Hamiltoni mechanika

A hamiltoni mechanika a newtoni mechanika újrafogalmazása . Formalizmusa megkönnyítette a kvantummechanika elméleti fejlődését .

William Rowan Hamilton fogalmazta meg 1833-ban Lagrange egyenleteiből , amelyek már 1788-ban megfogalmazták a klasszikus mechanikát.

Hamilton kanonikus egyenletei

Emlékeztetők a lagrangi mechanikára

A Lagrange-mechanika , a egyenletek a mozgás egy olyan rendszert, N szabadsági fokkal függ a generalizált koordinátáit és a megfelelő sebesség , ha . $\ bal \ {q_ {i} \ jobb \} _ {{i = 1, ..., N}}$ $\ bal \ {{\ dot {q}} _ {i} \ jobb \} _ {{i = 1, ..., N}}$ ${\ dot {q}} _ {i} = {\ dfrac {dq_ {i}} {dt}}$

A Lagrangian tehát formálisan funkcióként írható :: az indexelt változók az ilyen típusú változókat képviselik . ${\ mathcal {L}} (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)$ $NEM$

Konjugált pillanat

A hamiltoni mechanikában minden általánosított sebességet felvált a hozzá tartozó impulzus , amelyet konjugált momentumnak vagy generalizált momentumnak is nevezünk :

p_ {i} \ \ equiv \ {\ részleges {\ mathcal {L}} \ felett \ részleges {\ pont {q}} _ {i}}

A derékszögű koordinátákban a mozgásmennyiségek egyenértékűek a lineáris momentumokkal, míg polárkoordinátákban szögmomentumoknak felelnek meg . Ha az általánosított koordinátákat önkényesen választják meg, akkor már nem lehet intuitív értelmezést adni a konjugált momentumokról.

Hamiltonian

A Hamilton a Legendre-transzformáltja a Lagrange : ${\ mathcal {H}}$

{\ mathcal {H}} \ balra (q_ {i}, p_ {i}, t \ jobb) \ = \ \ sum _ {k} ^ {N} {\ dot {q}} _ {k} \ p_ {k} - {\ mathcal {L}} (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)

A képlet jobb oldalán feltételezzük, hogy a sebességeket a konjugált momentumok függvényében fejezzük ki.

Ha az általánosított koordinátákat meghatározó egyenletek függetlenek az időtől , akkor kimutatható, hogy egyenlő az összes energiával , maga megegyezik a kinetikus energia és a potenciális energia összegével ( ). $t$ ${\ mathcal {H}}$ $E$ $T$ $V$ ${\ mathcal {H}} = E = T + V$

Hamilton kanonikus egyenletei

Differenciális formában a meghatározás két tagja a következõvé válik: ${\ mathcal {H}}$

{\ displaystyle {\ begin {mátrix} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} & = & \ sum _ {i} \ balra [\ balra ({\ részleges {\ mathcal {H}} \ át \ részleges q_ {i}} \ jobb) \ mathrm {d} q_ {i} + \ bal ({\ részleges {\ mathcal {H}} \ felett \ részleges p_ {i}} \ jobb) \ mathrm {d} p_ { i} \ jobb] + \ bal ({\ részleges {\ mathcal {H}} \ át \ részleges t} \ jobb) \ mathrm {d} t \\\ mathrm {d} {\ mathcal {H}} & = & \ sum _ {i} \ balra [{\ dot {q}} _ {i} \ mathrm {d} p_ {i} + p_ {i} \ mathrm {d} {\ dot {q}} _ {i } - \ bal ({\ részleges {\ mathcal {L}} \ át \ részleges q_ {i}} \ jobb) \ mathrm {d} q_ {i} - \ bal ({\ részleges {\ mathcal {L}} \ over \ részleges {\ dot {q}} _ {i}} \ jobbra) \ mathrm {d} {\ dot {q}} _ {i} \ jobbra] - \ balra ({\ részleges {\ mathcal {L }} \ over \ részleges t} \ right) \ mathrm {d} t \ end {mátrix}}}

A korábban megadott konjugált momentumok meghatározásának és Euler Lagrange egyenleteinek a Lagrangian minimális cselekvés elvének fordításával felhasználva megkapjuk Hamilton mozgásegyenleteit, amelyeket Hamilton kanonikus egyenleteinek nevezünk :

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} \ = \ {\ frac {\ részleges {\ mathcal {H}}} {\ részleges p_ {i}}} \ quad; \ qquad {\ pont {p }} _ {i} \ = \ - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {H}}} {\ részleges q_ {i}}} \ quad; \ qquad {\ frac {\ részleges {\ mathcal {H} }} {\ részleges t}} \ = \ {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {H}}} {\ mathrm {d} t}} \ = \ - \ {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges t}}}

Megjegyzés: az egyenlőséget a következőképpen mutatják be: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {H}}} {\ mathrm {d} t}} = - \ {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges t }}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {H}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (p_ {i} {\ dot {q} } _ {i} - {\ mathcal {L}})} {\ mathrm {d} t}} = p_ {i} {\ ddot {q}} _ {i} + {\ dot {p}} _ { i} {\ dot {q}} _ {i} - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges q_ {i}}} {\ pont {q}} _ {i} - { \ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {q}} _ {i}}} {\ ddot {q}} _ {i} - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges t}} = - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges t}}}$

Ahol az utolsó egyenlőséghez használtuk a konjugált momentumok meghatározását és Euler Lagrange egyenleteit.

Hamilton egyenletei elsőrendű differenciálegyenletek , ezért könnyebben megoldhatók, mint a másodrendű Lagrange-egyenletek. Mindazonáltal az ezekhez az egyenletekhez vezető lépések összetettebbek, mint a lagrangi mechanika lépései: az általánosított koordinátákból és a lagrangi-ból ki kell számítani a hamiltoni értéket, az általánosított sebességeket a konjugált momentumok függvényében kell kifejezni, és helyettesíteni kell őket. a hamiltoni definícióban.

Lagrange módszere a matematikai manipulációk szempontjából kevésbé nehéz. A hamiltoni megközelítés legfőbb előnye, hogy formalizmusának egyszerűségének köszönhetően elméleti alapot nyújt a mechanikában. Például a kvantummechanika a Hamilton-mechanikán alapuló formalizmust alkalmazza.

Megfigyelhetünk bizonyos hasonlóságot Hamilton kanonikus egyenletei és Maxwell egyenletei között is .

Elemi példa: a nem relativisztikus részecske egy tengelyen

Legyen egy nem relativisztikus tömegrész , amely egy tengelyen mozog. Ennek a részecskének a helyzetét koordinátával keressük meg . Tegyük fel továbbá, hogy a részecske olyan erőnek van kitéve, amely a potenciális energiából származik . A Lagrangian-t ekkor írják: $m$ $q$ $V (q)$

{\ mathcal {L}} (q, {\ dot {q}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \, m \, {\ dot {q}} ^ {2} \ - \ V (q)

A konjugált pillanat akkor érdemes:

p \ = \ {\ részleges {\ mathcal {L}} \ felett \ részleges {\ pont {q}}} \ = \ m \, {\ pont {q}}

azonosul a szokásos lendülettel. Ez a képlet megfordítható:

{\ dot {q}} \ = \ {\ frac {p} {m}}

Ezután megkapjuk a Hamiltonian by Legendre transzformációt:

{\ mathcal {H}} (q, p) \ = \ {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ + \ V (q)

Ezután a kanonikus egyenletek a következőkhöz vezetnek:

{\ dot {q}} \ = \ {\ frac {\ részleges {\ mathcal {H}}} {\ részleges p}} \ = \ {\ frac {p} {m}}

és Newton dinamikájának egyenletéhez:

{\ dot {p}} \ = \ - \ {\ frac {\ részleges {\ mathcal {H}}} {\ részleges q}} \ quad \ Longrightarrow \ quad m \, {\ ddot {q}} \ = \ - \ {\ frac {\ részleges V} {\ részleges q}}

Hamiltonian a mezőelméletre alkalmazta

Fázistér

Dinamika az euklideszi térben

Vegyük fontolóra egy olyan szabadságfokú rendszert, amelyet jelenleg a következők írnak le : $NEM$ $t$

- az általánosított koordináták , - . Láthatjuk ezeket a koordinátákat a . $NEM$ $q_ {i} (t) \ itt: {\ mathbb {R}}$ $(i = 1, \ pont, N)$ ${\ mathbb {R}} ^ {N}$

A kombinált szer , . Ezeket a koordinátákat a másik vektorának összetevőjeként is láthatjuk . $NEM$ $p_ {i} (t) \ itt: {\ mathbb {R}}$ $(i = 1, \ pont, N)$ ${\ mathbb {R}} ^ {N}$

Minden pillanatban, a koordinátákat meg egy pontot a fázisban tér a méreteket. $2N$ $(q_ {i} (t), p_ {i} (t))$ $x (t)$ $\ Gamma = {\ mathbb {R}} ^ {N} \ szor {\ mathbb {R}} ^ {N} = {\ mathbb {R}} ^ {{2N}}$ $2N$

Dinamika egy differenciálcsatornán

Képzeljünk el egy rendszert szabadsági fokkal, amelynek általános koordinátákat adja meg a helyzetét egy pont egy eltérés sokrétű a méreteket. A konjugált pillanat ekkor a kotangens tér eleme az irányban . $NEM$ $NEM$ $q_ {i} (t)$ $o$ $M$ $NEM$ $p_ {j} (t)$ $T_ {p} ^ {{\ star}} M$ $j$

Minden pillanatban, a koordinátákat meghatározni ebben az esetben egy pont a fázisban térben , amely azonosítja a szál helyet kotangensét hogy 2N méretei. Ezt a fázisteret természetesen a következő szimplektikus formával látják el: $2N$ $(q_ {i} (t), p_ {j} (t))$ $x (t)$ $\ Gamma = T ^ {{\ csillag}} M$ $\ omega \,$

\ omega = \ sum _ {i} {{\ rm {d}}} q_ {i} \ ék {{\ rm {d}}} p_ {i}

Hamiltoni áramlás

A rendszer dinamikus evolúciója a kanonikus Hamilton-egyenletek alapján egy kezdeti feltételből generálja a Hamilton- áramlást , vagyis a folytonos csoportot egy olyan paraméterrel , mint: ${\ displaystyle x_ {0} = (q_ {i0}, p_ {j0})}$ $\ phi _ {t}: \ Gamma \ Gamma$

x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})

A fázistérben a pozíciók egymás utáni folytonos görbét eredményeznek , amelyet pályának nevezünk . $x (t)$

Liouville tétele

A Hamilton-áramlás megőrzi a intézkedés a Liouville a fázis helyet. Ha ez euklideszi ez invariáns intézkedés keretében az áramlás egyszerűen a Lebesgue mérték a : ${\ mathbb {R}} ^ {{2N}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mu _ {L} \ = \ \ prod _ {k = 1} ^ {N} \ mathrm {d} q_ {k} \, \ mathrm {d} p_ {k}}

Ennek a tételnek a bizonyítása azon a tényen alapul, hogy a "sebesség" eltérése a fázistérben nulla:

{\ mathrm {div}} \ {\ vec {v}} \ = \ \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} \ balra [\ {\ frac {\ részleges {\ dot {q}} _ {k}} {\ részleges q_ {k}}} \ + \ {\ frac {\ részleges {\ pont {p}} _ {k}} {\ részleges p_ {k}}} \ \ jobbra] \ = \ 0

ahol a kanonikus egyenleteket használtuk a következtetésre. Más szavakkal, a fázistérben lévő „Hamilton-folyadék” összenyomhatatlan.

Állandó energiafelület

Az időben történő fordítással invariáns hamiltoni rendszer mindig kielégíti az energia megőrzését:

\ forall \ t, \ quad {\ mathcal {H}} (q_ {i} (t), p_ {i} (t)) \ = \ E

úgy, hogy a dinamika mindig korlátozott a hiperfelület a méreteket. Ebben az esetben a Liouville-mérés invariáns a fázistérben folyó áramlás alatt invariáns mérést indukál az állandó energia hiperfelületén áramló áram alatt, amelyet a következők határoznak meg: $\ scriptstyle S_ {E} \ alhalmaz \ Gamma$ $2N-1$

{\ mathrm d} \ mu _ {S} \ = \ {\ frac {{\ mathrm d} \ Sigma} {\ | {\ mathbf {grad}} \ H \ |}}

hol van a hiperfelületen végzett mérés, amelyet a metrika indukál a fázistéren. ${\ mathrm d} \ Sigma$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$

Integrált rendszer

Ezen kívül lehetnek más, energiától független mozgásállandók is. Ha egy idővel definiált transzlációs invariáns rendszer független mozgásállandókkal rendelkezik, akkor azt integrálhatónak mondják . Dinamikája ekkor különösen egyszerű. ${{\ mathbb R}} ^ {{2N}}$ $NEM$

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Lev Landau és Evgueni Lifchits , elméleti fizika , t. 1: Mechanika [ a kiadások részlete ]

(in) Tom vödör és FH Berkshire, Klasszikus mechanika , Prentice Hall ( 4 th kiadás, 1997) ( ISBN 0-582-25972-X ) .Figyelemre méltó bevezető tanfolyam a mechanikában, a newtoni alapoktól kezdve a Lagrange és Hamilton fejlettebb formalizmusáig. Kibble a londoni Imperial College elméleti fizikájának emeritus professzora . Erre 4 -én kiadás (a társszerző), két bevezető fejezet az ötleteket káoszelmélet is tartalmazza. Szint: az első egyetemi ciklustól kezdve. (Az előző kiadás francia nyelvű fordítása volt, kiadta a Dunod.)

(in) Herbert Goldstein , Charles P. Poole és John L. Safko, Klasszikus mechanika (a) , Addison-Wesley ( 3 -én kiadás, 2001).Ez a könyv referencia a mechanika modern elméleti vonatkozásaira - Lagrangian és Hamilton-féle megfogalmazásokra. Ezt a harmadik, együttműködéssel készült kiadást a káoszelmélet legújabb fejleményeinek fejezete egészíti ki . A háromtestes problémának szentelt 3. fejezetet szintén részben felülvizsgálták. Második ciklusú egyetemi szint. (Korábban volt egy korábbi kiadás francia fordítása.)

(in) Vladimir Arnold , matematikai módszerek a klasszikus mechanika , Springer Verlag ( 2 -én kiadás, 1989).Matematikai aspektusok (főként geometriai) elmélet modern megfogalmazásaiban - Lagrangian és Hamiltonian - egy orosz matematikus vezetéssel, aki a XXI . Században tanít a Párizs-Dauphine Egyetemen . Szint: második egyetemi ciklus.

(in) Ralph Abraham és Jerrold Marsden , alapjai mechanika , a Benjamin / Cummings Publishing Company ( 2 th kiadás, 1978).Egy könyv, amely a mechanika szigorú axiomatikus kiállítását mutatja be "à la Bourbaki ". Minimális második ciklusú egyetemi szint.

(in) Walter Thirring (a) , klasszikus matematikai fizika - dinamikus rendszerek & Field Theory , Springer-Verlag ( 3 -én kiadás, 1997).E könyv első fele a mechanika szigorú bemutatását mutatja be a Bécsi Egyetem matematikai fizikusa . Szint: második egyetemi ciklus.