Marginális valószínűségi törvény
A valószínűségelméletben és a statisztikákban a véletlenszerű vektor , vagyis egy több dimenzióval rendelkező véletlen változó határtörvénye az egyik komponensének valószínűségi törvénye. Más szavakkal, a peremtörvény egy véletlen változó, amelyet egy e változót tartalmazó vektor „vetítésével” kapunk.
Például egy véletlenszerű vektor esetében a véletlen változó törvénye a vektor második határtörvénye.
(x1,x2,x3){\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3})}x2{\ displaystyle X_ {2}}
Meghatározás
Ahhoz, hogy a marginális jog egy vektor, akkor a projekt a törvény a egydimenziós térben a kért koordináta. A véletlenszerű vektor i- edik koordinátájának valószínűségi törvényét i- edik marginális törvénynek nevezzük . A marginális törvény a nem kapott képlet szerint:
Pén{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i}}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
Pén(NÁL NÉL)=Pxén(NÁL NÉL)=∬1ωén∈NÁL NÉLP(d(ω1,...,ωnem)){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i} (A) = \ mathbb {P} _ {X_ {i}} (A) = \ iint {1} _ {\ omega _ {i} \ in A} \ , \ mathbb {P} (\ mathrm {d} (\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n}))}mindenre .
NÁL NÉL∈B(R){\ displaystyle A \ itt: {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}Legyen és legyen két véletlen változó a valószínűségi tértől a mérhető térig és .
x{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y} (Ω,E,o){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {E}}, p)} (F,F){\ displaystyle (F, {\ mathcal {F}})}B∈F{\ displaystyle B \ in {\ mathcal {F}}}
A marginális valószínűség törvényei véletlen vektor a valószínűsége törvények a és . Itt azt kezeljük, hogy (a módszer ugyanaz, mint a ). A teljes valószínűségi tétel szerint a feltételes valószínűségi törvényhez kapcsolódik :
Z=(x,Y){\ displaystyle Z = (X, Y)}x{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}x{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}
Px(B)=∫ΩP(x-1⟨B⟩∩dωY)=∫FP(x,Y)(B,dy).{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ int _ {\ Omega} \ mathbb {P} (X ^ {- 1} \ langle B \ rangle \ cap \ mathrm {d} \ omega _ {Y}) = \ int _ {F} \ mathbb {P} _ {(X, Y)} (B, \ mathrm {d} y).}Példák
Diszkrét törvény
Ha egy diszkrét, véletlen változó értéke van egy számlálható halmazban , akkor:
Y{\ displaystyle Y} S⊂F{\ displaystyle S \ F alkészlet}
Px(B)=∑y∈SP(x,Y)(B,{y}).{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ sum _ {y \ in S} \ mathbb {P} _ {(X, Y)} (B, \ {y \}).}Különösen ez a helyzet, ha elkészült. Értékeinek és valószínűségeinek feljegyzésével a valószínűség törvény:
S{\ displaystyle S}y1,...,ynem{\ displaystyle y_ {1}, \ pontok, y_ {n}}Px,1(B),...,Px,nem(B){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X, 1} (B), \ pontok, \ mathbb {P} _ {X, n} (B)}Px,Y(B,{y1}),...,Px,Y(B,{ynem}){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X, Y} (B, \ {y_ {1} \}), \ pontok, \ mathbb {P} _ {X, Y} (B, \ {y_ {n} \})}
Px(B)=∑én=1nemPx,én(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P} _ {X, i} (B).}Abszolút folyamatos törvény
Az abszolút folytonos törvény határtörvényeit határsűrűségük felhasználásával a következő képletek fejezik ki :
fx(x)=∫R fZ(x,y)dy,fY(y)=∫R fZ(x,y)dx{\ displaystyle {\ begin {aligned} f_ {X} (x) & = \ int _ {\ mathbb {R}} \ f_ {Z} (x, y) \, \ mathrm {d} y, \\ f_ {Y} (y) & = \ int _ {\ mathbb {R}} \ f_ {Z} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ end {igazítva}}}hol van a vektor valószínűségi sűrűsége .
fZ{\ displaystyle f_ {Z}}Z{\ displaystyle Z}
Általánosabban, ha és teljesen folytonos valószínűségi változók, a közös valószínűségi sűrűség tekintetében a -finite intézkedés a , akkor:
x{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}f(x,Y){\ displaystyle f _ {(X, Y)}}σ{\ displaystyle \ sigma}μ{\ displaystyle \ mu}(F,F){\ displaystyle (F, {\ mathcal {F}})}
Px(B)=∫F(∫Bf(x,Y)(x,y)μ(dx))μ(dy).{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ int _ {F} \ balra (\ int _ {B} f _ {(X, Y)} (x, y) \ mu (\ mathrm {d} x) \ right) \ mu (\ mathrm {d} y).}
Megjegyzések és hivatkozások
Lásd is
Bibliográfia
: a cikk forrásaként használt dokumentum.
Kapcsolódó cikkek