Frobenius bomlás

Úgy véljük, egy K - vektortér E véges dimenzióban és endomorphism u ezt a helyet. A Frobenius bomlás egy bomlását E be egy direkt összege úgynevezett gyűrűs altér, oly módon, hogy a megfelelő minimális (vagy jellemző ) polinomok a korlátozások a u a tényezők a invariáns tényezők a u . A Frobenius bomlás lehet végezni minden területén : nem hiszem, hogy itt a K van algebrailag zárt .

Vezető polinom

Legyen x E , a halmaz vektora

énx={P∈K[x]∣P(u)(x)=0}{\ displaystyle I_ {x} = \ {P \ K [X] \ közepén P (u) (x) = 0 \}}

van egy ideális a K [ X ] nem csökkent a 0 (a Cayley-Hamilton-tétel , a karakterisztikus polinomja egy nem nulla polinom tartozó ez az ideális); ezért azt által generált egyedi egységes polinom nevezett vezető polinom az u meg x , vagy néha egy helyi minimális polinom u at x . πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

Ciklikus altér

Legyen x E , a halmaz vektora

Sx={P(u)(x)∣P∈K[x]}{\ displaystyle S_ {x} = \ {P (u) (x) \ P közepe \ -ban K [X] \}}

egy vektor altér az E stabil által u nevezett u -gyűrűs altér által generált x , vagy u -stable bezárása az x .

Vagy , akkor és csak akkor van . Így a vezetőképes polinom a minimális polinom a endomorphism által indukált u a altér S x . P∈K[x]{\ displaystyle P \ K [X] -ben}P∈énx{\ displaystyle P \ I I-ben {x}}∀y∈Sx, P(u)(y)=0{\ displaystyle \ forall y \ in S_ {x}, \ P (u) (y) = 0}πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

S x dimenziója megegyezik a polinom mértékével . πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

U -maximum vektorok

A bármilyen vektor x a E , a vezetőképes polinom osztja a minimális polinomiális az u . Azt mondjuk, hogy x akkor u -maximum, amikor . A Frobenius-bontás a következő két eredményen alapul ( a Wikegyetemen bemutatva ): πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}πu{\ displaystyle \ pi _ {u}} πu,x=πu{\ displaystyle \ pi _ {u, x} = \ pi _ {u}}

• bármely u endomorfizmus elfogadja az u -maximum vektort ;
• bármely u -maximum x vektor esetén S x további stabilt enged meg u-val .

Indukció útján jutunk el a Frobenius-bontáshoz .

Frobenius bomlás

Létezik az E vektorok olyan szekvenciája , hogy x1,x2,...,xo{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ pontok, x_ {p}}

• E=Sx1⊕Sx2⊕⋯⊕Sxo{\ displaystyle E = S_ {x_ {1}} \ oplus S_ {x_ {2}} \ oplus \ dots \ oplus S_ {x_ {p}}}
• πu,xo∣⋯∣πu,x2∣πu,x1{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {p}} \ közepes \ pontok \ közep \ pi _ {u, x_ {2}} \ közep \ pi _ {u, x_ {1}}}

A polinomok nem függenek a vektorok megválasztásától , ezek az u invariáns tényezői . A minimális polinom van , és a karakterisztikus polinom van . πu,xén{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {i}}}xén{\ displaystyle x_ {i}}πu=πu,x1{\ displaystyle \ pi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}}}χu=πu,x1πu,x2...πu,xo{\ displaystyle \ chi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}} \ pi _ {u, x_ {2}} \ dots \ pi _ {u, x_ {p}}}

Két endomorfizmus csak akkor hasonló, ha ugyanazok az invariáns tényezők vannak.

Alternatív megoldásként a Frobenius-féle bontási tétel az invariáns faktor-tétel közvetlen következménye lehet, ha megadjuk a -vektor-tér és a - által meghatározott külső szorzattal felruházott - modulus közötti megfelelést . Az invariáns faktor-tételt azonban sokkal nehezebb általánosságban bemutatni, mint az itt leírt bizonyítást, amely lineáris algebrai technikákat alkalmaz. K{\ displaystyle \ mathbb {K}}E{\ displaystyle E}K[x]{\ displaystyle \ mathbb {K} [X]} (E,u){\ displaystyle (E, u)}P⋅ux=P(u)(x){\ displaystyle P \ cdot _ {u} x = P (u) (x)}

Az u által kiváltott endomorfizmusok ciklikus endomorfizmusok, amelyeknek csak a specifikus tulajdonságok tanulmányozása marad.

Ciklikus endomorfizmus

Azt mondják, hogy u jelentése egy gyűrűs endomorphism ha van egy elem X az E olyan, hogy az S x = E .

Mi lehet jellemezni ciklusos endomorfizmusok többféleképpen egy endomorphism u az E ciklikus akkor és csak akkor, ha:

• u minimális polinomjának mértéke egyenlő E dimenziójával  ;
• a minimális polinom és az u jellegzetes polinomja megegyezik (kivéve a jelet);
• egy endomorfizmus csak akkor ingázik u-val (ha és), ha az u-n polinom  ;
• létezik alapján E amelyben a mátrix az u egy társ mátrix . Ekkor az u minimális polinomjának társmátrixa .

Alkalmazások

• A Frobenius-bontás lehetővé teszi számunkra az endomorfizmus kommutánsának és bicommutánsának tanulmányozását .
• A négyzetmátrix hasonlósági invariantusainak teljes rendszerét biztosítja , amely elegánsan bizonyítja, hogy:
  • bármely négyzetmátrix hasonló az átültetéséhez (manuálisan bizonyítjuk társmátrixnak, és ez elég);
  • Ha két négyzetmátrix, amelynek bejegyzései a K testben vannak, hasonlóak egy invertálható mátrixon keresztül, amelynek együtthatói a K kiterjesztésében vannak , akkor a K együtthatóval rendelkező invertálható mátrixon keresztül is .

Referencia

J. Fresnel, Algebra of mátrixok , Hermann, 1997, A 4.1 bekezdés, p. 139-141

Lásd is