Lagrange-féle differenciálegyenlet

A matematikában a Lagrange-féle differenciálegyenlet egy differenciálegyenlet, amelyet a következő formában lehet felvenni

{\ displaystyle y = a (y ') t + b (y') \,}

két folyamatosan differenciálható a és b függvényhez . Joseph-Louis Lagrange matematikusról kapta a nevét .

Az affin megoldások függvényei az egyes megoldások nevét viselik . Ezek az űrlap , a . ${\ displaystyle t \ longmapsto mt + b (m)}$ ${\ displaystyle a (m) = m \,}$

A rendszeres megoldások azok, amelyek igazolják és nem nulla. Engedje be t . Levezetjük az egyenlet két tagját, és elvégezzük a változó változását a megszerzéséhez ${\ displaystyle y \ C ^ {2}}$ ${\ displaystyle y '' \,}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle p = y '\,}$

{\ displaystyle p = a '(p) {\ frac {dp} {dt}} t + a (p) + b' (p) {\ frac {dp} {dt}} \,}

A kapott egyenlet ezután formába tehető

{\ displaystyle (pa (p)) {\ frac {dt} {dp}} = a '(p) t + b' (p)}

amely az első rendű lineáris differenciálegyenlet . Kifejezetten megoldott, amely megadja a p kifejezést, és a kezdeti egyenletnek köszönhetően ismerjük y (p) -t.

Ez nem minden megoldás. Hibrid megoldásokat az előzőek összekapcsolásával lehet beszerezni. Az implicit függvénytétel azt mutatja, hogy kivételes pontok szomszédságában kivéve lokálisan kifejezhetjük függvényében , folyamatosan differenciálhatók. Ezért nincs más megoldás, csak a csatlakozással kapott megoldások. ${\ displaystyle y '\,}$ ${\ displaystyle x, y \,}$

Kapcsolódó cikkek

Clairaut differenciálegyenlete , a Lagrange-féle speciális eset