Vandermonde mátrix

A lineáris algebrában a Vandermonde mátrix olyan mátrix , amelynek geometriai progressziója van minden sorban. Nevét Alexandre-Théophile Vandermonde francia matematikustól kapta .

Matrix, így néz ki:

V = {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & {\ alpha _ {1}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {1}} ^ {{n-1}} \ \ 1 & \ alpha _ {2} és {\ alpha _ {2}} ^ {2} és \ pontok és {\ alpha _ {2}} ^ {{n-1}} \\ 1 & \ alpha _ { 3} és {\ alpha _ {3}} ^ {2} & \ pontok és {\ alpha _ {3}} ^ {{n-1}} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {m} és {\ alpha _ {m}} ^ {2} & \ pontok és {\ alpha _ {m}} ^ {{n-1}} \\\ end {pmatrix}}

Más szavakkal, minden i és j esetén $V _ {{i, j}} = {\ alpha _ {i}} ^ {{j-1}}.$

Jegyzet. Egyes szerzők a fenti mátrix átültetését használják .

Megfordíthatóság

Úgy véljük, egy négyzet Vandermonde mátrix V ( ). Akkor és csak akkor megfordítható, ha a kettő kettő különbözik egymástól. $m = n$ $\ alpha_i$

Demonstráció

Ha két együttható megegyezik, akkor a mátrixnak két egyenes vonala van, tehát nem invertálható. $\ alpha_i$

Ezzel szemben folytathatjuk a determináns kiszámítását, amelyet a következő bekezdésben fogunk elvégezni.

A gyorsabb bizonyítéka reverzibilitás azonban vizsgálni V , mint a mátrix a homogén lineáris rendszer VX = 0 X komponensek x 0 , ..., x n-1 :

{\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {0} + \ alpha _ {1} x_ {1} + \ alpha _ {1} ^ {2} x_ {2} + & \ pontok + \ alpha _ {1} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \\ & \ vdots \\ x_ {0} + \ alpha _ {n} x_ {1} + \ alpha _ {n} ^ {2} x_ {2 } + & \ pontok + \ alpha _ {n} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \ vége {esetek}}}

A polinom bevezetésével

P (Y) = \ összeg _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} x_ {i} Y ^ {i}

azt látjuk, hogy ha X kielégíti a VX = 0 egyenletet , akkor P n különálló gyököt enged be , vagyis többet mond a fokánál; ezért P nulla, és így X = 0, ami azt bizonyítja, hogy V invertálható.

Meghatározó

A Vandermonde mátrix meghatározója ( ebben az esetben) a következőképpen fejezhető ki: $n \ -szer n$ $m = n$

\ det (V) = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})

Demonstráció

A mátrix meghatározója egy polinom . Sőt, ez a meghatározó tényező eltűnik, ha a számok közül kettő egyenlő (mivel ekkor két egyenes vonal van). Ezért ez a meghatározó egyenlő $D (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})$ $\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}$ $\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}$

{\ displaystyle P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ cdot Q (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}

vagy

P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i} )

és ahol maga egy polinom. $Q$

A polinom azonban homogén , 0 + 1 +… + ( n -1) = n ( n -1) / 2 fokú . Mivel a polinom ezzel megegyezik , valójában állandó. Végül ez az állandó ér 1 óta a kiterjedései és az együttható az egytagú ugyanolyan értéke nem nulla (egyenlő 1). $D$ $P$ $Q$ $D$ $P$ $\ alpha _ {n} ^ {{n-1}} \ alpha _ {{n-1}} ^ {{n-2}} \ ldots \ alpha _ {2} ^ {1}$

Alkalmazások

A polinomiális interpoláció során a Vandermonde mátrixot és annak meghatározójának számítását használjuk .

Egy speciális esete vandermonde-determináns megjelenik a képlet a diszkrét Fourier-transzformáció , ahol a koefficiensek $(α i )$ a komplex gyökerei az egység .

Megjegyzések

Ezt a tényezőt alkalmazzák például a 2006-os külső összesítés matematikai tesztjén , I.10. Rész.
Kevésbé koncepcionális bizonyítékért lásd például ezt a javított gyakorlatot a Wikiverzióról .

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Lagrangi interpoláció

Bibliográfia

Jacqueline Lelong-Ferrand és Jean-Marie Arnaudiès , Matematika tanfolyam , 1. kötet: algebra, mp - speciális m ', m, Dunod, Párizs, 1971; 316. és 319. oldal.
Daniel Guinin, François Aubonnet és Bernard Joppin, rövid kivonat a matematika , Tome 2. Algebre 2, 3 rd edition, Breal, 1994; 19. és 20. oldal.

Külső hivatkozás

Didier Piau, A (Vander) világ bejárása 70 perc alatt