Lagrangian

A fizika , a Lagrange- egy dinamikus rendszer egy funkciója a dinamikus változók , amely lehetővé teszi az egyenletek a mozgás a rendszer írandó tömören . A neve Joseph-Louis Lagrange- tól származik , aki meghatározta a folyamat alapelveit ( 1788-tól ).

A mozgás egyenletei

Vegyünk egy dinamikus rendszert, amelyet a $q i helyzetparaméterek$ (más néven általános koordináták ) azonosítanak. Idővel ezek a paraméterek változnak, változásuk sebessége megegyezik . A rendszer paraméterkészlete $q$ $i$ , des és t időből áll . Számos helyzetben meghatározható egy olyan függvény , amely ha beállítjuk: ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {i}} {\ mathrm {d} t}}}$ $\ varphi _ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i}]}$

oén=∂L∂q˙én{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}}} ${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}}}$

(a parciális deriváltot úgy számolják, mintha a paraméterek függetlenek lennének közöttük), akkor a mozgásegyenleteket a következők adják meg:

doéndt=∂L∂qén.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges q_ {i}}} .} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges q_ {i}}} .}$

Formálisan megjegyezzük, hogy ezeket az egyenleteket a legkevesebb cselekvés (vagy a szélsőséges cselekvés elve) alkalmazásával kapjuk meg , amely a következő:

δSδφén=0{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0}$

A fellépés . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (s)] {} \, \ mathrm {d} ^ {n} s}}$

A kapott mozgásegyenletek ekvivalensek az előző elvből eredő Euler-Lagrange-egyenletekkel . Az a dinamikus rendszer, amelynek mozgásegyenletei megszerezhetők egy Lagrangian-ból, egy Lagrangian-dinamikus rendszer . Ez a helyzet a standard modell klasszikus változatával , Newton egyenleteivel , az általános relativitáselmélet egyenleteivel és a tisztán matematikai problémákkal, például geodéziai egyenletekkel vagy a fennsík problémájával .

Lagrangian a klasszikus mechanikában

A Lagrangian mechanika történelmileg a klasszikus mechanika újrafogalmazása volt, a Lagrangian fogalmát felhasználva. Ebben az összefüggésben a Lagrangian-t általában az E c = T kinetikus energia és az E p = V potenciális energia különbsége határozza meg :

L=Evs.-Eo=T-V.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.} ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.}$

Ezzel a formalizmussal a Lagrange-egyenletet írják:

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges q_ {k}}}.} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges q_ {k}}}.}$ Demonstráció

Tekintsünk egy rendszert, amely $m i$ tömeges anyagi pontokból áll . A pozíciók a ezek a pontok függvényében a pozíció paraméterek $q$ $k$ , az utóbbi időben változik. Ezeket a pontokat kötőerőknek teszik ki , a többi erő következtében . Ha nincs súrlódás, akkor a kötőerők virtuális munkája egy virtuális elmozdulás során nulla. Az egyes részecskék sebességét az alábbiak adják meg: ${\ vec r} _ {i}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i}}$ $\ vec F_i$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

rén→˙=dr→éndt=∑j∂r→én∂qjdqjdt=∑j∂r→én∂qjq˙j.{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ összeg _ {j} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ összeg _ {j} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {j}}} {\ pont {q}} _ {j} .}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ összeg _ {j} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ összeg _ {j} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {j}}} {\ pont {q}} _ {j} .}

Ez t ,

q j

és függvénye .

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}

A rendszer kinetikus energiáját a következők adják:

T=12∑énménr˙→én2.{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

Figyelembe véve az előző kifejezést :

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}}

∂T∂q˙k=∑énmén⟨r→˙én,∂r→˙én∂q˙k⟩=∑énmén⟨r→˙én,∂r→én∂qk⟩{\ displaystyle {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ bal \ langle {\ pont {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} \ jobb \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} { \ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ bal \ langle {\ pont {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} \ jobb \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} { \ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle}

ahol a between, noted vektorok közötti skalár szorzatot figyeltük meg. Tehát: ddt∂T∂q˙k=∑énmén⟨r→¨én,∂r→én∂qk⟩+∑énmén⟨r→˙én,ddt∂r→én∂qk⟩=∑énmén⟨r→¨én,∂r→én∂qk⟩+∑énmén⟨r→˙én,∑j∂2r→én∂qk∂qjq˙j⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részben q_ {k}}} \ jobb \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ részleges ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k} \ részleges q_ {j}}} {\ pont {q}} _ {j} \ jobb \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részben q_ {k}}} \ jobb \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ részleges ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k} \ részleges q_ {j}}} {\ pont {q}} _ {j} \ jobb \ rangle.}

De vajon nem más, mint . Ebből kifolyólag :

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {\ részleges ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k} \ részleges q_ {j}}} {\ pont { q}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {}} {\ részleges q_ {k}}} \ összeg _ {j} {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ részleges {\ pont {\ vec {r}}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}}}

ddt∂T∂q˙k=∑énmén⟨r→¨én,∂r→én∂qk⟩+∑énmén⟨r→˙én,∂r→˙én∂qk⟩=∑énmén⟨r→¨én,∂r→én∂qk⟩+∂T∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = \ összeg _ {i} m_ {i} \ bal \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle + {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ { k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = \ összeg _ {i} m_ {i} \ bal \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle + {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ { k}}}}

ebből kifolyólag : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑énmén⟨r→¨én,∂r→én∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ bal \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {k}}} = \ összeg _ {i} m_ {i} \ bal \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle.}

A dinamika alapelvének alkalmazása, figyelembe véve, hogy a kapcsolati erőket illetően :

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {f}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = 0}

ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑én⟨F→én,∂r→én∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {k}}} = \ összeg _ {i} \ bal \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {k}}} = \ összeg _ {i} \ bal \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle.}

Tegyük fel, hogy minden erő egy potenciális

U

i

függvényből származik , tehát (ahol a gradienst jelöli). Ezután:

\ vec F_i

{\ vec r} _ {i}

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} U_ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}

⟨F→én,∂r→én∂qk⟩=-⟨∇→Uén,∂r→én∂qk⟩=-∂Uén∂qk{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = - \ bal \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = - {\ frac {\ részleges U_ {i}} {\ részleges q_ {k}}}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = - \ bal \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ részleges {\ vec {r}} _ {i}} {\ részleges q_ {k}}} \ jobb \ rangle = - {\ frac {\ részleges U_ {i}} {\ részleges q_ {k}}}}

és aztán : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=-∑én∂Uén∂qk=-∂V∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {k}}} = - \ összeg _ {i} {\ frac {\ részleges U_ {i}} {\ részleges q_ {k}}} = - {\ frac {\ részleges V} {\ részleges q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges T} {\ részleges {\ pont {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ részleges T} {\ részleges q_ {k}}} = - \ összeg _ {i} {\ frac {\ részleges U_ {i}} {\ részleges q_ {k}}} = - {\ frac {\ részleges V} {\ részleges q_ {k}}}}

azáltal, hogy

V-

re veszi az

U i

összegét . A funkció

V

csak attól függ,

q k

tehát, ha mi meg , ezt kapjuk:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges q_ {k}}}}

ami valóban a meghirdetett Lagrange-egyenlet.

A Lagrangian egyedisége

Egy adott Lagrangian esetében , ha lehetséges úgy átírni, hogy ahol $F$ a rendszer általánosított koordinátáinak bármely folytonos és differenciálható függvénye, akkor az Euler-Lagrange egyenleteket is kielégíti. ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F (q_ {i}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$ $A$

Demonstráció

Legyen Lagrangian . Feltételezzük, hogy átírhatjuk úgy, hogy hol van az általánosított koordináták és az idő bármelyik függvénye (ilyen funkció például a rendszer koordinátáinak átalakításával történhet). Ebben az esetben: ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle F = F (q_ {i}, t)}$

0=ddt(∂L∂q˙én)-∂L∂qén=ddt(∂L′∂q˙én)-∂L′∂qén+ddt(∂∂q˙éndFdt)-∂∂qéndFdt.{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {q }} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L} {\ részleges q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ balra ({\ frac {\ részleges L '} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L'} {\ részleges q_ {i} }} + {\ frac {\ matrm {d}} {\ matrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges} {\ részleges q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {igazítva}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {q }} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L} {\ részleges q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ balra ({\ frac {\ részleges L '} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L'} {\ részleges q_ {i} }} + {\ frac {\ matrm {d}} {\ matrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges} {\ részleges q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {igazítva}}}$

$F$ teljes deriváltját átírhatjuk :

dFdt=∑k∂F∂qkdqkdt+∂F∂t=∑k∂F∂qkq˙k+∂F∂t{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ részleges F} {\ részleges q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ részleges F} {\ részleges t}} \\ & = \ összeg _ { k} {\ frac {\ részleges F} {\ részleges q_ {k}}} {\ pont {q}} _ {k} + {\ frac {\ részleges F} {\ részleges t}} \\\ vég { igazítva}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ részleges F} {\ részleges q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ részleges F} {\ részleges t}} \\ & = \ összeg _ { k} {\ frac {\ részleges F} {\ részleges q_ {k}}} {\ pont {q}} _ {k} + {\ frac {\ részleges F} {\ részleges t}} \\\ vég { igazítva}}}$

Szóval . Ezt beillesztjük a fenti Euler-Lagrange egyenletbe: ${\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges F} {\ részleges q_ {i}}}}$

0=ddt(∂L′∂q˙én)-∂L′∂qén+ddt∂F∂qén-∂∂qéndFdt=ddt(∂L′∂q˙én)-∂L′∂qén{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges L '} {\ részleges {\ pont { q}} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L '} {\ részleges q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ részleges F} {\ részleges q_ {i}}} - {\ frac {\ részleges} {\ részleges q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ részleges L '} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L '} {\ részleges q_ {i}}} \ vég {igazítva}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges L '} {\ részleges {\ pont { q}} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L '} {\ részleges q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ részleges F} {\ részleges q_ {i}}} - {\ frac {\ részleges} {\ részleges q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ részleges L '} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges L '} {\ részleges q_ {i}}} \ vég {igazítva}}}$

és így azt látjuk, hogy a Lagrangian kielégíti az Euler-Lagrange egyenleteket is. $A$

A Lagrangian transzformációjának ez a tulajdonsága azt bizonyítja, hogy egy rendszer Lagrangian-ja soha nem egyedi, mert a Lagrangian-hoz mindig hozzá lehet adni egy forma kifejezést, miközben megőrzik a mozgásegyenleteket. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$

Példa derékszögű koordinátákra

Az idő -származékot egy változó jelzi egy pont fölé. Tehát ha van a helyzet, akkor kijelöli a sebességet és a gyorsulást. $\ vec {x}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ vec {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {x}}}}$

A Lagrange-egy nem- relativisztikus tömegű részecske m egy háromdimenziós euklideszi térben , vetjük alá, hogy egy potenciális $E$ $p van$ írva:

L(x→,x→˙) = Evs.-Eo = 12 m v→2 - V(x→) = 12 m x→˙2 - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})} ${\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})}$

vagy

L(x→,x→˙) = o→22m - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

{\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

ahol p a lendület: o→ = m v→ = m x→˙{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

Alkalmazzuk az Euler-Lagrange egyenleteket derékszögű koordinátákban :

d dt (∂L∂x˙én) - ∂L∂xén = 0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ balra (\, {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x}} _ {i }}} \, \ jobbra) \ - \ {\ frac {\ részleges L} {\ részleges x_ {i}}} \ = \ 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ balra (\, {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x}} _ {i }}} \, \ jobbra) \ - \ {\ frac {\ részleges L} {\ részleges x_ {i}}} \ = \ 0}

ahol az i index a 3 térbeli változó egyikét jelöli:

x 1 = x

x 2 = y

és

x 3 = z

. A megfelelő származékok ekkor adják:

L (\ vec {x}, \ dot {\ vec {x}})

∂L∂xén = - ∂V∂xén{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ részleges V} {\ részleges x_ {i}}}} ${\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ részleges V} {\ részleges x_ {i}}}}$

∂L∂x˙én = ∂ ∂x˙én(12 m x→˙2) = mx˙én{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ részleges ~} {\ részleges {\ pont {x}} _ { i}}} \, \ balra (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ jobbra) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ részleges ~} {\ részleges {\ pont {x}} _ { i}}} \, \ balra (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ jobbra) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}}$

d dt (∂L∂x˙én) = mx¨én{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ bal (\, {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x}} _ {i }}} \, \ jobbra) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ bal (\, {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x}} _ {i }}} \, \ jobbra) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}}$

így minden i térbeli tengelyre kifejezetten megkapjuk :

mx¨én + ∂V∂xén = 0{\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ részleges V} {\ részleges x_ {i}}} \ = \ 0} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ részleges V} {\ részleges x_ {i}}} \ = \ 0}$

Egy galileai referenciakeret és amikor az erő fakad a lehetséges V

F→eredő = - ∇→V(x){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)} ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)}$ megtaláljuk Newton második törvényét :

m nál nél→ =m x→¨ = F→eredő.{\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.} ${\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.}$

Gömbös koordinátákban

Tekintsünk egy háromdimenziós teret a gömb alakú koordinátákban , és a Lagrangian-t: $(r, \ theta, \ varphi)$

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2bűn2⁡(θ)φ˙2)-V(r,θ,φ).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ bal ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).} ${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ bal ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).}$

Ezután az Euler-Lagrange-egyenleteket írjuk:

ddt(δ(L)δ(r˙))-δ(L)δ(r)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ jobbra) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ jobbra) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(θ˙))-δ(L)δ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(φ˙))-δ(L)δ(φ)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ jobb) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ jobb) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

Vagy itt:

mr¨-mr(θ˙2+bűn2⁡(θ)φ˙2)+Vr′=0,{\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ bal ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ jobbra) + V_ {r} '= 0,} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ bal ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ jobbra) + V_ {r} '= 0,}$

(mr2θ¨)+2mrr˙θ˙-mr2bűn⁡(θ)kötözősaláta⁡(θ)φ˙2+Vθ′=0,{\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,} ${\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,}$

m(r2bűn2⁡(θ)φ¨+2rr˙bűn2⁡(θ)φ˙+2r2kötözősaláta⁡(θ)bűn⁡(θ)θ˙φ˙)+Vφ′=0.{\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.} ${\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.}$

Itt a paraméterek halmaza időre redukálódik , és a dinamikus változók a részecskék pályái . $ha}$ $t$ $\ varphi_i (s)$ $\ vec x (t)$

Lagrangian a mezőelméletben

Értékelés

A Lagrangian időbeli integrálja a cselekvés - jegyezte meg . A mező elmélete , néha megkülönböztetni a Lagrange , melynek szerves idővel az akció: $S$ $L$

S=∫Ldt{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

a Lagrang-féle sűrűség , amelyet az ember a teljes téridőbe integrál a cselekvés megszerzéséhez: $\ mathcal {L}$

S[φén]=∫L[φén(x)]d4x.{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

A Lagrangian tehát a Lagrangian-sűrűség térbeli integrálja. Azonban gyakran egyszerűen Lagrangian-ként emlegetik , különösen a modern használatban. Egyszerűbb a relativisztikus elméletekben, ahol a teret helyileg határozzák meg. Ez a két fajta Lagrangian egy általánosabb képlet egyedi eseteinek tekinthető, attól függően, hogy a térbeli változó be van-e vezetve az indexekben vagy az írás paramétereiben . A kvantumelmélet a mező részecskefizika, például kvantumelektrodinamika , általában írt szempontjából Lagrange sűrűség , ezek a kifejezések könnyen átalakítható, így a szabályok értékelésére Feynman-diagramok . $\ mathcal {L}$ $\ vec x$ $én$ $s$ $\ varphi_i (s)$ $\ mathcal {L}$

Euler-Lagrange egyenletek

Az Euler-Lagrange-egyenletek a mezőelméletben a következők : ${\ displaystyle \ mind i}$

0=∂μ(∂L∂(∂μφén))-∂L∂φén.{\ displaystyle 0 = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges \ varphi _ {i}}}.} ${\ displaystyle 0 = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges \ varphi _ {i}}}.}$

A Lagrang-sűrűség nem egyedisége a klasszikus mezőelméletben

Ami a Lagrangian nem egyediségét illeti, a Lagrangian sűrűség a mezőelméletben nem egyedi. Legyen akkor egy Lagrang- féle sűrűség , ha át tudjuk írni, hogy hol van egy kvadrektor, amely csak a mezőktől (és nem azok deriváltjaitól) és a tér-idő vektortól függ, akkor elégítse ki ugyanazokat az Euler-Lagrange-egyenleteket . $\ mathcal {L}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} '+ \ részleges _ {\ mu} F ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = F ^ {\ mu} [\ varphi, x]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Demonstráció

Az eredeti Lagrang-sűrűség Euler-Lagrange-egyenleteiből kiindulva mindenre megvannak : $én$

0=∂μ(∂L∂(∂μφén))-∂L∂φén=∂μ(∂L′∂(∂μφén))-∂L′∂φén+∂μ[∂∂(∂μφén)∂vFv]-∂∂φén∂vFv{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \\ & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({ \ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L} } '} {\ részleges \ varphi _ {i}}} + \ részleges _ {\ mu} \ balra [{\ frac {\ részleges} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ részleges _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ jobbra] - {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ részleges _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {igazítva}}} ${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \\ & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({ \ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L} } '} {\ részleges \ varphi _ {i}}} + \ részleges _ {\ mu} \ balra [{\ frac {\ részleges} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ részleges _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ jobbra] - {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ részleges _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {igazítva}}}$

Átírhatjuk a vektor kvadridivergenciáját : ${\ displaystyle F ^ {\ nu}}$

∂μFμ[φén,x]=∑én∂Fμ∂φén∂μφén→∂∂(∂μφén)∂vFv=∂Fv∂φén.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ részleges _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ összeg _ {i} {\ frac {\ részleges F ^ {\ mu}} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ jobboldali {0} varphi _ {i})}}} részleges _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ részleges F ^ {\ nu}} {\ részleges \ varphi _ {i}}}. \ vég {igazítva}}}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ részleges _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ összeg _ {i} {\ frac {\ részleges F ^ {\ mu}} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ jobboldali {0} varphi _ {i})}}} részleges _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ részleges F ^ {\ nu}} {\ részleges \ varphi _ {i}}}. \ vég {igazítva}}}

Így, beillesztve ezt az azonosságot a fenti egyenletbe, megkapjuk:

0=∂μ(∂L′∂(∂μφén))-∂L′∂φén+∂μ[∂Fμ∂φén]-∂∂φén∂vFv=∂μ(∂L′∂(∂μφén))-∂L′∂φén{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges \ varphi _ {i}}} + \ részleges _ {\ mu} \ balra [{\ frac {\ részleges F ^ {\ mu}} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ jobb] - {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ részleges _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ vég {igazítva}}}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges \ varphi _ {i}}} + \ részleges _ {\ mu} \ balra [{\ frac {\ részleges F ^ {\ mu}} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ jobb] - {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ részleges _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ jobbra) - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} '} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ vég {igazítva}}}

és így a Lagrang-sűrűség ugyanazokat az Euler-Lagrange-egyenleteket elégíti ki, mint a sűrűség . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Elektromágneses Lagrangian

Általánosságban elmondható, hogy a Lagrangian mechanikájában a Lagrangian megéri:

L=T-V{\ displaystyle L = TV}

{\ displaystyle L = TV}

ahol T a kinetikus energia és V a potenciális energia.

Adott egy elektromosan töltött részecske tömege m és töltés q , és a sebesség egy elektromágneses mezőben a skaláris potenciál , és a vektor potenciál , a kinetikus energia a részecske: ${\ vec {vb}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$

T=12mv→⋅v→{\ displaystyle T = {1 \ több mint 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

{\ displaystyle T = {1 \ több mint 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

és potenciális energiája: V=qϕ-qv→⋅NÁL NÉL→.{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

Az elektromágneses Lagrangian ekkor:

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅NÁL NÉL→.{\ displaystyle L = {1 \ több mint 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

{\ displaystyle L = {1 \ több mint 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

Demonstráció

Az elektromágneses Lagrangian a Lorentz-erő kifejezéséből épül fel, amely, emlékezzünk, nem konzervatív erő. Ha nem klasszikus potenciálból származik, akkor másrészt a Lagrange-egyenletek értelmében általánosítottnak nevezett potenciálból származik . V potenciális energiája valóban kielégíti a következő egyenletet:

F→=ddt∂V(r→,v→,t)∂v→-∂V(r→,v→,t)∂r→(∗).{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ részleges {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ részleges V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ részleges {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ részleges {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ részleges V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ részleges {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

A Lorentz-erőt a következőképpen fejezzük ki:

F→=q(E→+v→×B→).{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ szer {\ vec {B}}).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ szer {\ vec {B}}).}

Maxwell szerint:

B→=∇→×NÁL NÉL→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {A}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {A}}}

∇→×E→=-∂B→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {E}} = - {\ frac {\ részleges {\ vec {B}}} {\ részleges t}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {E}} = - {\ frac {\ részleges {\ vec {B}}} {\ részleges t}}}

Ebből kifolyólag : ∇→×E→=-∂∂t(∇→×NÁL NÉL→)=∇→×(-∂NÁL NÉL→∂t){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ részleges t}} ({\ vec {\ nabla}} \ szer {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ alkalommal \ bal (- {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} \ jobb)}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ részleges t}} ({\ vec {\ nabla}} \ szer {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ alkalommal \ bal (- {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} \ jobb)}

⇒∇→×(E→+∂NÁL NÉL→∂t)=0{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ szorzat balra ({\ vec {E}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} \ jobb) = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ szorzat balra ({\ vec {E}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} \ jobb) = 0}

tehát van olyan potenciál , hogy $\ phi$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}$

Ezért: . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q (- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + {\ vec { v}} \ szor ({\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {A}})}}$

Most Gibbs képlete szerint: $\ vec v \ times (\ vec \ nabla \ times \ vec A) = \ vec \ nabla (\ vec v \ cdot \ vec A) - (\ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A$

⇒F→=q[-∇→ϕ-∂NÁL NÉL→∂t+∇→(v→⋅NÁL NÉL→)-(v→⋅∇→)NÁL NÉL→]{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

=-q[∂NÁL NÉL→∂t+(v→⋅∇→)NÁL NÉL→]+q[-∇→ϕ+∇→(v→⋅NÁL NÉL→)]=-q[∂NÁL NÉL→∂t+(v→⋅∇→)NÁL NÉL→]+q∇→[-ϕ+(v→⋅NÁL NÉL→)]{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ balra [{\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ balra [{\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

=-q[∂NÁL NÉL→∂t+(v→⋅∇→)NÁL NÉL→]-∂∂r→q[ϕ-(v→⋅NÁL NÉL→)].{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

Legyen: . $V '= q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)] \ quad \ Rightarrow \ quad \ vec F = -q \ left [\ frac {\ részleges \ vec A} {\ részleges t} + ( \ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A \ jobb] - \ frac {\ részleges V '} {\ részleges \ vec r}$

Határozzuk meg : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges V '} {\ részleges {\ vec {v}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges V '} {\ részleges {\ vec {v}}}} = - q {\ vec {A}} \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} {\ frac {\ részleges V '} {\ részleges {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm { d} t}}}

Arany : ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}} = {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} \, \ mathrm {d} t + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges x}} \, \ mathrm {d} x + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges y}} \, \ mathrm {d } y + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges z}} \, \ mathrm {d} z \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec { A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} { \ részleges x}} {\ pont {x}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges y}} {\ pont {y}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges z}} {\ pont {z}}}$

⇒ddt∂V′∂v→=-qdNÁL NÉL→dt=-q∂NÁL NÉL→∂t-q[+∂NÁL NÉL→∂xx˙+∂NÁL NÉL→∂yy˙+∂NÁL NÉL→∂zz˙].{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges V '} {\ részleges {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} - q \ balra [+ {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges x}} {\ pont {x}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges z}} {\ pont {z}} \ jobbra].}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges V '} {\ részleges {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} - q \ balra [+ {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges x}} {\ pont {x}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges z}} {\ pont {z}} \ jobbra].}

Átmenetileg észrevehetjük:

∂NÁL NÉL→∂xx˙+∂NÁL NÉL→∂yy˙+∂NÁL NÉL→∂zz˙=(x˙∂NÁL NÉLx∂x+y˙∂NÁL NÉLx∂y+z˙∂NÁL NÉLx∂zx˙∂NÁL NÉLy∂x+y˙∂NÁL NÉLy∂y+z˙∂NÁL NÉLy∂zx˙∂NÁL NÉLz∂x+y˙∂NÁL NÉLz∂y+z˙∂NÁL NÉLz∂z)=(x˙∂∂x+y˙∂∂y+z˙∂∂z)(NÁL NÉLxNÁL NÉLyNÁL NÉLz)=[(x˙y˙z˙)⋅(∂∂x∂∂y∂∂z)](NÁL NÉLxNÁL NÉLyNÁL NÉLz){\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges x}} {\ pont {x}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ részleges A_ {x}} {\ részleges x}} + {\ pont {y}} {\ frac {\ részleges A_ {x}} {\ részleges y}} + {\ pont {z }} {\ frac {\ részleges A_ {x}} {\ részleges z}} \\ {\ pont {x}} {\ frac {\ részleges A_ {y}} {\ részleges x}} + {\ pont { y}} {\ frac {\ részleges A_ {y}} {\ részleges y}} + {\ pont {z}} {\ frac {\ részleges A_ {y}} {\ részleges z}} \\ {\ pont {x}} {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges x}} + {\ pont {y}} {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges y}} + {\ pont {z}} {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}} = ({\ pont {x}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} + {\ pont {z}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges z}}) {{kezdődik {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ balra [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partitális {{részleges x}} \\ {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} \\ {\ frac {\ részleges} {\ részleges z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges x}} {\ pont {x}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ részleges A_ {x}} {\ részleges x}} + {\ pont {y}} {\ frac {\ részleges A_ {x}} {\ részleges y}} + {\ pont {z }} {\ frac {\ részleges A_ {x}} {\ részleges z}} \\ {\ pont {x}} {\ frac {\ részleges A_ {y}} {\ részleges x}} + {\ pont { y}} {\ frac {\ részleges A_ {y}} {\ részleges y}} + {\ pont {z}} {\ frac {\ részleges A_ {y}} {\ részleges z}} \\ {\ pont {x}} {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges x}} + {\ pont {y}} {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges y}} + {\ pont {z}} {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}} = ({\ pont {x}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} + {\ pont {z}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges z}}) {{kezdődik {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ balra [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partitális {{részleges x}} \\ {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} \\ {\ frac {\ részleges} {\ részleges z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

Ezért: . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges V '} {\ részleges {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q \ balra [{\ frac {\ részleges {\ vec {A}}} {\ részleges t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] \ Rightarrow {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ vec {v}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} )] - {\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}$

V′=q[ϕ-(v→⋅NÁL NÉL→)]{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

kielégíti a fent látható Lagrange-egyenletet (*). tehát a potenciális energia ahhoz a Lorentz-erőhöz viszonyítva, amelynek a Lagrangian van .

V '

\ quad L = \ frac {1} {2} m \ vec {v} ^ 2 - q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)]

Újabb tüntetés

Ez a betét azt javasolja, hogy ellenőrizze, hogy a Lagrangian

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅NÁL NÉL→{\ displaystyle L = {1 \ több mint 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

{\ displaystyle L = {1 \ több mint 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

megadja a dinamika alapelvét egy Lorentz-erőnek kitett m tömegű részecske és q elektromos töltés esetén . Ezért az előzővel ellentétes irányú demonstrációt jelenti.

Kifejezetten indexált derékszögű koordinátákkal írunk $L$ $x_1, x_2, x_3.$

Tehát:

L=12m∑én=13xén˙2+q∑én=13xén˙NÁL NÉLén-qϕ,{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

a komponens n ° i a vektor potenciál és

A_i = A_i (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t)

\ vec {A}

\ phi = \ phi (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t).

Értékeljük az 1. komponens Lagrange-egyenleteit:

∂L∂x1=q∑én=13xén˙∂NÁL NÉLén∂x1-q∂ϕ∂x1ésddt∂L∂x1˙=ddt(mx1˙+qNÁL NÉL1)=md2x1dt2+qdNÁL NÉL1dt.{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges x_ {1}}} = q \ összeg _ {i = 1} ^ {3} {\ pont {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {i}} {\ részleges x_ {1}}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}} \ qquad {\ text {és}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ jobbra) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges L} {\ részleges x_ {1}}} = q \ összeg _ {i = 1} ^ {3} {\ pont {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {i}} {\ részleges x_ {1}}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}} \ qquad {\ text {és}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ jobbra) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

A teljes derivált azonban az idő függvényében megegyezik részecskeszármazékával:

A_1

dNÁL NÉL1dt=∂NÁL NÉL1∂t+∑én=13xén˙∂NÁL NÉL1∂xén.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges t}} + \ összeg _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {i}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges t}} + \ összeg _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {i}}}.}

Ezért az 1. komponens mozgási egyenletének kifejezése: md2x1dt2+qdNÁL NÉL1dt=q∑én=13xén˙∂NÁL NÉLén∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {i}} {\ részleges x_ { 1}}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {i}} {\ részleges x_ { 1}}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}}}

md2x1dt2+q∂NÁL NÉL1∂t+q∑én=13xén˙∂NÁL NÉL1∂xén=q∑én=13xén˙∂NÁL NÉLén∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges t}} + q \ összeg _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {i}} {\ részleges x_ {1}}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges t}} + q \ összeg _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ részleges A_ {i}} {\ részleges x_ {1}}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}}}

Egyszerűsítve továbbra is: md2x1dt2=-q∂NÁL NÉL1∂t-q∂ϕ∂x1+qx2˙(∂NÁL NÉL2∂x1-∂NÁL NÉL1∂x2)+qx3˙(∂NÁL NÉL3∂x1-∂NÁL NÉL1∂x3).{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ részleges A_ {1}} { \ részben t}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}} + q {\ pont {x_ {2}}} \ bal ({\ frac {\ részleges A_ {2} } {\ részleges x_ {1}}} - {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {2}}} \ jobbra) + q {\ pont {x_ {3}}} \ balra ({ \ frac {\ részleges A_ {3}} {\ részleges x_ {1}}} - {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {3}}} \ jobb).}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ részleges A_ {1}} { \ részben t}} - q {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {1}}} + q {\ pont {x_ {2}}} \ bal ({\ frac {\ részleges A_ {2} } {\ részleges x_ {1}}} - {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {2}}} \ jobbra) + q {\ pont {x_ {3}}} \ balra ({ \ frac {\ részleges A_ {3}} {\ részleges x_ {1}}} - {\ frac {\ részleges A_ {1}} {\ részleges x_ {3}}} \ jobb).}

Az és az egyenlőség jogán felismerjük a Lorentz-erő első komponensének kifejezését.

\ vec B = \ vec \ nabla \ times \ vec A

\ vec E = - \ frac {\ részleges \ vec A} {\ részleges t} - \ vec \ nabla \ phi

Példák a Lagrang-féle sűrűségre a kvantumtérelméletben

A diraci Lagrangian

A dirg mező (in) Lagrangi-sűrűsége :

L=ψ¯(énℏvs.⧸D-mvs.2)ψ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ bal (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ bal (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

ahol van egy spinor , jelentése a Dirac-helyettes , a kovariáns származéka szelvény , és a Feynman jelölés számára .

\ psi

\ bar \ psi = \ psi ^ \ tőr \ gamma ^ 0

D

\ nem \! D

\ gamma ^ \ sigma D_ \ sigma

A kvantumelektrodinamika Lagrangian-ja

A Lagrangi-sűrűség QED-ben :

LQED=ψ¯(énℏvs.⧸D-mvs.2)ψ-14μ0FμvFμv{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ több mint 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ több mint 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

hol van az elektromágneses tenzor .

F ^ {\ mu \ nu}

A kvantum kromodinamika Lagrangian-ja

A Lagrangi-sűrűség a QCD-ben :

LQVSD=∑nemψ¯nem(énℏvs.⧸D-mnemvs.2)ψnem-14GαμvGαμv{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ 4} felett G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ 4} felett G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

ahol a kovariáns származéka szelvény a QCD, és a tenzor a térerősség a gluon .

D

G ^ \ alfa {} _ {\ mu \ nu}

Matematikai formalizmus

Vagyis a

különböző dimenzió , és a különböző rendeltetési . Legyen az in függvénykészlete , az úgynevezett konfigurációs tér .

M

nem

T

\ mathcal {C}

\ mathcal {C} ^ \ infty

M

T

Először is adjunk néhány példát:

a klasszikus mechanika, a Hamilton formalizmus , a csonkja 1. dimenzió , ami idő, és a célterületre a kotangensét

köteg a tér általános helyzete;

M

\ mathbb {R}

a mezőelméletben a tér-idő sokrétű, a céltér pedig a mezők lehetséges értékeinek halmaza az egyes pontokban. Ha például

valódi skaláris mezők vannak φ 1 , ..., φ m , akkor a rendeltetési sokaság az . Ha van egy terület valódi vektorok , a cél sokrétű az izomorf a . Valójában elegánsabb módja van az érintőköteg használatának, de maradunk ennél a verziónál.

M

m

\ R ^ m

\ mathbb {R} ^ {n}

Tegyük fel, hogy most van egy funkcionális , úgynevezett fizikai cselekvés. Ez egy alkalmazás fizikai okokból , nem pedig . ${\ displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$

Ahhoz, hogy az akció helyi legyen, további korlátozásokra van szükségünk. Ha azt vesszük, hogy

S [ φ ] az M integráljának integrálja a function függvényét, annak deriváltjait és azokat a pozíciókat, amelyeket Lagrangi-nak nevezünk . Más szavakkal,

\ varphi \ in \ mathcal {C},

{\ mathcal {L}} (\ varphi, \ részleges \ varphi, \ részleges ^ {2} \ varphi, \ pontok, x)

∀φ∈VS,S[φ]≡∫MdnemxL(φ(x),∂φ(x),∂2φ(x),...,x).{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ részleges \ varphi (x), \ részleges ^ {2} \ varphi (x), \ pontok, x).} ${\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ részleges \ varphi (x), \ részleges ^ {2} \ varphi (x), \ pontok, x).}$

Legtöbbször azt feltételezzük, hogy a lagrangiak csak a mezők értékétől, első származékaiktól függenek, a magasabb rendű származékoktól azonban nem. Valójában csak a kényelem kedvéért szolgál, és általában nem igaz. Feltételezzük azonban, hogy a cikk további részében.

Rögzítsünk határfeltételeket , lényegében az φ adatait a határokon, ha M kompakt , vagy a határértékét , amikor x végtelenbe hajlik (ami praktikus a részekbe történő integrálás során). A functions függvények olyan alterülete , hogy az S művelet összes

funkcionális deriváltja φ-ben 0, és φ kielégítse a peremfeltételeket, a fizikai megoldások tere.

\ mathcal {C}

A megoldást az Euler-Lagrange egyenletek adják meg (a határfeltételek felhasználásával):

δδφS=-∂μ(∂L∂(∂μφ))+∂L∂φ=0.{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részben {\ mathcal {L}}} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi)}} \ jobbra) + {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges \ varphi}} = 0.} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ részleges _ {\ mu} \ balra ({\ frac {\ részben {\ mathcal {L}}} {\ részleges (\ részleges _ {\ mu} \ varphi)}} \ jobbra) + {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges \ varphi}} = 0.}$

Megtaláljuk a funkcionális deriváltat a bal oldali akció φ-hez képest.

Megjegyzések és hivatkozások

(en) http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html .
(a) [PDF] http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf .
(in) [PDF] " http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf " ( Archívum • Wikiwix • Archive.is • Google • Mit kell tenni csinálni? ) .

Lásd is

Bibliográfia

Francis Halbwachs és Jean-Marie Souriau , „Mécanique analytique”, Encyclopedia Universalis , 1989, t. 14 , p. 764-767

Kapcsolódó cikkek

Hamiltoni mechanika
Noether tétele (fizika)
Művelet (fizikai)
A legkevesebb cselekvés elve
Hamiltoni operátor : a Lagrangian operátor Legendre-transzformációja
Hamiltonian a mezőelméletben