette faktorizáción . Miközben erre emlékezünk , az egyik két operátort mutat be (a normalizálási tényező közel van):
A számítás során megjelenő okok miatt (lásd a részletes cikket ) ezeket az operátorokat kvantum létrehozó és megsemmisítő operátoroknak , vagy skála operátoroknak nevezzük . Ezután az ismétlődő érvelés lehetővé teszi a lehetséges energiaszintek számszerűsített karakterének bemutatását és értékeik kiszámítását. Ezek a kvantumok a fotonok mechanikai analógjai, és mint ilyenek, néha fononoknak nevezik őket .
A teremtés és a megsemmisítés operátorainak ez a bevezetése a kvantumfizika meglehetősen emblematikus technikája. Megtalálható például a kvantumszögimpulzus elméletében vagy a kvantumtérelméletben .
A kvantummechanika egyik legegyszerűbb rendszere a szabad részecske, amelynek energiája kinetikai komponenséig redukálódik . Ezután a Schrödinger-egyenletet írjuk:
A megoldások a következők:
Az alagúthatás azt a tulajdonságot jelöli, amely egy kvantumobjektumnak képes átjutni a potenciális gáton, még akkor is, ha energiája kisebb, mint a gáton való átjutáshoz szükséges minimális energia. Tisztán kvantumhatás, amelyet a klasszikus mechanika nem magyaráz meg. Egy ilyen részecske esetében a hullámfüggvény, amelynek a modul négyzete a jelenlét valószínűségének sűrűségét képviseli, a gát szintjén nem törlődik, hanem a gát belsejében gyengül, gyakorlatilag hatványozottan, meglehetősen széles gát esetében. Ha a potenciális gát kijáratánál a részecskének nem nulla valószínűsége van, akkor átmehet ezen a gáton. Ez a valószínűség a gát mindkét oldalán elérhető állapotoktól, valamint a gát térbeli kiterjedésétől függ.
Történelmileg az elektron pörgése elsősorban kísérleti jelenség, amelyet különösen Stern és Gerlach kísérlete során figyeltek meg . Lényegében egyfajta nagyon gyenge mágneses momentumként jelenik meg, amely csak két lehetséges értéket ismer be, amelyek ellentétesek és amelyek a mérési tengely mentén nem változnak folyamatosan. Ezért olyan mennyiségről van szó, amely - legalábbis megjelenésében - nem tartja tiszteletben a trigonometria térbeli törvényszerűségeit , miközben irányított. Ezeket a meglehetősen furcsa megfigyeléseket csak kvantummechanikával lehetett megmagyarázni.
Az elektron pörgése tehát a priori nagyságú irány, amely csak két azonos nagyságú és ellentétes irányú értéket vehet fel. A megfelelő kvantumállapotokat ezután általában és . Ezek az állapotok egy adott megfigyelési tengelytől függenek, amelyet hagyományosan függőlegesen helyeznek el, vagyis a tengely mentén .
Megfelelő mértékegység-választással ez azt jelenti, hogy egy állapotban lévő elektron esetében a spin szerinti mágneses nyomaték mérése a +1 eredményt adja biztosan. Ugyanígy egy állapotban lévő elektron szükségszerűen -1 értéket ad az ugyanazon tengely mentén végzett mérés eredményeként.
Ezért, és az alapját képezik egy kétdimenziós vektorral térben, és a megfigyelhető társított mérési a spin tengely mentén ezután beírjuk, a mátrix reprezentációja:
(itt a 3 indexet választják, mert a tengely hagyományosan a térbeli trihedron harmadik tengelye)
A szuperpozíció elvének alkalmazásával az elektron bármilyen lineáris szuperpozíciója és lehetséges állapota is. Ezek közül a lineáris kombináció, vannak olyanok, amelyek a sajátvektorait két mátrix és :
, és az egységmátrixszal formáljuk az úgynevezett Pauli-mátrixokat .
Az egységvektor és a megfigyelhetõ figyelembevétele ezután lehetõvé teszi az állapot alábbi átlagos értékének bemutatását :
hol van a tengelytől távol eső szög .
Más szavakkal, amint és összekapcsolódnak a tengelyek mentén a spin méréséhez kapcsolódó megfigyelhetőségekkel, és ekkor megjelennek a trigonometria szabályai, de valószínűségi jelentőséggel. Ez a kvantummechanika tipikus eredménye.
Az elektron pörgése nagyon fontos szerepet játszik a kvantummechanikában, egyrészt azért, mert ez egy olyan jelenség, amelynek nincs klasszikus megfelelője, másrészt azért, mert ez az egyik legegyszerűbb kvantumrendszer, amennyiben csak két állapota van (pontosabban vektortere kettõ dimenziójú). Mint ilyen, gyakran használják bonyolultabb rendszerek vizsgálati modelljeként, még akkor is, ha a mögöttes fizikai jelenség teljesen más. Az emblematikus példa az Ising-modell .
Richard Feynman , az ő értekezését 1942-ben vezette be a fogalmat a pályaintegrál érdekében, hogy egy új készítmény a kvantummechanika. Ezeket az eredményeket a második világháború miatt csak 1948-ban teszik közzé. Végül ennek a megközelítésnek az lenne a célja, hogy megfogalmazza a kvantumelektrodinamika elméletét az út integrál kvantálásának fejlesztésével. Ha manapság megtartjuk a kvantummechanika hamiltoni formalizmusát a klasszikus problémák kezelésére (nem relativisztikus értelemben), akkor kiderül, hogy Feynman megfogalmazása túlnyomórészt a relativisztikus problémák kezelésében dominál, különösen a kvantumtérelméletben , tény, hogy ez a megközelítés nem zavaró.
Emellett Feynman 1953-ban megközelítését alkalmazta a kvantumstatisztikai mechanika (en) útintegrálon keresztüli megfogalmazására ( Wiener-integrál , Feynman-Kac-formula (en) ), és megpróbálta elmagyarázni a lambda-átmenetet a szuperfolyékony héliumban.
A kvantummechanika "nem relativisztikus" elmélet: nem tartalmazza a speciális relativitáselmélet alapelveit . A kanonikus kvantálás szabályainak a relativisztikus diszperziós relációra való alkalmazásával megkapjuk a Klein-Gordon egyenletet (1926). Ennek az egyenletnek a megoldásai azonban súlyos értelmezési nehézségeket okoznak egy „egyetlen részecske” leírására hivatott elmélet keretein belül: nem lehet mindenekelőtt pozitívan felépíteni a „jelenlét valószínűségének sűrűségét”, mert az egyenlet másodszoros deriváltot tartalmaz . Dirac majd keresni egy másik relativisztikus egyenlet az „elsőrendű in time”, és be kell szereznie az egyenlet Dirac , ami nagyon jól leírja a fermionok a centrifugálás felére, mint az elektron.
A kvantummező elmélet az összes relativisztikus kvantumegyenlet nehézségek nélküli értelmezéséhez.
A Dirac-egyenlet természetesen magában foglalja a Lorentz-invarianciát a kvantummechanikával, valamint az elektromágneses térrel való kölcsönhatást, de amelyet még mindig klasszikus módon kezelünk ( félklasszikus közelítésről beszélünk ). Relativisztikus kvantummechanikát alkot . De éppen a részecskék és a mező közötti interakció miatt az egész összefüggő leírásának megszerzéséhez a kvantifikációs eljárást az elektromágneses mezőre is alkalmazni kell. Ennek az eljárásnak az eredménye a kvantumelektrodinamika , amelyben a mező és a részecske közötti egység még átláthatóbb, mivel most az anyagot is egy mező írja le. A kvantumelektrodinamika a kvantumtérelmélet sajátos példája .
Ezt követően más kvantumtér-elméleteket fejlesztettek ki, amikor felfedezték a többi alapvető kölcsönhatást ( electroweak elmélet , majd kvantumkromodinamika ).
A Heisenberg-bizonytalansági relációk azt tükrözik, hogy a konjugált mennyiségek bizonyos párjainak pontos értékeinek megfelelő kvantumállapotot nem lehet elkészíteni. Ez összefügg azzal a ténnyel, hogy az ezekhez a klasszikus mennyiségekhez tartozó kvantumoperátorok „ nem ingáznak ”.
Heisenberg egyenlőtlenségeit nagyon gyakran a „bizonytalanság elve” kifejezés jelöli. Szigorúan véve ez a név félrevezető: ezek az egyenlőtlenségek nem elvek, mert a Fourier elemzésének köszönhetően tökéletesen megmutatkoznak , és nem a kifejezés köznapi értelemben vett bizonytalanságokra vonatkoznak, hanem egy belső meghatározatlanságra, amely a véletlenszerű természetre jellemző. kvantummechanika.
Vegyük például egy részecske helyzetét és lendületét . A kanonikus kvantálás szabályainak felhasználásával könnyen ellenőrizhető, hogy a pozíció és a lendület operátorai kielégítik-e:
A bizonytalansági összefüggést a kombinált mennyiségek átlagos másodfokú eltéréseiből határozzuk meg. A részecske pozíciója és lendülete esetén például ezt írják:
Minél jobban van az államnak szűk eloszlása a pozíción, annál szélesebb az eloszlása a hozzá kapcsolódó impulzus értékein. Ez a tulajdonság a hullámok esetét idézi fel a Fourier-transzformáció eredményeként , és itt fejezi ki a hullám-részecske kettősséget. Nyilvánvaló, hogy ez a pálya, mint differenciálható folyamatos út klasszikus fogalmának megkérdőjelezéséhez vezet.
Bizonytalansági összefüggés van egy részecske energiájával és az időváltozóval kapcsolatban is. Így, az időtartam szükséges kimutatására egy energia részecske a szoros ellenőrzi a kapcsolat:
Ennek az energia-idő egyenlőtlenségnek a levezetése azonban egészen más, mint a helyzet-momentum egyenlőtlenségeké.
Valójában, ha a Hamilton-féle valóban az időbeli fordítások generátora a Hamilton-féle mechanikában , jelezve, hogy az idő és az energia konjugált, a kvantummechanikában nincs időoperátor (Pauli „tétele”), vagyis nem tudunk operátort konstruálni amely kanonikus kommutációs viszonynak engedelmeskedik a hamiltoni operátorral :
ezt egy nagyon alapvető okból: a kvantummechanikát valóban azért találták ki, hogy minden stabil fizikai rendszer rendelkezik "a minimális energia alapvető állapotával". Pauli érvelése a következő: ha létezne az időoperátor, akkor folytonos spektruma lenne. Ugyanakkor az időoperátor, engedelmeskedve a kanonikus kommutációs viszonynak, az „energiafordítások” generátora is lenne. Ez azt jelenti, hogy a hamilton-i operátornak „folytonos spektruma” is lenne, ellentétben azzal, hogy bármely stabil fizikai rendszer energiáját alább kell korlátozni .
A kvantum-összefonódás fogalma akkor lép életbe, amikor két rendszer van, és úgy tekintenek ezek egészére, mint amelyek egyetlen rendszert alkotnak . Ez az állítás ellenőrizhető például az egyszerű esetben, amikor az állam terei és van a bázisok sajátvektorok és két észlelhetőség és ható rendre a és .
és szükségszerűen cselekedni is kell, mivel a és . Mi ezért figyelmét az állam vektort úgy, hogy ebben az állapotban az intézkedés ad anélkül, hogy nem , és az intézkedés ad hiba nélkül .
A szuperpozíciós elv szerint az állapotvektorok minden lineáris kombinációja a rendszer lehetséges állapota. Vannak azonban ilyen vektorok, ezért az általuk generált vektortér legalább dimenziós . Általános esetben ez a dimenzió nagyobb, mint a rendszer leírásához szükséges és külön figyelembe vett szabadságfokok száma .
Ezért úgy tűnik, hogy általános esetben a két rendszer egészének teljes leírása nem szűkíthető a két rendszer külön-külön. Más szavakkal, vannak olyan állapotok , amelyeknek nincs állapota és állapota , vagyis lineáris kombinációja és lineáris kombinációja sem teszi lehetővé a mérési eredmények valószínűségének megszerzését. Az ilyen állapotok akkor összefonódnak . A kusza állapot egyik ilyen példája:
Két rendszer vagy két részecske összefonódhat, amint kölcsönhatás van közöttük. Ennek eredményeként a kusza állapotok inkább szabály, mint kivétel. Az egyik részecskén végzett mérés a kvantumállapotát a mérés kvantumposztulátumának megfelelően megváltoztatja. Mivel a rögzítés, a mérés lesz azonnali hatása az állam a többi részecske, akkor is, ha az univerzum vonal , amely összeköti a két esemény „ mérésére 1 ” és „ 2. intézkedés ” a tér-idő egy tér-szerű görbe ! Következésképpen az a tény, hogy a kvantummechanika tolerálja a kusza állapotok létezését, olyan állapotokat, amelyeket ténylegesen megfigyeltek a laboratóriumban, és amelyek viselkedése összhangban van a kvantummechanika által előre jelzettekkel (lásd az Aspect kísérletet ), azt jelenti, hogy a kvantummechanika nem helyi fizikai elmélet . Az ER = EPR sejtés ezt a nem lokalitást a téridő alapvető tulajdonságaként értelmezi, amelyet lényegében a kvantum-összefonódás jelensége generálna.
Helytelen azonban a kvantumos összefonódást a fénysebességnél gyorsabb információátadással egyenlőségnek tekinteni (és ezért a relativitáselmélet megsértése). Ennek oka, hogy az első részecskére vonatkozó mérés eredménye mindig véletlenszerű, kusza állapotok esetén, mint összefonódatlan állapotok esetén. Ezért lehetetlen bármilyen információt "továbbítani", mivel a másik részecske állapotának módosítása, bármennyire az azonnali is, a második részecskéhez kapcsolódó mérés eredményéhez vezet, amely szintén mindig véletlenszerű, mint a az első részecske. A két részecske mérése közötti összefüggés, bár nagyon valóságos és a világ számos laboratóriumában kimutatható, mindaddig kimutathatatlan marad, amíg a mérések eredményeit nem hasonlítják össze, ami szükségszerűen klasszikus információcserét feltételez, tiszteletben tartva a relativitást ( lásd még az EPR-paradoxont ).
A kvantumteleportálódás az összefonódást felhasználva átviszi egy fizikai rendszer kvantumállapotát egy másik fizikai rendszerbe. Ez a folyamat az egyetlen ismert módszer a kvantum információk tökéletes továbbítására. Nem haladhatja meg a fénysebességet, és abban is "testetlen", hogy nincs anyagátadás (ellentétben a Star Trek fiktív teleportálásával).
Ezt az állapotot nem szabad összekeverni a "szuperpozíció" állapotával. Ugyanannak a kvantumobjektumnak két (vagy több) "egymásra helyezett" állapota lehet. Például ugyanaz a foton lehet egyszerre a „hosszanti polaritás” és a „keresztirányú polaritás” állapotban. A Schrödinger macskája egyidejűleg az állam „halott”, és „életben”. A félig fényvisszaverő lemezen áthaladó foton az "átvitt foton" és a "visszavert foton" egymásra helyezett állapotában van. Csak a mérési aktus során lesz a kvantumobjektum meghatározott állapota.
A kvantumfizika formalizmusában a "több kvantumobjektum" összefonódási állapotát az egyes kvantumobjektumok állapotvektorainak tenzorszorzata képviseli . A szuperpozíció állapota csak "egyetlen kvantum objektumot" érint (ami összefonódás lehet), és ezt az állapotok különféle lehetőségeinek lineáris kombinációja képviseli .
Egy kvantumrendszer állapotát csak annak megfigyelésével tudjuk meghatározni, amelynek hatása a kérdéses állapot megsemmisítése. Másrészt, ha ismert, elvileg másutt is újjá lehet teremteni. Más szavakkal, a "duplikáció" a kvantumvilágban nem lehetséges, csak a "rekonstrukció egy másik helyen" lehetséges, közel a tudományos fantasztikus teleportálás fogalmához .
Elméletileg 1993-ban fejlesztette ki CH Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres és W. Wootters az ismeretlen kvantumállapot teleportálása kettős klasszikus és EPR csatornákkal című cikkében, a Physical Review Letter- ben. az rekonstrukciót kísérleti úton hajtották végre 1997-ben, fotonokon, Anton Zeilinger csapata Innsbruckban, újabban pedig hidrogénatomokon .
Számos kísérlet kimutatta, hogy a kvantummechanika által leírt jelenségek, mint például a spin vagy a kvantum összefonódása , nagyon is valóságosak. A leghíresebbek közül különösen megemlíthetjük:
Ezek a "paradoxonok" megkérdőjeleznek minket a kvantummechanika értelmezésével kapcsolatban, és bizonyos esetekben feltárják, hogy intuíciónk mennyiben lehet félrevezető ezen a téren, amely nem kapcsolódik közvetlenül érzékeink napi tapasztalatához.
Ez a paradoxon (1935) rávilágít a hullámcsomag redukciójának posztulátumának értelmezési problémáira .
Ez a paradoxon (1935) kiemeli a kvantumfizika nem lokalitását, amelyet kusza állapotok sugallnak .
Ez a kísérlet annak a demonstrációjának értelmezhető, hogy a T időpontban rögzített kísérlet eredményei objektíven függenek egy későbbi T + t időpontban végrehajtott művelettől. Ezen értelmezés szerint az összefonódott állapotok nem lokalitása nemcsak térbeli, hanem időbeli is.
Az okságot azonban nem szigorúan sértik, mert alapvető okokból nem lehetséges a T + t idő előtt bizonyítani, hogy a T időpontban rögzített állapot egy későbbi eseménytől függ. Ez a jelenség tehát semmilyen információt nem adhat a jövőről.
A kvantummechanika szerint olyan események, amelyek "megtörténhettek, de nem voltak hatással" a kísérlet eredményére.
Míg a kvantummechanika alapelvei eleve vonatkoznak az univerzum összes objektumára (beleértve minket is), miért érzékeljük továbbra is klasszikusan a makroszkopikus világ lényegét ? Különösen miért nem figyelhetők meg a kvantumszuperpozíciók a makroszkopikus világban? A dekoherencia elmélete megmagyarázza nagyon gyors eltűnéseiket a figyelembe vett kvantumrendszer és környezete közötti elkerülhetetlen összekapcsolódás miatt.
Ez az elmélet kísérleti megerősítést kapott olyan mezoszkópos rendszerek tanulmányozásával, amelyeknél a dekoherencia idő nem túl rövid ahhoz, hogy mérhető maradjon, például néhány fotonból álló rendszer egy üregben.
A kvantummechanika alkalmazásai közé tartoznak a félvezetők , a tranzisztor , a lézer , az elektronmikroszkóp és a magmágneses rezonancia . Az alkalmazások egy speciális kategóriáját olyan makroszkopikus kvantumjelenségeknek szentelik, mint a hélium szuperfolyékonyság vagy a szupravezetés . A félvezetők vizsgálata a modern elektronika alapvető elemeinek, a diódának , a tranzisztornak és az integrált áramkörnek a feltalálásához vezetett .
Egyetemi szinten érhető el.
Az egyetem második ciklusától elérhető.
Előzetes fizikai poggyász nélkül elérhető.
A kvantummechanika sokféle értelmezése létezik , némelyik ellentmond a többieknek. Ezen értelmezések megfigyelhető következményeinek hiányában nem lehet ezeknek az értelmezéseknek egyik vagy másik mellett dönteni. Az egyetlen kivétel a koppenhágai iskola, amelynek alapelve pontosan a jelenségek bármilyen értelmezésének elutasítása.
A főbb értelmezések vázlataA mérési probléma megoldási fája | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kvantum elmélet | |||||||||||||||||
Nem a valóságot hivatott reprezentálni | Nem reprezentálja teljes mértékben a valóságot | Teljesen képviseli a valóságot | |||||||||||||||
Pozitivizmus | Módosított kvantumtörvények | A tudat hatása | További változó hozzáadása: a pozíció | Kvantum dekoherencia | Több univerzum | ||||||||||||
Stephen Hawking Niels Bohr |
Roger penrose | Eugene Wigner | De Broglie-Bohm elmélet |
Roland Omnès Murray Gell-Mann James Hartle |
Hugh Everett David Deutsch |
||||||||||||
Giancarlo Ghirardi Alberto Rimini Wilhelm Eduard Weber |
John von Neumann Fritz London és Edmond Bauer |
John bell |
Hans-Dieter Zeh Wojciech Zurek |
||||||||||||||
Bernard d'Espagnat Olivier Costa de Beauregard |