A kategória származó egy kategóriában egy építési eredetileg bevezetett Jean-Louis Verdier az ő értekezését felvesszük SGA 4 és fél , amely lehetővé teszi különösen a pontosabb és egyszerűbb az elmélet származtatott funktorok .
Számos fontos fejleményhez vezetett, valamint például a D-modulok elméletének és a huszonegyedik Hilbert-problémát általánosító Riemann-Hilbert-levelezés (en) bizonyítékainak elegáns megfogalmazásához . Különösen a származtatott kategóriák nyelve lehetővé teszi a spektrális szekvenciákban kifejezett problémák egyszerűsítését .
Ez a konstrukció frissíti a Verdier-kettősséget (in) , a Poincaré és Alexander általánosítását is .
Let A lennie egy Abel-kategóriában . Megjegyzés kategória ( adalék ) komplex láncokat A . Jelöljük azt az (additív) kategóriát, amelynek tárgyai a tárgyak , a morfizmusok pedig az ekvivalensek homotópián alapuló morfizmusainak osztályai . különösen háromszögelős kategória .
Ha objektumokkal jelöljük (ezek lánc komplexek), akkor a morfizmust kvázi-izomorfizmusnak nevezzük, ha izomorfizmust vált ki a kohomológiában . Megjegyzés Q Collection kvázi-izomorfizmusokat, majd a származtatott kategóriában az A az a helyét az a Q .
Azáltal, hogy alsóbbrendű, felsőbbrendűen korlátozott vagy korlátozott komplexekre korlátozódunk, konstruálunk , ill
Lehetőség van pontos kategóriából származtatott kategória meghatározására is .
A származtatott kategória olyan objektum, amelynek morfizmusai általában nem könnyen kezelhetők, ellentétben a kategóriával . Van egy kanonikus functor
.Ha egy funktorhoz azt mondjuk, hogy a származtatott funktorhoz jobb fennáll, ha funktorhoz az ábrázolható . Így
reprezentatív és egybeesik a szokásos definícióval. A bal derivált funktort kettős módon definiálják.
Funktorhoz egy egyenértékűségét kategória , ha korlátozzák azt az alkategóriát . Feltételezve, hogy A- nak elegendő injektívje van, használhatunk injektív felbontást (vagy kettős módon, ha elegendő projektív objektum van, vegyünk figyelembe egy projektív felbontást), és definiálhatunk belőle egy derivált funktort jobbra (illetve balra). a bal oldali (vagy a jobb oldalon lévő) bármilyen pontos funkcióhoz . Ezután meghatározzuk a functorokat és