Hangerő
Hangerő
A kötet , a Science fizikai vagy matematikai , olyan mennyiség, hogy az intézkedések milyen mértékben egy tárgy vagy egy része a tér .
Térfogatmérés
V=|det(v→1,v→2,v→3)|{\ displaystyle V = | \ det ({\ vec {v}} _ {1}, {\ vec {v}} _ {2}, {\ vec {v}} _ {3}) |}.
A térfogat kiszámítása a történelem során a kalkulus előrehaladását követően alakult ki . Így számolták ki az első térfogatokat a kimerítési módszerrel , majd Cavalieri elvével és végül a hármas integrálok kiszámításával .
Az egyszerű szilárd anyagok ( párhuzamos és párhuzamos tárgyak) esetében matematikai képletek léteznek térfogatuk jellegzetes méreteik alapján történő meghatározásához.
Fizikai méret
A térfogat egy additív mennyiség: egy fizikai rendszer térfogata a részei térfogatának összege. Másrészt nem algebrai mennyiség: fizikailag nincs "negatív térfogat" (amiből Mary Poppins utazótáskáját készítenék ), amelynek szuperpozíciója pozitív térfogatú fizikai rendszerrel olyan rendszert eredményezne, a térfogat globálisan nulla, vagy legalábbis csökkentett: minden kötetnek ugyanaz a jele, és egyezmény szerint pozitívan számítanak. Ezért a vegyes termék képletében az eredmény abszolút értéket vesz fel.
A fizikai értelmezése a kevert termék az, hogy a fizikai mennyiség az a pont termék egy felülete által elmozdulás :
V=det(v→1,v→2,v→3)=v→1⋅(v→2∧v→3)=v→1⋅S→23.{\ displaystyle V = \ det ({\ vec {v}} _ {1}, {\ vec {v}} _ {2}, {\ vec {v}} _ {3}) = {\ vec {v }} _ {1} \ cdot ({\ vec {v}} _ {2} \ wedge {\ vec {v}} _ {3}) = {\ vec {v}} _ {1} \ cdot {\ a következővel: {S}} _ {23}}.
Az elmozdulás vektor , de az orientált felület pszeudovektor , így az így meghatározott térfogat elméletileg egy mennyiség, amely előjelet vált, ha a rendszert közvetett izometriának vetik alá (például tükörszimmetria). Valójában, ha például egy gömb térfogata 4 ⁄ 3 π R 3 , akkor a poláris inverzió hatásosan R- t R-re változtatja , és logikusan negatív térfogathoz vezet. A dimenzióegyenlet szempontjából és az orientációs mennyiséget figyelembe véve az elmozdulás L · 1 x dimenziós vektor és a terület L 2 · 1 y{\ displaystyle \,} dimenziós pszeudovektor , a kettő szorzata L{\ displaystyle \,} dimenziós pszeudoszkalár 3 · 1 z , azaz ugyanaz a karaktere, mint az áramlás.
A fizika gyakorlatilag változatlan marad, ha az összes kötetet negatívan számoljuk, de a gyakorlatban a fizikai térfogatokat pozitívan számoljuk, ami annyit jelent, hogy az előző értelemben vett térfogatot megszorozzuk a Levi-Civita szimbólummal (maga 1 z-ben ). A fizikai test térfogata ekkor igazi skalár, az orientációs konvenció miatt. Hasonlóképpen, míg egy felületi elem általában pszeudovektor 1 év múlva , az a tájolási egyezmény, amely azt akarja, hogy a zárt felületen való orientációja kifelé irányuljon, azt megszorozza az 1 z- ben lévő orientációs egyezménnyel , ami aztán 1 x . Ennek az orientációs konvenciónak a felhasználása problematikus lehet a dimenzióanalízisben , mert megfelel a probléma adataiban egyébként általában láthatatlan mennyiségnek.
Elemi kötet
A 3. dimenzió tartománya általában három független u , v és w paraméterrel írható le . Az e tartományhoz tartozó bármely M ( u , v , w ) pont esetében a helyzetvektornak (ahol O bármilyen fix eredetet jelöl) megkülönböztetése van :
OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}
dOM→=(∂OM→∂u)du+(∂OM→∂v)dv+(∂OM→∂w)dw{\ displaystyle \ mathrm {d \, {\ overrightarrow {OM}}} = \ left ({\ frac {\ partis \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial u}} \ jobb) \ mathrm {d} u + \ balra ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges v}} \ jobbra) \ mathrm {d} v + \ balra ({ \ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges w}} \ jobbra) \ mathrm {d} w}.
A három paraméter elemi változása d u , d v , d w ) a d 3 V (vagy egyszerűen d V, ha nem kell emlékeznünk arra, hogy három változó egymástól függetlenül változik ) d 3 V térfogat (vagy elemi térfogat ) elemét alkotja . :
d3V=det[(∂OM→∂u),(∂OM→∂v),(∂OM→∂w)]dudvdw{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = \ det \! \ left [\ left ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges u}} \ jobbra), \ balra ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}} {\ részleges v}} \ jobbra), balra ({\ frac {\ részleges \, {\ felülírás {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges w}} \ jobbra) \ jobbra] \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v \, \ mathrm {d} w}.
A helyzetvektor modulusát méterben (m), a térfogat elemet köbméterben (m 3 ) fejezik ki . A jele d 3 V pozitív, ha a vektorok , és a vett ebben a sorrendben, így egy közvetlen triéder , és negatív, ha alkotnak inverz triéder .
(∂OM→/∂u){\ displaystyle (\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} / \ részleges u)}(∂OM→/∂v){\ displaystyle (\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} / \ részleges v)}(∂OM→/∂w){\ displaystyle (\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} / \ részleges w)}
Derékszögű koordináták
A ortonormált derékszögű koordináták , az aktuális pont M azonosítjuk x , y és z , úgy, hogy:
OM→=xx^+yy^+zz^{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = x \, {\ hat {x}} + y \, {\ hat {y}} + z \, {\ hat {z}}}ahol , és a készülék vektorok , rögzített, a három ortogonális tengelyen (és, hozott ebben a sorrendben, így egy közvetlen triéder). Ezután:
x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}y^{\ displaystyle {\ hat {y}}}z^{\ displaystyle {\ hat {z}}}
(∂OM→∂x)=x^, (∂OM→∂y)=y^ és (∂OM→∂z)=z^{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}} {\ részleges x}} \ jobb) = {\ hat {x}}, \ \ bal ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges y}} \ jobbra) = {\ hat {y}} \ {\ textrm {et}} \ \ balra ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges z}} \ jobbra) = {\ hat {z}}}.
Könnyen megállapíthatjuk, hogy:
d3V=dxdydz{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z}.
Hengeres koordináták
A hengeres koordinátákat , az aktuális pont M azonosítjuk r , φ és Z , úgy, hogy:
OM→=rr^(φ)+zz^{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = r \, {\ hat {r}} (\ varphi) + z \, {\ hat {z}}}hol van egy ortonormális koordinátarendszer O z tengelyének egységvektora , míg az egységvektor derékszögű koordinátáinak cos ( φ ) , sin ( φ ) és 0 . Ezután:
z^{\ displaystyle {\ hat {z}}}r^(φ){\ displaystyle {\ hat {r}} (\ varphi)}
(∂OM→∂r)=r^(φ){\ displaystyle \ left ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}} {\ részleges r}} \ jobb) = {\ hat {r}} (\ varphi)}, és
(∂OM→∂φ)=rφ^(φ) {\ displaystyle \ \ bal ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges \ varphi}} \ jobb) = r \, {\ hat {\ varphi}} ( \ varphi) \} (∂OM→∂z)=z^{\ displaystyle \ \ bal ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges z}} \ jobb) = {\ hat {z}}}
hol van a derékszögű koordináták egységvektora –sin ( φ ) , cos ( φ ) és 0 . A vektorok , és egységesek és ortogonális párban (és, hozott ebben a sorrendben, így egy közvetlen triéder). Könnyen megállapíthatjuk, hogy:
φ^(φ){\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}r^(φ){\ displaystyle {\ hat {r}} (\ varphi)}φ^(φ){\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}z^{\ displaystyle {\ hat {z}}}
d3V=rdrdφdz{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z}.
Gömbös koordináták
A gömbi koordináták , az aktuális pont M azonosítjuk ρ , θ és φ , úgy, hogy:
OM→=ρρ^(θ,φ){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = \ rho \, {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi)}ahol , egységvektor, a derékszögű koordinátákkal rendelkezik sin ( θ ) cos ( φ ) , sin ( θ ) sin ( φ ) és cos ( θ ) . Ezután:
ρ^(θ,φ){\ displaystyle {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi)}
(∂OM→∂ρ)=ρ^(θ,φ), (∂OM→∂θ)=ρθ^(θ,φ) és (∂OM→∂φ)=ρbűn(θ)φ^(φ){\ displaystyle \ left ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges \ rho}} \ jobb) = {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi), \ \ bal ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges \ theta}} \ jobb) = \ rho \, {\ hat {\ theta}} (\ theta, \ varphi) \ {\ textrm {et}} \ \ balra ({\ frac {\ részleges \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ részleges \ varphi}} \ jobbra) = \ rho \ sin (\ theta) \, {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}hol van a derékszögű koordináták cos ( θ ) cos ( φ ) , cos ( θ ) sin ( φ ) és –sin ( θ ) , valamint –sin ( φ ) , cos ( φ ) és 0 koordinátáinak egységvektora . A vektorok , és egységesek és ortogonális párban (és, hozott ebben a sorrendben, így egy közvetlen triéder). Könnyen megállapíthatjuk, hogy:
θ^(θ,φ){\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta, \ varphi)}φ^(φ){\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}ρ^(θ,φ){\ displaystyle {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi)}θ^(θ,φ){\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta, \ varphi)}φ^(φ){\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}
d3V=ρ2bűn(θ)dρdθdφ{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = \ rho ^ {2} \ sin (\ theta) \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d } \ varphi}.
Hangerő egységek
A nemzetközi rendszerben a térfogat mértékegysége a köbméter (m 3 ) és származékai (dm 3 , cm 3 , mm 3 ). De más mennyiségi egységek továbbra is fennállnak, különösen az angolszász országokban (lásd : Egységek átalakítása ).
A folyékony anyag mennyiségének gyakran saját egységei vannak ( liter , pint , hordó ). A metrikus rendszer megvalósítása nagymértékben leegyszerűsítette a felhasznált térfogategységek számát, amelyeknek az Ancien Régime-ben több mint húsz volt (lásd az Ancien Régime mértékegységei ).
Azoknál a gázoknál, ahol meg akarjuk tudni az adott térfogatban lévő anyagmennyiséget (molekulák számát), függetlenül a nyomástól és a hőmérséklettől, két korrekciós definíció létezik:
- az úgynevezett normál köbméter kifejezve m 3 (n), amely megfelel egy gáz mennyisége hozott nyomáson 1013,25 hPa (nyomása normál atmoszférában vagy 1 atm ), és a hőmérséklet 0 ° C. ;
- az említett köbméter m 3 (s) -ben kifejezve, amely megfelel az 1 013,25 hPa (normál légköri nyomás vagy 1 atm ) nyomáson csökkentett gázmennyiségnek és 15 ° C hőmérsékletnek .
A fent leírt kötetek megfelelnek az úgynevezett korrigált köteteknek. Az a mennyiség, amely nem veszi figyelembe ezeket a korrekciókat, bruttónak mondható. Ezekkel a térfogatokkal találkozhatunk az áramlási sebességek és a gázok fűtőértékének kidolgozása során .
Az Európai Unióban a fogyasztási cikkekre vonatkozó mennyiségeket (és tömegeket) becsült mennyiségben adják meg . Ilyenekként kisbetűvel "e" jelölik .
A matematikában a térfogategység nem jelenik meg a képletekben. Ez burkoltan által adott térfogatú egység kocka . Ha, például, okokból skála, a egység kocka van egy éle 2 cm , térfogata X egység kocka megfelel 8 X cm 3 .
Néhány képlet
A következőkben megjegyezzük:
-
V egy ábra térfogata;
-
a szélén;
-
B és b a nagy alap és a kis alap területe;
-
H a magasság (vagy a két oldalt elválasztó távolság);
-
D vagy d az átmérő;
-
R vagy r a sugár;
-
L vagy l egy téglalap hossza és szélessége.
Ez az egyetlen öt szabályos domború poliéder. Megfelelő mennyiségüket a következő képletek adják meg:
Poliéder
|
Hangerő
|
Ábra
|
---|
Szabályos tetraéder
|
212.nál nél3{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {12}} \, a ^ {3}}
|
|
Kocka
|
nál nél3{\ displaystyle a ^ {3}}
|
|
Rendszeres oktaéder
|
23nál nél3{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3}} \, a ^ {3}}
|
|
Rendszeres dodekaéder
|
15+75.4nál nél3{\ displaystyle {\ frac {15 + 7 {\ sqrt {5}}} {4}} \, a ^ {3}}
|
|
Rendszeres
Icosahedron |
5.φ26.nál nél3{\ displaystyle {\ frac {5 \ varphi ^ {2}} {6}} \, a ^ {3}} hol van az aranyarányφ{\ displaystyle \ varphi}
|
|
Prizmák és hengerek
Az általános képlet mindig: V = B × H (térfogat = az alap területe × magasság), függetlenül attól, hogy a prizma vagy a henger egyenes-e vagy sem.
Különösen,
- A téglatest vagy a billentyűzet: ,V=L×ℓ×H{\ displaystyle V = L \ times \ ell \ times H}
- a körhenger : V = π R 2 × H .
Az általános képlet mindig: V =1/3B × H .
- A forradalom kúpja : V =π/3R 2 × H .
- A piramis csonkolt egy sík párhuzamos az alappal: .V=H3(B+b+Bb){\ displaystyle V = {\ frac {H} {3}} \ bal (B + b + {\ sqrt {Bb}} \ jobb)}
- A labda térfogata V =4/3π R 3 vagy V = πD 3/6..
- Gömb alakú sapka esetén, vagy ahol R a gömb sugara, r a kupak sugara és H a sapka magassága.V=π3H2(3R-H){\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} H ^ {2} (3R-H)}V=π2H(H23+r2){\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {2}} H \ balra ({\ frac {H ^ {2}} {3}} + r ^ {2} \ jobbra)}
- A kötet a kialakított henger egy labdát (betét gyűrű) nem függ a sugara, de a labda csak a magassága H a henger: .V=π6.H3{\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {6}} H ^ {3}}
- A gömb alakú szektor (az O csúcsú kúp és az O középpontú labda metszéspontja: ahol H a sapka magassága és R a gömb sugara.V=23πR2H{\ displaystyle V = {\ frac {2} {3}} \ pi R ^ {2} H}
A forradalom szilárdjai
A Guldin-tétel (vagy Pappus-szabály) lehetővé teszi az S felület S elemének egy, a síkjában elhelyezkedő és nem keresztező tengely körüli tengelye körüli forgása által generált fordulatszám szilárdságának kiszámítását , ami kevéssé ismert a súlypontja G a felületelem S .
V=2πRS{\ displaystyle V = 2 \ pi RS}ahol
R a távolság, amely elválasztja a
G pontot a forgástengelytől.
Ez a képlet lehetővé teszi a következő kötetek meghatározását:
- a tórus : ahol r a kör középpontja, amelynek G középpontja a tengely körül forog (Δ), és ahol R a távolság G- től (Δ) .V=2π2Rr2{\ displaystyle V = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}}
- a hordó: Kepler hozzávetőleges képletet ad a hordó térfogatára , amely akkor derül ki pontosan, ha a hordót gömb, piramis, egylapos hiperboloid , elliptikus paraboloid , forradalmi ellipszoid generálja . Ha B 1 és B 2 az alapok felülete és B 3 a szakasz felülete középmagasságban, akkor
V=h6.(B1+B2+4B3){\ displaystyle V = {\ frac {h} {6}} (B_ {1} + B_ {2} + 4B_ {3})}.
Egyéb
- A jobb kör alakú konoid (például a metszőfog): ahol R az alapkör sugara és H a konoid magassága.V=12πR2H{\ displaystyle V = {\ frac {1} {2}} \ pi R ^ {2} H}
- A rúd ( hexaéder , amelyet két párhuzamos téglalap alap és 4 trapéz alakú oldal képez). Megtaláljuk Kepler képletét: ahol B 1 és B 2 a két téglalap alakú terület területe, B 3 pedig a szakasz közepes magasságú területe. Ezt a képletet széles körben alkalmazzák az építőmérnöki munkákban a földmunka mennyiségi számításaiban, és különösen a földmozgásokra a közmunkák területén .V=h6.(B1+B2+4B3){\ displaystyle V = {\ frac {h} {6}} (B_ {1} + B_ {2} + 4B_ {3})}
Térfogat és integrálszámítás
Ha egy korlátos része , a térfogata a henger , amelynek az alkotója a határ , által határolt sík z = 0 , és a felülete egyenlet Z = „f ( x , y ) - a f pozitív és folyamatos on - jelentése:D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
V=∬Df(x,y)dxdy{\ displaystyle V = \ iint _ {\ mathcal {D}} f (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}.
Abban az esetben, ha a tartományt egyszerű feltételek határozzák meg: x 1 < x < x 2 , y 1 ( x ) < y ( x ) < y 2 ( x ) , ez a számítás a következőképpen alakul:
D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
V=∫x1x2∫y1(x)y2(x)f(x,y)dydx{\ displaystyle V = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \! \ int _ {y_ {1} (x)} ^ {y_ {2} (x)} f (x, y ) \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x}.
Ha van egy korlátozott része és ha az 1 konstans függvény integrálható , akkor a térfogata ekkor:
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
V=∭NÁL NÉLdxdydz{\ displaystyle V = \ iiint _ {\ mathcal {A}} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z}Abban az esetben, ha a domént egyszerű feltételek határozzák meg, x 1 ( z , y ) < x ( z , y ) < x 2 ( z , y ) , y 1 ( z ) < y ( z ) < y 2 ( z ) és z 1 < z < z 2 , ez a számítás a következőképpen alakul:
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
V=∫z1z2∫y1(z)y2(z)∫x1(z,y)x2(z,y)dxdydz{\ displaystyle V = \ int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} \! \ int _ {y_ {1} (z)} ^ {y_ {2} (z)} \! \ int _ {x_ {1} (z, y)} ^ {x_ {2} (z, y)} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z}.
Az integráció linearitása révén a nehezen meghatározható tartomány több aldomainre osztható fel, amelyek egyszerű körülmények között kifejezhetők.
Ha a tartományt hengeres koordinátákban fejezik ki a legjobban , egyszerű feltételek mellett , akkor a számítást a következőkkel fejezhetjük ki:
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}NÁL NÉL′{\ displaystyle {\ mathcal {A}} '}
V=∭NÁL NÉL′rdrdθdz{\ displaystyle V = \ iiint _ {{\ mathcal {A}} '} r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, dz}hol van korlátozott része
NÁL NÉL′{\ displaystyle {\ mathcal {A}} '}R+×[0,2π]×R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ szor [0,2 \ pi] \ szor \ mathbb {R}}
Ha a domain legjobban kifejezni gömbi koordináták egyszerű körülmények között , a számítás fejezhető ki:
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}NÁL NÉL″{\ displaystyle {\ mathcal {A}} ''}
V=∭NÁL NÉL″r2bűn(ϕ)drdθdϕ{\ displaystyle V = \ iiint _ {{\ mathcal {A}} ''} r ^ {2} \ sin (\ phi) \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi}hol van korlátozott része .
NÁL NÉL″{\ displaystyle {\ mathcal {A}} ''}R+×[0,2π]×[0,π]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ szor [0,2 \ pi] \ szor [0, \ pi]}Abban az esetben, ha a tartomány szilárd fordulatszám, amelynek határát az y = 'f ( x ) egyenlet görbéjének a tengely ( Ox ) körüli elfordulása generálja , a térfogat kiszámítása egyszerű integrálra redukálódik:NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
V=π∫x1x2f2(x)dx{\ displaystyle V = \ pi \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f ^ {2} (x) \, \ mathrm {d} x}.
Végül a fluxus-divergencia tétel lehetővé teszi a térfogat kiszámítását egy felületintegrálra :
V=∭NÁL NÉLdV=13∬∂NÁL NÉL(x,y,z)nem→dS{\ displaystyle V = \ iiint _ {A} \ mathrm {d} V = {\ frac {1} {3}} \ iint _ {\ részleges {\ mathcal {A}}} (x, y, z) { \ vec {n}} \, \ mathrm {d} S}ahol a határán , és a készülék vektor normális, hogy d S irányított kifelé .
∂NÁL NÉL{\ displaystyle \ részleges {\ mathcal {A}}}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}nem→{\ displaystyle {\ vec {n}}}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">