Kvázi stacionárius elosztás

A kvázi stacionárius eloszlás egy matematikai eloszlás, amely leírja az abszorbeáló Markov-lánc viselkedését az abszorpció előtt.

Meghatározás és tulajdonságok diszkrét időben

Hagy egy Markov-lánc több a készlet természetes számok . Tegyük fel, hogy a 0 állapot elnyeli És a lánc szinte biztosan elnyeli a 0-t . Hagy az abszorpciós idő 0. Azt mondjuk, hogy egy valószínűségi on egy kvázi-stacionárius eloszlás, ha minden és mindenki számára , $(X_ {n})$ $\ mathbb {N}$ ${\ displaystyle T_ {0} = \ inf \ {n \ geq 0, X_ {n} = 0 \}}$ $\meztelen$ ${\ displaystyle \ {1,2,3, ... \}}$ ${\ displaystyle j \ geq 1}$ $n \ geq 1$

{\ displaystyle \ sum _ {i \ geq 1} \ nu _ {i} \ mathbb {P} (X_ {n} = j | X_ {0} = i, T_ {0}> n) = \ nu _ { j}.}

Azt mondjuk, hogy a valószínűség az egy Yaglom határt , ha mindent , és mindent , $\ mu$ ${\ displaystyle \ {1,2,3, ... \}}$ $i \ geq 1$ ${\ displaystyle j \ geq 1}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mathbb {P} (X_ {n} = j | X_ {0} = i, T_ {0}> n) = \ mu _ {j}.}

A Yaglom-határ kvázi stacionárius eloszlás. Ha létezik, akkor a Yaglom határérték egyedi. Másrészt több kvázi stacionárius eloszlás is lehet.

Ha kvázi stacionárius eloszlás van, akkor létezik olyan valós szám , amely $\meztelen$ ${\ displaystyle \ rho (\ nu) \ in] 0,1 [}$

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ nu _ {i} \ mathbb {P} (T_ {0}> n | X_ {0} = i) = \ rho (\ nu) ^ {n}}

Bármelyiket . Tehát mindenre ${\ displaystyle \ theta (\ nu) = - \ log \ rho (\ nu)}$ ${\ displaystyle \ theta <\ theta (\ nu)}$

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ nu _ {i} \ mathbb {E} (e ^ {\ theta T_ {0}} | X_ {0} = i) <\ infty.}

A szám nem függ attól . Ez a folyamat túlélési aránya. Ha kvázi stacionárius eloszlás van, akkor . ${\ displaystyle \ theta ^ {*} = \ sup \ {\ theta: \ mathbb {E} (e ^ {\ theta T} | X_ {0} = i) <+ \ infty \}}$ $én$ ${\ displaystyle \ theta ^ {*}> 0}$

Legyen a Markov-lánc átmeneti mátrixa és . Ha kvázi stacionárius eloszlás, akkor . Így van ez egy bal sajátvektor is , amelynek sajátértéke van az intervallumban . $P$ ${\ displaystyle Q = (P_ {i, j}) _ {i, j> 0}}$ $\meztelen$ ${\ displaystyle \ nu Q = \ rho (\ nu) \, \ nu.}$ $\meztelen$ $0,1 [$

Definíció és tulajdonságok folyamatos időben

Legyen egy Markov-folyamat értékekkel . Tegyük fel, hogy van mérhető halmazállapotú halmaz , és tételezzük fel . Jegyezze fel az elérés idejét . Tegyük fel, hogy szinte biztosan elérte: . ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ geq 0}}$ $E$ $F$ ${\ displaystyle G = E \ setminus F}$ $T$ $F$ $F$ ${\ displaystyle \ forall x \ itt: {\ mathcal {X}}, \ mathbb {P} (T <\ infty | X_ {0} = x) = 1}$

A valószínűségi on egy kvázi-stacionárius eloszlás, ha bármely mérhető set in , $\meztelen$ $G$ $B$ $G$

∀t≥0,∫GP(xt∈B|x0=x,T>t)dv(x)=v(B){\ displaystyle \ összes t \ geq 0, \ int _ {G} \ mathbb {P} (X_ {t} \ B | X_ {0} = x, T> t) \, \ mathrm {d} \ nu (x) = \ nu (B)}

{\ displaystyle \ összes t \ geq 0, \ int _ {G} \ mathbb {P} (X_ {t} \ B | X_ {0} = x, T> t) \, \ mathrm {d} \ nu (x) = \ nu (B)}

Ha kvázi stacionárius eloszlás van, akkor létezik olyan valós szám , amely . $\meztelen$ ${\ displaystyle \ theta (\ nu)> 0}$ ${\ displaystyle \ int _ {G} \ mathbb {P} (T> t | X_ {0} = x) \, \ mathrm {d} \ nu (x) = \ exp (- \ theta (\ nu) t )}$

Példa

Legyen egy folytonos idejű Markov-lánc egy véges állapottér , generátor felett . Legyen abszorbeáló részhalmaza . Megjegyzés és . Tegyük fel, hogy ez egy redukálhatatlan mátrix . Tegyük fel azt is, hogy létezik olyan, hogy hol van az (1, ..., 1) vektor. A Perron-Frobenius-tétel szerint a mátrixnak egyedülálló sajátértéke van egy bal oldali sajátvektorral, amelynek komponensei úgy normalizálódnak . Ezután következik az egyedülálló kvázi stacionárius elosztás. Ezen felül, mindenért , ${\ displaystyle (X_ {t})}$ $én$ $Q$ $J$ $én$ ${\ displaystyle K = I \ setminus J}$ ${\ displaystyle R = (Q_ {i, j}) _ {i, j \ K}}$ $R$ $i_ {0}$ ${\ displaystyle (Q \ mathbf {1}) _ {i_ {0}} <0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle - \ theta <0}$ $R$ $\meztelen$ $> 0$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in K} \ nu _ {i} = 1}$ $\meztelen$ ${\ displaystyle i, j \ K-ban}$

{\ displaystyle \ theta = - \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {1} {t}} log = mathbb {P} (X_ {t} = j | X_ {0} = i). }

Történelmi

Wright munka gén gyakorisága 1931 és Yaglom munkája 1947-ben az elágazó folyamatok már tartalmazta azt az elképzelést, kvázi-stacionárius eloszlása. A biológiai rendszerekre alkalmazott kvázi-stacionárius kifejezést Donald Barlett használta 1957-ben, majd kitalálta a „kvázi-stacionárius elosztás” kifejezést.

A kvázi stacionárius eloszlások szintén részét képezték a megölt folyamatok osztályozásának, amelyet Vere-Jones adott 1962-ben. A véges állapotú Markov-láncok meghatározását Darroch és Seneta adta meg 1965-ben .

Bibliográfia francia nyelven

Denis Villemonais, Kvázi-stacionárius eloszlások és részecskemódszerek a kondicionált folyamatok közelítésére , tézis, École politechnika, 2011.
Sylvie Méléard , Véletlenszerű modellek az ökológiában és az evolúcióban , Springer, 2016.

Irodalomjegyzék angol és orosz nyelven

S. Wright , Evolution in Mendelian populations , Genetics , 1931, vol. 16, n o 2, pp. 97–159.
AM Yaglom , Néhány korláttétel a sztochasztikus elágazási folyamatok elméletéből (oroszul), Dokl. Akad. Nauk. SSSR n o 56, 1947 o. 795-798 .
Maurice Bartlett: „ A versenyképes és ragadozó biológiai rendszerek elméleti modelljeiről ”, Biometrika , n o 44,1957, P. 27–42.
MS Bartlett , sztochasztikus populációs modellek az ökológiában és az epidemiológiában , 1960.
D. Vere-Jones, Geometriai ergodicitás a megszámlálható Markov-láncokban , The Quarterly Journal of Mathematics n o 13., 1962 p. 7–28 . doi: 10.1093 / qmath / 13.1.7
JN Darroch, E. Seneta , jelentése kvázistacionárius Absorbing Distributions diszkrét idejű Véges Markov láncok , Journal of Applied Probability n o 2 1965, p. 88–100 . doi: 10.2307 / 3211876