Path integrál

A teljes út (angolul " path integral ") egy funkcionális integrál , vagyis az integrálás funkcionális és az összeget a függvények veszik át, és nem valós számokon (vagy komplexen ), mint a közönséges integráloknál . Ezért itt egy végtelen dimenzióval foglalkozunk. Így gondosan meg fogjuk különböztetni az útintegrált (funkcionális integrált) a fizikai tér ösvényén kiszámított hétköznapi integráltól, amelyet a matematikusok görbevonalúnak neveznek .

Ez volt Richard Feynman , aki bevezette útvonal integrálok fizika Diplomamunkájában megvédett1942. május, a kvantummechanika megfogalmazásával foglalkozik a Lagrangian alapján . Az eredeti motiváció abból a vágyból fakad, hogy kiindulási alapként megkapjuk a Wheeler és Feynman abszorber elméletének kvantumképletét egy Lagrangian-tól (nem pedig Hamilton-tól ). Mivel a második világháború , ezek az eredmények nem tesszük közzé 1948-ig Ez a matematikai eszköz rövid időn belül az elméleti fizika és annak általánosítás kvantumtérelméletben , így különösen számszerűsítését nem Abel- szelvény elméleteket. Egyszerűbb, mint a kanonikus kvantálás eljárás.

Ezenkívül Mark Kac matematikus hasonló koncepciót dolgozott ki a Brown-mozgás elméleti leírására, amelyet Norbert Wiener az 1920-as években elért eredmények inspiráltak . Ebben az esetben a Feynman-Kac képletről van szó , amely a a bécsi intézkedés.

Az útintegrál fogalmának keletkezése

Diákként a 3 e ciklus által vezetett Wheeler a Princeton University , a fiatal Feynman törekszik számszerűsítését alapuló módszer Lagrange leírása érdekében a rendszer nem feltétlenül kelljen Hamilton . Elsődleges motivációja a klasszikus elektrodinamika új megfogalmazásának számszerűsítése távoli cselekvés alapján, amelyet nemrég fejlesztett ki Wheelerrel.

1941 tavaszán megismerkedett Herbert Jehlével, aki akkor Princeton látogatója volt, aki elmondta neki a Nassau Csárda egyik estéjén, hogy létezik Dirac cikke, amely kifejezetten a Lagrangian számszerűsítését tárgyalja. Jehle pontosítja Feynman számára, hogy ez a megfogalmazás sokkal könnyebb kovariáns relativisztikus megközelítést tesz lehetővé, mint a Hamilton-féle. Másnap a két fizikus elmegy a könyvtárba, hogy tanulmányozza Dirac cikkét. Különösen a következő mondatot olvassák:

Két pillanat , és a szomszédok, az amplitúdó elemi átmenet van hasonló a

t

{\ displaystyle t + \ epsilon \,}

{\ displaystyle \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \,}

{\ displaystyle \ exp (iS [q] / \ hbar) \,}

Ebben a képletben az S [ q ( t )] mennyiség a klasszikus művelet :

{\ displaystyle S [q_ {2} (t + \ epsilon), q_ {1} (t)] \ = \ \ int _ {t} ^ {t + \ epsilon} L (q, {\ dot {q} }) \ \ mathrm {d} t \ = \ L \ balra (q_ {1}, {\ frac {q_ {2} -q_ {1}} {\ epsilon}} \ jobbra) \ \ epsilon \,}

Annak érdekében, hogy megértsük, mit ért Dirac analóg alatt , Feynman egy m tömegű, nem relativisztikus részecske esetét tanulmányozza , amelyre a Lagrangian-t írták:

{\ displaystyle L (q, {\ dot {q}}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} ^ {2} \ - \ V (q)}

Tudjuk :

{\ displaystyle \ langle q_ {2} | \ psi (t + \ epsilon) \ rangle \ = \ \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \, \ langle q_ {1} | \ psi (t) \ rangle}

Feynman ekkor feltételezi az arányosság viszonyát :

{\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ A \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ exp \, \ left (\, i \, {\ frac { S [q (t)]} {\ hbar}} \, \ jobbra \ \ psi (q_ {1}, t)}

ahol A ismeretlen állandó. Jehle jelenlétében Feynman bebizonyítja, hogy ez az egyenlet azt jelenti, hogy engedelmeskedik a Schrödinger-egyenletnek: ${\ displaystyle \ psi (q, t) \,}$

{\ displaystyle \ left [\, - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ {\ frac {\ részleges ^ {2} ~~} {\ részleges q ^ {2}}} \ + \ V (q) \, \ right] \ \ psi (q, t) \ = \ i \, \ hbar \ {\ frac {\ részleges ~~} {\ részleges t}} \ psi (q, t) }

azzal a feltétellel, hogy az ismeretlen állandó A egyenlő:

{\ displaystyle A \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi \ hbar i \ epsilon}}}}

1946 őszén, a Princeton Egyetem kétszázadik évfordulóján Feynman találkozott Dirac-szal, és a következő rövid eszmecserére került sor:

Feynman. - " Tudta, hogy ez a két méret arányos?" " Dirac. - " Ők? " Feynman. - " Igen. " Dirac. - " Ó! Érdekes. "

Ez a lakonikus válasz véget vet a vitának ... További történelmi részletekért nyereséggel olvassa el Schweber cikkét.

Emlékeztetők a Schrödinger-egyenlet terjesztőjére

A jelölések egyszerűsítése érdekében az alábbiakban egyetlen térdimenzió esetére szorítkozunk. Az eredmények könnyen kiterjeszthetők tetszőleges számú dimenzióra.

Meghatározás

Tekintsünk egy nem-relativisztikus tömegű részecske m , leírt kvantummechanika egy hullám funkciót . Tegyük fel, hogy a kezdeti feltételt egy fix kezdeti pillanatban adjuk meg magunknak . Ezután a hullámfüggvényt egy későbbi pillanatban , a Schrödinger-egyenlet megoldását az integrálegyenlet adja meg: ${\ displaystyle \ psi (q_ {0}, t_ {0}) \,}$ ${\ displaystyle t_ {0} \,}$ ${\ displaystyle t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle \ psi (q_ {1}, t_ {1}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ { 0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}

hol van a részecske terjesztője : ${\ displaystyle K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \,}$

{\ displaystyle {K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \: = \ \ left \ langle q_ {1} {\ Big |} e ^ {- i {\ kalap {H}} (t_ {1} -t_ {0}) / \ hbar} {\ Big |} q_ {0} \ right \ rangle}}

Ĥ a részecske hamiltoni operátora.

Chapman-Kolmogorov-egyenlet

Emlékezzünk vissza, hogy ha a terjedő betartja a Chapman-Kolmogorov-egyenletet : ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2 } | q_ {1}, t_ {1}) \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Ez a reláció lehetővé teszi számunkra, hogy megtaláljuk a terjesztő kifejeződését az út integrálja szempontjából.

A terjesztő kifejezése az út integrálja szempontjából

Keressük a terjedő kifejeződését a kezdeti és az utolsó pillanat között . ${\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \,}$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle t_ {f} \,}$

A Chapman-Kolmogorov-egyenlet alkalmazása

Az időintervallum van osztva a N elemi időintervallumok időtartama bevezetésével N + 1-szer: ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {f} -t_ {i} \,}$ $\ epsilon \,$

{\ displaystyle t_ {k} \ = \ t_ {0} \ + k \ \ epsilon}

mert

{\ displaystyle \, k \ in {0, \ dots, N \}}

A és . Ezért a kezdeti és a végső idő között N - 1 időköz van . Annak érdekében, hogy az időintervallumok elemi időtartammal rendelkezzenek , a határ implicit. ${\ displaystyle t_ {0} = t_ {i} \,}$ ${\ displaystyle t_ {N} = t_ {f} \,}$ ${\ displaystyle t_ {k} \,}$ $t_ {0} \,$ ${\ displaystyle t_ {N} \,}$ ${\ displaystyle \ epsilon = t_ {k + 1} -t_ {k} \,}$ ${\ displaystyle N \ - + \ infty \,}$

A Chapman-Kolmogorov-egyenlet első alkalmazása lehetővé teszi az alábbiak írását:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {0}, t_ {0})}

majd másodszor alkalmazva:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ mathrm {d} q_ {N- 2} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {N- 2}, t_ {N-2}) \ K (q_ {N-2}, t_ {N-2} | q_ {0}, t_ {0})}

Stb. Végül N - 1 alkalmazás után jutunk el az N - 1 közbenső időkig:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ balra [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} \ mathrm {d} q_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ szor \ cdots \ szorzat K (q_ { k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ szor \ cdots \ szor K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) }

Ezért arra késztetjük magunkat, hogy fontolóra vegyük az elemi terjesztőt :

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ left \ langle q_ {k + 1} {\ Big |} e ^ { -i {\ hat {H}} \ epsilon / \ hbar} {\ Nagy |} q_ {k} \ jobb \ rangle}

Elemi szaporító: Feynman-Dirac formula

Egy potenciálban lévő egydimenziós, nem relativisztikus tömegrészecskére , amelynek Hamilton-operátora meg van írva: $m \,$

{\ displaystyle {\ hat {H}} \ = \ {\ hat {H}} _ {0} \ + \ V ({\ hat {q}})}

és az elemi propagátor meg van írva:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \, [\, {\ hat {H}} _ {0} + V ({\ hat {q}}) \,] \, \ epsilon / \ hbar} | q_ {k}>}

A Trotter-Kato képletet használjuk :

{\ displaystyle e ^ {t ({\ hat {A}} + {\ hat {B}})} \ = \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ \ balra [\ e ^ {{\ hat { A}} t / n} \ \ alkalommal \ e ^ {{\ hat {B}} t / n} \ \ right] ^ {n}}

Ez a képlet nem triviális, mert az operátorok és általában nem ingáznak! Ideérünk: ${\ displaystyle {\ hat {A}} \,}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ hat {H}} _ {0} / \ hbar} \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V ({\ hat {q}}) / \ hbar} | q_ {k}>}

Kimenhetjük a potenciált tartalmazó exponenciált, amely csak a pozíciótól függ:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ hat {H}} _ {0} / \ hbar} | q_ {k}> \ \ alkalommal \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

A fennmaradó mátrixelem a szabad részecske terjesztője , így végre megírhatjuk a kifejezést:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ \ alkalommal \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Most a szabad szaporító kifejezése pontosan ismert:

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q_ {k + 1} -q_ {k}) ^ {2}} {2 \ hbar \ epsilon}} \ jobbra}}

Vegye figyelembe, hogy az exponenciális argumentum átírható a sebesség diszkretizált kifejezésével :

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {k} \ = \ {\ frac {(q_ {k + 1} -q_ {k})} {\ epsilon}}}

mint:

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ jobbra)}

Arra a következtetésre jutunk, hogy az elemi propagátor meg van írva:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ right) \ times \ \ exp \ left ({\ frac {-i \ epsilon V (q_ {k})} {\ hbar}} \ jobbra}}

A két exponenciális argumentum már összetett szám, nehézségek nélkül írhatunk:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ - \ i \ epsilon {\ frac { V (q_ {k})} {\ hbar}} \ jobbra}}

vagy újra:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ \ left ({\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2 } \ - \ V (q_ {k}) \ right) \ \ epsilon \ \ right]}

A zárójelben lévő kifejezés a részecske Lagrangian-ját jelenti:

{\ displaystyle L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ - \ V (q_ {k})}

ezért az elemi szaporító Feynman-Dirac képlete:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right]}

Path integrál

A Feynman-Dirac kifejezést az általános képletbe injektáljuk:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ balra [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ szer \ pont = szorzat K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ szor \ pontok \ szorzat K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Ő jön :

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ balra (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ jobbra) ^ {N / 2} \ \ int \ balra [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ jobbra \ \ exp \ balra [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ balra [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ balra [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \ \ epsilon \ \ right]}

Az exponenciálisok összetett számok argumentuma írhatunk:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ balra (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ right) ^ {N / 2} \ \ int \ bal [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right] \ \ exp \ left [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ \ balra [\, L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) + \ pontok + L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) + \ pontok + L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \, \ right] \ \ epsilon \ \ right]}

Az exponenciális érvben felismerjük a klasszikus cselekvés diszkrétizálását :

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ epsilon \ = \ \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {N}} L (q (t), {\ dot {q}} (t)) dt \ = \ S \ balra [\, q (t) \ , \ jobb]}

Feynman segítségével levezetjük a propagátor, mint funkcionális integrál kifejeződését az összes folyamatos úton:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ bal [\, q (t) \, \ jobb]} {\ hbar}}}}

a hivatalos intézkedéssel:

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} q (t) \ = \ \ lim _ {N \ to \ infty} \ balra (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \ , \ right) ^ {N / 2} \ \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right]}

Értelmezés

Feynman képlete:

{\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ bal [\, q (t) \, \ jobb]} {\ hbar}}}}

a következő értelmezést ismeri el: az átmenet amplitúdójának kiszámításához a pillanatnyi kezdőponttól a pillanatnyi végpont felé kell figyelembe venni a határfeltételeket ellenőrző összes folyamatos utat : és . Minden út egy komplex "súly" egységmodulushoz van rendelve: ahol az ezen az úton kiszámított klasszikus művelet van. Ezután "összeadjuk" ezt a megszámlálhatatlan, komplex súlyú végtelenséget, és végül megkapjuk a kívánt átmeneti amplitúdót. $q_i \,$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle q_ {f} \,}$ $t_f$ ${\ displaystyle q (t) \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {i}) = q_ {i} \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {f}) = q_ {f} \,}$ ${\ displaystyle \ exp (iS [q (t)] / \ hbar) \,}$ ${\ displaystyle S [q (t)] \,}$

Ez az értelmezés egyedül Feynman munkája, Dirac nem vette meg a lépést. 1942-es tézisében implicit módon, az 1948-as kiadványban pedig kifejezetten szerepel.

Fél-klasszikus határ

Abban a határban, ahol a rendszer hatása sokkal nagyobb, mint , használhatunk egy félklasszikus típusú fejlődést, ahol a klasszikus pálya kis zavarja : $\ hbar$ $y$ ${\ displaystyle x_ {c}}$ ${\ displaystyle x = x_ {c} + y}$

Vegyünk egy standard Lagrangian-t:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}}] = {\ frac {m {\ dot {x}} ^ {2}} {2}} - V (x)}$

Ezután a műveletet a következő formában írjuk, a második sorrendre korlátozódva:

${\ displaystyle S [x] \ kb S [x_ {c}] + \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t \ underbrace {\ balra. {\ frac {\ részleges S} {\ részleges x (t)}} \ jobb | _ {x_ {c}}} _ {= 0} y (t) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i }} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t_ {1} \, \ mathrm {d} t_ {2} \ balra. {\ frac {\ részleges ^ {2} S} {\ részleges x (t_ {1}) \ részleges x (t_ {2})}} \ jobb | _ {x_ {c}} y (t_ {1}) y (t_ {2}) \ Longrightarrow}$

${\ displaystyle S [x] \ kb S [x_ {c}] + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t ( m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2})}$

ezért közelíthetjük a terjedőt:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ kb \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (m {\ dot {y}} ^ {2} -V "" (x_ {c}) y ^ {2}) / 2 \ hbar}}$

Egy integrálás a kitevő vezet Gauss formában:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ kb \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (y [-m {\ frac {d ^ {2 }} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})] y) / 2 \ hbar}}$

Adja meg az operátort ${\ displaystyle {\ hat {O}} = - m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})}$

a Gauss-integrálok kiszámításának szabályai a következőket tartalmazzák:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ kb cste \ cdot {\ sqrt {\ frac {1} {\ mathrm {Det} ({\ hat { O}})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

Most vegye figyelembe a következőképpen definiált funkciót : ${\ displaystyle \ Psi (t)}$

${\ displaystyle {\ hat {O}} \ Psi = \ left (-m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' ( x_ {c}) \ jobbra \ Psi = 0}$

peremfeltételekkel:

${\ displaystyle \ Psi (t_ {i}) = 0}$

${\ displaystyle \ Psi '(t_ {i}) = 1}$

Ezután megmutathatjuk, hogy:

${\ displaystyle Det ({\ hat {O}}) = cste \ cdot \ Psi (t_ {f})}$

amely megadja a szaporító közelítését:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ kb {\ sqrt {\ frac {A} {\ Psi (t_ {f})}}}} cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

a szabad részecske terjedőjéből meghatározzuk az A állandót:

${\ displaystyle K_ {fp} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar (t_ {f} -t_ {i})}}} \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

a szabad részecske esetében az a funkció felel meg, amely kielégíti a fentiekben kitett feltételeket , amely azonnal kifejezést ad A-ra. Végül megkapjuk a szaporító úgynevezett félklasszikus közelítését: $\ Psi$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = t-t_ {i}}$

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ kb {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ Psi (t_ {f} )}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

ez a közelítés erőteljes, és néha még pontos eredményt is adhat, mint abban az esetben, amikor a potenciál egy harmonikus frekvencia oszcillátoré . Ebben az esetben a függvénynek a peremfeltételek mellett meg kell felelnie: $\omega$ $\ Psi$

${\ displaystyle \ left (-m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - m \ omega ^ {2} \ right) \ Psi = 0 \ Longrightarrow \ Psi (t) = {\ frac {\ sin \ omega (t-t_ {i})} {\ omega}}}$

és félklasszikus közelítéssel megkapjuk a harmonikus oszcillátor terjedőjének pontos kifejezését:

${\ displaystyle K_ {ho} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ pi i \ hbar \ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

a harmonikus oszcillátor klasszikus működésével:

${\ displaystyle S_ {cl} [x] = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}} ] = {\ frac {m \ omega} {2}} \ balra [(x_ {f} ^ {2} + x_ {i} ^ {2}) \ cot \ omega (t_ {f} -t_ {i} ) - {\ frac {2x_ {i} x_ {f}} {\ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}} \ jobbra}}$

vegye figyelembe a félklasszikus közelítés másik egyenértékű megfogalmazását, amelyet Van Vleck - Pauli - Morette néven ismernek , amely közvetlenül az előzőből következik:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) _ {sc} = {\ sqrt {- {\ frac {1} {2 \ pi i \ hbar}} {\ frac {\ részben ^ {2} S_ {cl}} {\ részleges x_ {i} \ részleges x_ {f}}}}}} cdot \ mathrm {e} ^ {iS_ {cl} / \ hbar}}$

Bibliográfia

Történelmi szövegek

Richard P. Feynman; A legkevesebb cselekvés elve a kvantummechanikában , a Princetoni Egyetem tézisei. Ezt a tézist éppen Laurie M. Brown publikálta (lásd alább).

Richard P. Feynman; A nem-relativisztikus kvantummechanika tér-idő megközelítése , A modern fizika áttekintése 20 (1948) 267. Ezt a cikket közölte: Julian Schwinger (ed); Válogatott tanulmányok a kvantumelektrodinamikáról , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

PAM Dirac; A kvantummechanika lagrangianja , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Ezt a cikket reprodukálta: Julian Schwinger (szerk.); Válogatott tanulmányok a kvantumelektrodinamikáról , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

Laurie M. Brown (szerkesztő); Feynman tézise: a kvantumelmélet új megközelítése , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) . Feynman eredeti tézisét, valamint a két korábbi cikket tartalmazza.

Szakkönyvek

Jean Zinn-Justin ; Integrált út a kvantummechanikában: Bevezetés , Gyűjtemény jelenlegi ismeretei, EDP Sciences / CNRS Éditions (2003), ( ISBN 2-86883-660-7 ) . Kiváló bevezetés a témához, ez a könyv sokéves tanítás eredménye az ENS Egyetemközi Fizikai Tanszékén.
Claude Cohen-Tannoudji ; A kvantummechanika kiegészítései (1966). Az 1997-es Nobel-díj (Collège de France, Párizs) által 1966-ban adott tanfolyam . Megközelíti a kvantummechanika Lagrangi-megfogalmazását és Green funkcióinak alkalmazását. Serge Haroche (Collège de France, Párizs) 1966-ban írt előadási jegyzetei.
Richard P. Feynman és André R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals , New York: McGraw-Hill (1965), ( ISBN 0-07-020650-3 ) .
Larry S. Schulman; Az út integrációjának technikái és alkalmazásai , Jonh Wiley & Sons (New York-1981), ISBN. Újranyomta a Dover Publications, Inc. (2005), ( ISBN 0-486-44528-3 ) . Egy másik referencia, kicsit korszerűbb, mint az előző.
Christian Grosche és Frank Steiner; Handbook of Feynman Path Integrals , Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998), ( ISBN 3-540-57135-3 ) .
Philippe A. Martin; A funkcionális integrál ; Presses Polytechniques Universitaires Romandes (1996), ( ISBN 2-88074-331-1 ) .
Lundqvist & co; Útvonal összegzése ; Világtudományi (1988), ( ISBN 9971-5-0597-5 ) .
Martin Veltman; Diagrammatica , CambridgeLNP
Lewis H. Ryder; Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), ( ISBN 0-521-33859-X ) .
RJ Rivers; Path Integrals Methods in Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1987), ( ISBN 0-521-25979-7 ) .
Hagen Kleinert , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics and Financial Markets , 4. kiadás, World Scientific (Szingapúr, 2004), ( ISBN 981-238-107-4 ) . (Online formátumban is elérhető pdf formátumban ).
Christian Grosche; Bevezetés a Feynman-út integráljába , tanfolyam, amelyet a Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik , Universität Leipzig, 1992. november 16–26. Teljes szöveg elérhető az ArXiv oldalon: hep-th / 9302097 .
Sanjeev Seahra; Path Integrals in Quantum Field Theory , jegyzetek a Quantum Field Theory tanfolyamról, amelyet 2000-ben adott Eric Poisson a Waterloo Egyetemen (Kanada). A teljes szöveg pdf formátumban érhető el .
Richard MacKenzie; Integrált útvonal-módszerek és alkalmazások , a Rencontres du Vietnam tanfolyama: VI. Vietnami Fizikai Iskola , Vung Tau, Vietnam, 1999. december 27. - 2000. január 8. A teljes szöveg elérhető az ArXiv oldalon: quant-ph / 0004090 .
Gert Roepstorff; Path Integral Approach to Quantum Physics , Springer-Verlag (1994), ( ISBN 3-540-55213-8 ) .

Matematikailag szigorú megközelítés

(en) Sergio Albeverio (en) és Raphael Høegh-Krohn (en) , Feynman Path Integral matematikai elmélete , Matematikai előadások 523, Springer-Verlag, 1976
(en) James Glimm és Arthur Jaffe , Kvantumfizika: funkcionális integrált nézőpont , New York, Springer-Verlag, 1981 ( ISBN 0-387-90562-6 )
(en) Gerald W. Johnson és Michel L. Lapidus, The Feynman Integral and Feynman Operational Calculus , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 2002 ( ISBN 0-19-851572-3 )
(en) Pavel Etingof, Geometry and Quantum Field Theory , MIT OpenCourseWare, 2002Ez a matematikusok számára tervezett online tanfolyam a kvantumtérelmélet funkcionális integrálokon keresztül történő bevezetése.
(en) Cécile DeWitt-Morette , „Feynman útjának integrálja - Definíció eljárás nélkül”, a Comm. Math. Phys. , repülés. 28, n o 1 1972, p. 47–67 . [ online olvasás ]
(en) Pierre Cartier és Cécile DeWitt-Morette, „A funkcionális integráció új perspektívája”, J. Math. Phys. , repülés. 36, 1995, p. 2137-2340 . " Funct-an / 9602005 " , szöveg szabadon hozzáférhető, az arXiv oldalon .
Pierre Cartier, „Feynman útjainak integrálja: intuitív szemlélettől szigorú keretrendszerig”, a mai matematikai tanulságok gyűjteményében, Le sel et le fer, Cassini, 2000 ( ISBN 2-84225-007 -9 ) , p. 27-59
(en) Alain Connes és Dirk Kreimer , „Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem, I”, Comm. Math. Phys. , repülés. 210, n o 1, 2000 o. 249-273
(en) Alain Connes és Dirk Kreimer, „A β-funkció, a diffeomorfizmusok és a renormalizációs csoport”, Comm. Math. Phys. , repülés. 216, n o 1, 2001, p. 215-241
en) Alain Connes, személyes oldal , 137., 148., 155., 157., 158., 162., 165., 167. cikk

Megjegyzések és hivatkozások

fizikusok a mező görbe vonalú integrálját cirkulációs vektornak minősítik (például egy erő munkája).
Richard P. Feynman; A legkevesebb cselekvés elve a kvantummechanikában , a Princetoni Egyetem tézisei. Ez a tézis most jelent meg Laurie M. Brown-ban (szerkesztő); Feynman tézise: a kvantumelmélet új megközelítése , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Richard P. Feynman; A nem-relativisztikus kvantummechanika tér-idő megközelítése , A modern fizika áttekintése 20 (1948) 267. Ezt a cikket közölte: Julian Schwinger (szerk.); Válogatott tanulmányok a kvantumelektrodinamikáról , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) , valamint: Laurie M. Brown (szerkesztő); Feynman tézise: a kvantumelmélet új megközelítése , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Nyilvánvalóan formális kapcsolat van a kétféle útintegrál - Feynman és Wiener - között, mert míg egy szabad masszív, nem relativisztikus részecske Schrödinger-egyenletét írják: hol van a kvantumhullám-függvény, a térben történő diffúzió egyenlete a valószínűségi sűrűség meg van írva: Világosan láthatjuk, hogy elegendő beállítani: a diffúziós együttható és: a Schrödinger-egyenlet átalakításának az adás egyenletévé történő átalakítására. Kiderült azonban, hogy a Wiener-út integrálját - a diffúziós egyenlet esetében - könnyebb matematikailag szigorúan meghatározni, mint Feynmanét - a Schrödinger-egyenlet esetében. Egyes szerzők ezért azt javasolták, hogy a Feynman-integrált határozzák meg a Wiener-mérésből azáltal, hogy analitikus kiterjesztést adnak a képzeletbeli időkre. ${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ \ Delta \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ i \ hbar \ {\ frac {\ részleges \ psi ({\ vec {r}}, t)} {\ részleges t}}}$ $\ psi$ $P$ ${\ displaystyle D \ \ Delta P ({\ vec {r}}, \ tau) \ = \ {\ frac {\ részleges P ({\ vec {r}}, \ tau)} {\ részleges \ tau}} }$ ${\ displaystyle D = - \ hbar / 2m}$ ${\ displaystyle t = i \ tau}$
Ezt az elméletet csak 1945-ben teszik közzé: John Archibald Wheeler és Richard P. Feynman; A modern fizika áttekintése 17 (1945) 157.
PAM Dirac; A kvantummechanika lagrangianja , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Ezt a cikket reprodukálta: Julian Schwinger (szerk.); Válogatott tanulmányok a kvantumelektrodinamikáról , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) , valamint: Laurie M. Brown (szerkesztő); Feynman tézise: a kvantumelmélet új megközelítése , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
(in) Silvan S. Schweber , " Feynman vizualizációja téridő folyamatok " , Review of Modern Physics , Vol. 58, n o 21 st április 1986, P. 449–508 ( DOI 10.1103 / RevModPhys.58.449 ).
Ezt az egyenletet Dirac írta 1933-as cikkében.
Ennek a definíciónak nagy problémája, hogy ez a "formális mérték" nem a matematikus szoros értelmében vett valós mérték. A Feynman-integrál szigorú meghatározásához olvassa el az irodalomjegyzékben szereplő - gyakran nagyon technikai - értekezéseket.
A Brown-mozgással való analógia azt mutatja, hogy azok az utak, amelyek jelentősen hozzájárulnak a Feynman-integrálhoz, folyamatosak, de nem differenciálhatók . Pontosabban, ezek az 1/2 kitevők lipchiczi útjai.