A matematikai modell egy megfigyelés fordítása annak érdekében, hogy matematikai eszközöket, technikákat és elméleteket alkalmazzanak rá , majd fordítva, a kapott matematikai eredményeket jóslatokká vagy műveletekké fordítják a való világban.
A modell mindig azzal függ össze, hogy mit remél belőle. Ugyanaz az objektum, például egy egér, nem lesz azonos módon modellezve attól függően, hogy érdekel-e minket
Hasonlóképpen, a modell soha nem tökéletes, és nem is reprezentálja teljesen a valóságot: a paraméterek megválasztása és az őket összekötő kapcsolatok megvilágítják a véglegességet. Ugyanazon a modellen belül a paraméterek értékeinek megválasztása lehetővé teszi különböző szempontok, vagy akár különböző realitások megértését.
A cél kitűzése esetén is gyakran többféle modell létezik, amelyek mindegyikének vannak bizonyos előnyei.
„Bármely modellezésnél a priori választják az összes jelenség leírására használt matematikai környezetet. A készítmény ritkán azonosul a tényleges fizikai megnyilvánulásokkal. "
Így a fizikában kényelmes egy háromdimenziós euklideszi tér, vagy egy "ívelt" tér, vagy egy 4, 5, 11 vagy 26 dimenziójú tér , vagy egy Hilbert-tér stb. Bár általában lehetséges, hogy ezek a különböző ábrázolások nagyon közel vannak egymáshoz, mégis kiderül, hogy ezek többé-kevésbé megfelelnek a figyelembe vett helyzetnek. Ezek az elméleti megfogalmazások továbbra is hasznos modellek maradnak a valóság megértésében, de különböznek attól. Például, amikor egy fizikus kijelenti, hogy "az univerzum tágul", akkor meg kell érteni, hogy implicit módon azt állítja, hogy "a matematikai keretrendszeremmel kapcsolatban minden úgy történik, mintha ...". Egy másik fizikus kijelentheti, hogy "az univerzum nem tágul": tökéletesen megegyezhetnek, ha a matematikai megfogalmazások különböznek egymástól.
Ugyanez a megjegyzés vonatkozik más területekre is, különös tekintettel a gazdasági és számviteli modellekre, amelyek eredményeinek és az ebből fakadó döntéseknek jelentős gazdasági és fiskális következményei vannak: a gazdasági modellezés archetípusa a fiskális kataszter és az alapok. jól tudja, hogy "hamisak", vagyis csak tökéletlenül tükrözik a valós értéket, amely állítólag referenciaként szolgál.
Mindezt anélkül, hogy figyelmen kívül hagynánk a valóságot: bár a híd építéséhez szükséges mélyépítési modell garantálja a szerkezet robusztusságát, nem kizárt, hogy végül összeomlik (másrészt, ha a modell azt jelzi, hogy egy ilyen változat túl gyenge, ostobaság lenne végrehajtani).
A modellezés gyakorolható
Ezek matematikai modelleket használnak előre események és helyzetek, például előrejelzése az időjárás a meteorológiai becslése lehetséges árai pénzügyi eszközök és értékelési modellek a pénzügy , vagy járványok megelőzése. Prediktív modellekről beszélünk , amelyekben ismert, magyarázó nevű változókat használnak ismeretlen változók meghatározására, amelyeket „magyarázni” kell.
Ebben az esetben a modelleket a történelmi adatok ábrázolására használják. Leíró modellekről beszélünk . A cél az információk tömegének értelmezhető módon történő jelentése. E modellek archetípusa a könyvelés : leegyszerűsítve írja le a valós gazdasági eseményeket azáltal, hogy számlát rendel hozzájuk, vagyis egy "címkét", amely állítólag jellemzi őket. Ezeket a számlákat azután összesítik, hogy a vállalatok és az országok gazdasági helyzetét szokásos módon bemutassák.
A kétféle modell tökéletesen összekapcsolódik: a jó előrejelzés feltételezi legalább a múlt és a jelenlegi helyzet előrejelzését, vagyis egy jó leírást. Ezzel szemben egy jó leírás tökéletesen hiábavaló lenne, ha nem legalább diagnózisként vagy térképként szolgálna a lefutandó tanfolyam azonosításához.
Ugyanaz a matematikai modell sok helyzetben alkalmazható, nem feltétlenül van nyilvánvaló kapcsolata. Például a tájgenerátorok képesek olyan reális alakzatokat létrehozni, amelyek különböznek a hegyektől, fáktól, szikláktól, fűtől, tengeri kagylóktól vagy hópelyhektől, egy általános, majd ugyanazzal a modellel. Hogy tárgyainak növekedési és építési folyamatai nagyon változatosak . Ha egy új modell létrehozása helyett egy problémát egy ismert régi modellhez tudunk kapcsolni, akkor azonnal nagyon hasznos adatok tömegét kapjuk. A munka nagy része tehát annak felismerése, hogy ismert modell alkalmazható, vagy egy különösen hasznos modellosztály ismert tulajdonságainak kiterjesztése (olyan tulajdonság, amelyet ezután szélesebb körben lehet használni).
Georges Matheron megkülönbözteti:
Georges Matheron a modell leírásának több szintjét határozza meg:
A panscopikus modell magas szintű specifikációra törekszik (sok specifikációs kritériummal rendelkezik); fordítva, egy monoszkópos modell a leggyengébb előrejelző hipotéziseket, és ezért a specifikáció gyenge fokát fogja keresni.
A modellek csak bizonyos területeken működnek. Beszélni fogunk egy robusztussági küszöbről (az adatokról, specifikusakról, típusokról) és a realizmusról annak a határnak a minősítéséhez, amelyeken belül a modell ésszerűen megfelel a valóságnak, vagy az objektivitási küszöbről, amikor a modell már nem tud releváns állítást adni.
Előzetesen fontos megérteni, hogy a matematikai összetettség nem elégséges kritérium annak megítéléséhez, hogy a modell releváns-e vagy sem: vannak olyan modellosztályok, amelyek összetett matematikai eszközöket igényelnek, például műveletkutatást vagy játékelméletet ; más osztályok, például a könyvelés , gyermeki matematikai megközelítést alkalmaznak (összeadás, kivonás). De összehasonlítható eredménnyel természetesen a legegyszerűbb modellt részesítjük előnyben.
A modell releváns:
A modell akkor is releváns, ha:
Egy ilyen rövid cikkben nem kérdés, hogy bemutassunk minden helyzetre alkalmazható módszertant (ha van ilyen!), De néhány lényeges pontot.
1. A kiindulópont mindig egy olyan kérdés , amelyet felteszünk magunknak egy jövőbeli helyzetről és / vagy olyan összetett, hogy nem találjuk meg a választ nyilvánvaló módon.
Pl .: életképes az üzleti vállalkozásom? Megéri ez az anyag a kért árat? Ez a gyógyszer hatékony? Mit kell tenni a helyzet javítása érdekében?2. A válasz megtalálásához korlátozni kell a probléma terjedelmét azáltal, hogy meg kell keresni azokat az adatokat, amelyekről elképzelhető, hogy közvetlen kapcsolatban állnak a kérdéssel. A túl nagy korlátozás azzal a kockázattal jár, hogy nem modellezünk egy olyan jelenséget, amelynek súlya van a kontextusban, de a túl sok nyitás az erőforrások szétszóródásához és irreleváns adatok felhalmozásához vezet, amelyeket el kell vetni a választások igazolásával. Ez a lépés a legkényesebb a modell minősége szempontjából: a priori a modellező, a tudásának hiánya - néha a módszer - és a rendelkezésére álló eszközök (idő, pénz, adatokhoz való hozzáférés) függvénye . Ebben a lépésben megválasztjuk az általunk használni kívánt általános modell típusát, különös tekintettel a véleményünk szerint rendelkezésre álló adatokra.
3. Ezután a modellt fel kell építeni :
Itt jönnek be a matematikai és számítógépes eszközök, amelyek lehetővé teszik a szűrést és a felépítést minimális szubjektivitással, minimális idő alatt.
4. A fennmaradó „szubsztrát” alkotja a modellt, a szabályokat vagy az egyenleteket . Ezeket a szabályokat a lehető legteljesebben le kell írni: relatív fontosságuk, a bemeneti és kimeneti adatok, az alkalmazott matematikai eszközök, a lépések, amelyeken keresztül kell haladni, az ellenőrzési pontok.
5. Az utolsó lépés a modell validálása: a modell szabályainak a szűrt adatokra való alkalmazásával megtaláljuk a kezdeti helyzetet? Ha a különbség túl nagy, fel kell tenni a feltett határok kérdését, vagy a modellezéshez használt eszközök relevanciáját.
Ezek lényegében statisztikai és valószínűségi eszközök, differenciálszámítások (parciális és hétköznapi differenciálegyenletek). Pontosabban,