Váltás (csoportelmélet)

A csoportelméletben (matematika) a G csoport elemeinek párjának ( x , y ) kommutátorát a legtöbb szerző a

{\ displaystyle \ [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy.}

Egyes szerzők meghatározzák

{\ displaystyle \ [x, y] = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}.}

Bármelyik definíciót is elfogadjuk, egyértelmű, hogy x és y akkor és csak akkor ingázik, ha [ x , y ] = 1.

Ha A és B a G két alcsoportja, akkor [A, B] -vel jelöljük az [a, b] kapcsolók által generált G-alcsoportot, egy átmenő A-t és b-t, amelyek áthaladnak a B-n. Mivel az A az A elemei és hogy a B elemeinek inverzei pontosan B elemei, [A, B] nem függ a kommutátorok számára kiválasztott definíciótól.

Bármi legyen is a kapcsolókra választott definíció, a [b, a] az [a, b] inverze, tehát ha A és B a G két alcsoportja, [A, B] = [B, A].

Az alcsoport [G, G] G , más szóval az alcsoportjában, G által generált kapcsolók elemeinek G, a származtatott csoport a G.

Néhány tény

A következőkben elfogadjuk a definíciót

{\ displaystyle \ [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy}

és a G csoport összes x , y elemére jelölni fogjuk

{\ displaystyle \ x ^ {y} = y ^ {- 1} xy.}

Így van ez az x konjugátuma is, és mindig megvan ${\ displaystyle \ x ^ {y}}$

{\ displaystyle \ (xy) ^ {z} = x ^ {z} y ^ {z}}

és Nem

{\ displaystyle \ x ^ {yz} = (x ^ {y}) ^ {z}.}

{\ displaystyle \ x ^ {yz} = (x ^ {z}) ^ {y}.}

Ha A és B a G két alcsoportja, akkor [A, B] = 1 akkor és csak akkor, ha A bármelyik eleme ingázik B bármely elemével.
Ha f homomorfizmus egy G csoportból egy csoportba, ${\ displaystyle f ([x, y]) = [f (x), f (y)]}$ és ${\ displaystyle f ([A, B]) = [f (A), f (B)]}$ az x , y összes elemre és a G. összes A, B alcsoportjára.
Ezt alkalmazva a G belső automorfizmusára , megkapjuk ${\ displaystyle t \ mapsto t ^ {z}}$ ${\ displaystyle \ [x, y] ^ {z} = [x ^ {z}, y ^ {z}]}$ és ${\ displaystyle \ [A, B] ^ {z} = [A ^ {z}, B ^ {z}]}$ minden x , y és z elemre , valamint G. összes A, B alcsoportjára. Ebből következik, hogy ha A és B a G két megkülönböztetett alcsoportja , akkor [A, B] maga is a G megkülönböztetett alcsoportja.
Ugyanez az érv, amelyet a G bármely (nem feltétlenül belső) automorfizmusára alkalmaznak , azt mutatja, hogy ha A és B a G jellegzetes alcsoportja , akkor [A, B] is a G. jellemző alcsoportja.
Legyen A és B a G két alcsoportja. Ahhoz, hogy [A, B] B-ben szerepeljen, szükséges és elegendő, hogy A normalizálja B-t (azaz a B normalizálójában legyen).
Tehát, ha A és B normalizálják egymást (és különösen, ha mindkettő megkülönböztethető G-ben), [A, B] benne van . $A \ sapka B$
Különösen, ha A és B a G két alcsoportja, amelyek normalizálják egymást, és amelyek metszéspontja semleges elemre redukálódik, akkor az A bármely eleme ingázik a B bármely elemével.
Számítással ellenőrizzük ezt $\ [xy, z] = [x, z] ^ {y} [y, z]$ és (számítással vagy az előző képlet inverzére lépve, megjegyezve, hogy az [a, b] inverze [b, a]] ${\ displaystyle \ [z, xy] = [z, y] [z, x] ^ {y}}$
Az előző tulajdonság ad ${\ displaystyle \ [x, z] ^ {y} = [xy, z] [y, z] ^ {- 1},}$ ami lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy ha A és B a G két alcsoportja, akkor A és B egyaránt normalizálja [A, B], ami azt jelenti, hogy [A, B] az alcsoport normális alcsoportja. , B> az A és B által generált G-ből.
A H , K és L alcsoportok normálisak- e a G csoportban ? A tulajdonságból és abból a tényből, hogy [H, L] normális G-ben, levezetjük $\ [xy, z] = [x, z] ^ {y} [y, z]$ [HK, L] = [H, L] [K, L], amit még lehet írni [L, HK] = [L, H] [L, K].
Hall - Witt személyazonosság : ${\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ \ [\ [y, z ^ {- 1}], x] ^ {z} \ \ [[z , x ^ {- 1}], y] ^ {x} = 1.}$ Ezt mechanikus számítás igazolja. Rövidíthetjük a számításokat azzal, hogy megjegyezzük, hogy az identitás első tényezője megírható

{\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ = T (x, z, y) ^ {- 1} T (y, x, z),}

hova tesszük:

{\ displaystyle \ T (a, b, c) = aba ^ {- 1} kb.}

A Hall-Witt azonosság másik két tényezőjének hasonló kifejezéseit kapjuk belőle a változók körkörös permutációjával, és amikor a három eredménytagot taggal szorozzuk, akkor mindegyik T () tényezőt elpusztítja a T () -1 faktor ami következik.

Hall-Witt identitásának egy másik formája. A fenti Hall-Witt identitásban az első tényező leírható: ${\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ = [\ [y, x], z ^ {y}],}$ és a változók körkörös permutációjával analóg kifejezéseket kapunk a másik két tényezőre. A Hall-Witt azonosság helyettesítésével, majd az inverzek felé haladva, figyelembe véve, hogy az [a, b] inverze [b, a], végül x és y cseréjével megtaláljuk ezt az egyenértékű képletet Hall -Wit személye: ${\ displaystyle \ [x ^ {y}, [y, z] \] \ [y ^ {z}, [z, x] \] \ [z ^ {x}, [x, y] \] = 1 .}$
Ha H, K és L a G alcsoportjai, akkor a G [[H, K], L] alcsoportját nem feltétlenül generálják a [[h, k], l] kapcsolók, ha h értéke H, k értéke K és l. L.-ben
Másrészt, ha ezek a kapcsolók [[h, k], l] mindegyikének értéke 1, akkor [[H, K], L] = 1. (Valójában mindegyik kapcsoló [h, k] h-val H és k a K-ban ekkor az L központosítójához tartozik, tehát az ezen kapcsolók által létrehozott G [H, K] alcsoportja L. központosítójában található.)
A három alcsoport lemma (adott forma)
Ha H, K és L a G alcsoportjai, ha [[H, K], L] = 1 és [[K, L], H] = 1, akkor [[CN, H], K] = 1.
Ez a Hall-Witt-identitásból és az előző megjegyzésből következik.
A három alcsoport lemma (általános forma)
Ha H, K és L a G alcsoportjai, ha N a G megkülönböztetett alcsoportja, akkor ha és akkor . ${\ displaystyle [[H, K], L] \ leq N}$ ${\ displaystyle [[K, L], H] \ leq N}$ ${\ displaystyle [[L, H], K] \ leq N}$

Ezt az általános formát arra a következtetésre vezetjük le, hogy (a jelen általános forma hipotéziseiben) átadjuk a képeknek a G kanonikus homomorfizmusával a G / N-n, és emlékezünk arra, hogy amint fentebb megjegyeztük, f ([A, B]) = [f (A), f (B)] a G összes A, B alcsoportjára és a G- től kezdődő esetleges f homomorfizmusra .

A három alcsoport lemma következménye.
Ha H, K és L a G megkülönböztetett alcsoportjai , akkor ${\ displaystyle \ [\ [L, H], K] \ leq [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H].}$ Valójában ez a G megkülönböztetett alcsoportja, és az állítás könnyen megszerezhető azáltal, hogy a három alcsoport lemmájának általános formájában pózol . ${\ displaystyle \ [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H]}$ ${\ displaystyle \ N = [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H]}$
A három alcsoport lemmájának ez a következménye lehetővé teszi számunkra, hogy bemutassuk egy csoport központi leszálló szekvenciájának bizonyos tulajdonságait .

Példa

A Rubik-kocka csoportjában egy kapcsoló például két kockát cserél. Ha most két kockát akarunk cserélni egy másik helyen, akkor egy ilyen kapcsoló konjugátumát vesszük . Például a FRUR'U'F '= [R, U] F algoritmust ismerő kubikusok .

Bibliográfia

J. Petresco, On switches , Dubreil Seminar, Algebra and number theory, t. 7 (1953-1954), pp. 1-11. Elérhető a Numdam oldalon .
Nicolas Bourbaki , Matematika elemei , Algebra , Párizs,1970, fej. 1. o. 65-68
(en) I. Martin Isaacs , véges csoportelmélet , AMS ,2008, P. 113-128.
(en) Joseph J. Rotman (en) , Bevezetés a csoportok elméletébe [ a kiadás részlete ], 4 th ed.
en) Hans Kurzweil (de) és Bernd Stellmacher , A véges csoportok elmélete, Bevezetés ,2004( online olvasás )

Megjegyzések és hivatkozások

Például Kurzweil és Stellmacher , p. 24. Ugyanez a helyzet Bourbaki 1970. §, 6. o., 2. szám, p. I.65, vastag zárójelekkel szögletes zárójelek helyett.
Például Rotman , p. 33.
Ez a tétel és annak bizonyítása Walther von Dyck ( (de) W. Dyck , „ Gruppentheoretische Studien II. ” , Math. Ann. ,1883, P. 97, elérhető a göttingeni egyetem honlapján . Hivatkozás: (en) W. Burnside , A véges rend csoportjainak elmélete , Dover, 1911 ( repr. 2004), p. 44.).
Lásd például: Bourbaki 1970 , 6. bek., 2. sz., 5. tétel, (i), o. I.66; Kurzweil és Stellmacher , p. 26; Isaacs 2008 , p. 114.
John S. Rose, A csoportelmélet tanfolyama , 1978, repr. Dover, 1994, gyakorlat. 169. o. 61.
Ezen a néven demonstrálva Isaacs 2008 , p. 125, ahol javítani kell a képlet nyomtatási hibáját. IM Isaacs megjegyzi Jacobi identitásának hasonlóságát. Rotman , p. 118 "Jacobi-identitásnak" nevezi, amit IM Isaacs "Hall-Witt-identitásnak" nevez. Witt és Hall publikációi, amelyekből ez az identitás a nevét veszi, P. Hall, „Hozzájárulás a főhatalmi csoportok elméletéhez”, Proc. London Math. Soc. (2) köt. 36, 1934, pp. 29–95., Valamint E. Witt, „ Treue Darstellung Liescher Ringe ”, J. Reine Angew. Math. , repülés. 177 (1938), pp. 152-160. (Hivatkozások: Kurzweil és Stellmacher , 26. o. , 18. o. )
N. Bourbaki, Algebra I, 1-3. Fejezet , Párizs, 1970, p. Az I.66., Ezzel demonstrálva a Hall-Witt identitással egyenértékű identitást.
Ebben a formában adják meg Hall-Witt személyazonosságát N. Bourbaki, I. Algebra, 1-3. Fejezet , Párizs, 1970, p. I.66.
Lásd például Isaacs 2008 , p. 122-123.
Lásd például Isaacs 2008 , p. 126.
LA Kaluznin fedezte fel: „Über gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppe und ihren Automorphismen”, Bericht über die Mathematiker-Tagung, Berlin, 1953. január , Berlin, p. 164-172. (Hivatkozás: JC Lennox és DJS Robinson, The Theory of Infinite Soluble Groups , Oxford University Press, 2004, újranyomás 2010, 5. és 308. o.)
Lásd: Bourbaki, 1970, 6. bek., 2. sz., 5. javaslat, iii. I.66.

Lásd is