Normalizáló
A matematika , egy csoport a G , a normalizáló egy része X jelentése a beállított, jelöljük N G ( X ), az elemek g a G , amely normalizálja X , azaz, amelyek igazolják, GXG -1 = X :
Ha Y olyan része G-nek, amely bármely X elemet normalizálja , akkor azt mondjuk, hogy Y normalizálja X-et .
Tulajdonságok
Legyen G csoport, X és Y két részből G , H és K két alcsoportra a G .
- N G ( X ) a G egyik alcsoportja .
- N G ( H ) a legnagyobb alcsoportja G , ahol H jelentése normál , különösen N G ( H ) = G , ha, és csak akkor, ha H normális G .
- A központosító C G ( X ) a X be G normális részcsoportja N G ( X ).
- Bármely elem x a G , N G ({ x }) = C G ({ x }) = C G ( x ).
- Jelöljük < X > -vel az X rész által generált G alcsoportját . Ezután N G (< X >) az elemekre g a G olyan, hogy GXG -1 és g -1 Xg tartalmazza < X >. Vegye figyelembe, hogy N G ( X ) beépítése N G-be (〈X〉) szigorú lehet: például ha G az S 3 szimmetrikus csoport , ha X az szingulett {(1 2 3)}, akkor 〈X > = a 3 normális G = S 3 , így a normalizáló az < X > annak egész szám G , míg a normalizáló az X jelentése a központosító a kör alakú permutációs (1 2 3), csökken az alcsoport < X > = a 3 .
- A száma konjugátumok a X a G egyenlő a indexe a N G ( x ) a G . Különösen, mivel G összes p -Silowja konjugált , a G- p -Sylow-k száma megegyezik bármelyikük normalizálójának indexével.
- Y csak akkor normalizálja az X-et, ha Y benne van N G ( X ) -ben .
- Ha K normalizálja H-t, akkor a H ⋃ K által generált alcsoport a HK = KH halmaz . (Ez a normál alcsoportok tulajdonságából következik , tekintve, hogy H és K az N G ( H ) két alcsoportja , amelyek közül az egyik normális.)
Példák
- Az ortogonális csoport lineáris csoportjában a normalizáló a hasonlóságok csoportja .
Megjegyzések és hivatkozások
- Fogalommeghatározások N. Bourbaki , I. Algebra, 1-3. Fejezetek , Párizs,1970, P. I.53-I.54.