Hopf elágazás
A bifurkációs elméletben egy Henf Poincaré , Eberhard Hopf és Aleksandr Andronov nevét viselő Hopf vagy Poincaré - Andronov - Hopf bifurkáció egy helyi bifurkáció, amelyben a dinamikus rendszer rögzített pontja elveszíti stabilitását, miközben " konjugált komplex sajátérték pár a rögzített pont körüli linearizáció keresztezi a komplex sík képzeletbeli tengelyét .
A Hopf-elágazások és alkalmazásuk általánosabb áttekintését, különösen a fizikában és az elektronikában, lásd.
Meghatározás
Szuperkritikus / szubkritikus Hopf bifurkáció
Az orbitális (oszcilláló) ciklus akkor stabil, ha az első Ljapunov-kitevőnek nevezett fajlagos mennyiség negatív (vagyis a határciklus egy pontjára adott esetleges kis eltérés az első sorrendig exponenciálisan csökken), és a Hopf-bifurkáció állítólag szuper- kritikai. Ellenkező esetben (az első nulla vagy pozitív Ljapunov-kitevő) a határciklus instabil, és a bifurkáció kritikának nem mondható.
A Hopf-bifurkáció kanonikus formája:
dzdt=z((λ+én)+b|z|2),{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}![{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490f5fe687fc70081262a56ef049a4f258f4d48d)
Ahol z , b egyaránt komplex és λ paraméter. Pózoljunk
b=α+énβ.{\ displaystyle b = \ alfa + i \ béta. \,}![{\ displaystyle b = \ alfa + i \ béta. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e276bac18117a534a24a32d7033c40c124b7e44)
Az α számot első Ljapunov-kitevőnek nevezzük.
- Ha α negatív, akkor stabil határciklus létezik λ > 0 esetén:
z(t)=reénωt{\ displaystyle z (t) = re ^ {i \ omega t} \,}![{\ displaystyle z (t) = re ^ {i \ omega t} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9ed6f73a1d95bc12a6f1da90426774bc9cb0c8)
vagy
r=-λ/α és ω=1+βr2.{\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {és}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}![{\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {és}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf66b9565e6375a61f6c4f0d947d5b27f0f35e6)
A kettéágazást ekkor szuperkritikusnak mondják .
- Ha az α pozitív, akkor a határciklus instabil a λ <0 esetén. A bifurkációt kritikának nem mondják .
Megjegyzések
A "legkisebb Hopf kettéágazást mutató kémiai reakciót" 1995-ben figyelték meg Berlinben, Németországban. Ugyanezt a biokémiai rendszert alkalmazták annak tanulmányozására, hogy egy Hopf-bifurkáció hogyan tud elmondani nekünk egy rendszer mögöttes dinamikáról.
Hivatkozások
-
(in) Steven H. Strogatz , nemlineáris dinamika és Chaos , Addison Wesley Publishing Company,1994
-
(a) Jurij A. Kuznyecov , Elements of Applied bifurkációelmélet , New York, Springer-Verlag,2004, 634 p. ( ISBN 0-387-21906-4 , online előadás )
-
(in) J. Hale és H. Koçak , Dynamics and bifurcations , vol. 3, New York, Springer-Verlag, koll. "Szövegek az alkalmazott matematikában",1991
-
-
(in) E. Hairer , SP Norsett és G. Wanner , I közönséges differenciálegyenletek megoldása: nonstiff problémák , New York, Springer-Verlag,1993, Második kiadás
-
T. Wilhelm és R. Heinrich , „A legkisebb kémiai reakciórendszer Hopf bifurkációval ”, Journal of Mathematical Chemistry , vol. 17, n o 1,1995, P. 1–14 ( DOI 10.1007 / BF01165134 , online olvasás )
-
PDW Kirk , T. Toni és MP Stumpf , „ Paraméter-következtetés azoknak a biokémiai rendszereknek, amelyek Hopf kettéágazáson mennek keresztül ”, Biophysical Journal , vol. 95, n o 22008, P. 540–549 ( PMID 18456830 , PMCID 2440454 , DOI 10.1529 / biophysj.107.126086 , online olvasás )
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">