Szimbolikus dinamika

A matematika , a szimbolikus dinamika egyik ága a tanulmány a dinamikai rendszerek . Ez abból áll, hogy tanulmányozza a rendszer particionálás a teret véges számú régiók és azáltal, hogy érdeklődik a lehetséges szekvenciák régiók átlépte az evolúció során a rendszer. Ha minden régióhoz társítunk egy szimbólumot , akkor az egyes pályákhoz társíthatunk egy (végtelen) szimbólum-sorozatot, ezért a „szimbolikus dinamika” elnevezést.

A szimbolikus pályák természetesen csak a valós pályák közelítését jelentik, de tükrözhetik a valós rendszer bizonyos tulajdonságait, például a transzitivitást , a visszatérést vagy az entrópiát .

A szakterület általános bevezetését Lind és Marcus (1995) tartalmazza . Az úttörő cikkek között megemlíthetjük Morse-t és Hedlundot (1938) és Hedlundot (1969) . Ethan M. Coven és Zbigniew H. Nitecki (2008) szerint a szimbolikus dinamika, mint autonóm tudományág, valóban Hedlund (1944) cikkével kezdődik .

Példa

Egyszerű példa erre a megközelítésre a pék átalakulása . Ez egy egydimenziós rendszer, amely a tészta pék általi gyúrását modellezi: a pék addig nyújtja a tésztát, hogy megduplázza a hosszát, majd visszahajtja önmagára, hogy megtalálja a kezdeti hosszúságot, és megismételje a folyamatot. Ezt az átalakulást gyakran emlegetik kaotikus rendszer példaként, mert a tésztába ebbe a dagasztási folyamatba helyezett bab pályája érzékeny a kezdeti feltételekre .

Ha a tésztát időközönként azonosítjuk , akkor ezt az átalakulást olyan funkcióként láthatjuk, amely bármely kezdeti helyzethez hozzákapcsolja a gyúrási lépés utáni helyzetet . $[0; 1]$ ${\ displaystyle \ scriptstyle T: [0; 1] \ rightarrow [0; 1]}$ $x$ $T (x)$

Ha partíció a helyet a rendszer két időközönként és tudjuk társítani bármilyen pályára sorozata a és jelzi az egyes lépéseket amely időköz bab található, ha azt kezdetben elhelyeztek . ${\ displaystyle I_ {0} = [0; 1/2 [}$ ${\ displaystyle I_ {1} = [1/2; 1]}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bigl (} T ^ {n} (x) {\ bigr)} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $x$ ${\ displaystyle 0}$ $1$ $x$

Nem nehéz belátni, hogy ebben az esetben a szimbolikus rendszer tökéletesen elmond nekünk a valós rendszerről: a szekvencia bijekcióban áll a valós bináris fejlődésével (az n-edik szám megfordításával, ha az 1-es számot addig kapjuk, amíg - van páratlan). Különösen a rendszer kezdeti körülményeire való érzékenység nyilvánvalóan megjelenik, mivel ahhoz, hogy tudjuk, mely szakaszokban a tészta fele a bab , ismerni kell a kiindulási helyzet bináris fejlődésének n-edik számjegyét. $x$ $x$ $nem$

A szimbolikus dinamika nem csak az ilyen elemi rendszerekre vonatkozik: Hadamard (1898) ezt a megközelítést használja negatív görbületű felületek geodéziai áramlásainak tanulmányozására .

Definíciók

A shift operátor ( shift angol nyelven) minden végtelen szóra meg van határozva $\ sigma$

x = a_0a_1 \ cdots a_n \ cdots

keresztül

\ sigma (x) = a_1 \ cdots a_n \ cdots

Ugyanez a meghatározás érvényes a kétoldalas végtelen szavakra is. Ebben az esetben egy bijection. Az offset operátor a Cantor topológiájának folyamatos funkciója . $\ sigma$

A dinamikus szimbolikus rendszer (angolul subshift vagy műszak tér ) az ábécé egy nem üres halmaz végtelen szavak amely $NÁL NÉL$ $S$ $NÁL NÉL$

zárva a műszak kezelője számára , $\ sigma$
topológia miatt bezárva.

Ugyanez a meghatározás érvényes a kétoldalas végtelen szavakra is.

Jellemzés

Egy sor végtelen szavak több mint egy dinamikus szimbolikus rendszer akkor és csak akkor, ha létezik egy sor véges szavak feletti úgyhogy a halmaza végtelen szavak felett , amely nincs olyan tényező van . A halmazt néha tiltott tényezők halmazának nevezik . Vegye figyelembe, hogy a készlet nem egyedi. $S$ $NÁL NÉL$ $x$ $NÁL NÉL$ $S$ $NÁL NÉL$ $x$ $x$ $x$

Ez a jellemzés lehetővé teszi a szimbolikus dinamikus rendszerek tulajdonságainak kombinatorikus tulajdonságokká való átalakítását.

Amikor a beállított véges, a dinamikus rendszer az úgynevezett véges típusú rendszer , és ha a készülék egy racionális nyelv , a rendszer egy sofic rendszer . $x$ $S$ $x$ $S$

Példák

Az összes végtelen szó halmazát angolul teljes váltásnak nevezzük . Ez egy véges típusú rendszer (a tiltott tényezők halmaza üres). $A ^ \ N$ $NÁL NÉL$ $x$
Bármelyiket . A tényezőt nem tartalmazó végtelen szavak halmaza véges típusú rendszer. $A = \ {a, b \}$ ${\ displaystyle bb}$
Mindig be van kapcsolva , a legfeljebb egyet tartalmazó szavak halmaza egy szofikus rendszer, amely nem véges típusú. A tiltott tényezők összessége racionális nyelvezet . $A = \ {a, b \}$ $b$ $x$ ${\ displaystyle ba ^ {*} b}$

Ingatlan

A dinamikus rendszer minimális, ha egyáltalán nem tartalmaz más dinamikus rendszert.

Morse bebizonyította, hogy minden dinamikus rendszer tartalmaz minimális dinamikus rendszert.
A végtelen szó által generált dinamikus rendszer az által eltolt halmaz topológiai lezárása . A dinamikus rendszer akkor és csak akkor minimális, ha az a dinamikus rendszer, amelyet egy egyenletesen visszatérő szó generál. ${\ displaystyle Cl (O (x))}$ $x$ $x$
Egy szó akkor és csak akkor tartozik, ha minden tényezője tényező . Így egy dinamikus rendszer minimális, ha van, és csak akkor, ha minden a . $y$ ${\ displaystyle Cl (O (x))}$ $y$ $x$ $S$ ${\ displaystyle Cl (O (x)) = S}$ $x$ $S$

Példák

A Prouhet-Thue-Morse szó által generált rendszer minimális. A Prouhet-Thue-Morse szóval ellentétes szó (amelyet betűk cseréjével kapunk) ugyanazok a tényezők, mint maga a Prouhet-Thue-Morse szó. Ugyanezt a rendszert generálják
Minden szturmi szó minimális rendszert generál. Ez a rendszer azonos lejtésű sturmi szavakból áll.

Hivatkozások

Jacques Hadamard , „ Ellenkező görbületű felületek és azok geodéziai vonalai ”, Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 4,1898, P. 27.
en) Douglas Lind és Brian Marcus, Bevezetés a szimbolikus dinamikába és kódolásba , Cambridge, Cambridge University Press,1995, 495 p. ( ISBN 0-521-55900-6 , online előadás )
(en) M. Lothaire , algebrai kombinatorika a szavakon , Cambridge, Cambridge University Press,2002, 504 p. ( ISBN 0-521-81220-8 , online olvasás ) , "Véges és végtelen szavak"
Marston Morse és Gustav A. Hedlund , „ Symbolic Dynamics ”, American Journal of Mathematics , vol. 60, n o 4,1938, P. 815–866 ( DOI 10.2307 / 2371264 , JSTOR 2371264 )
Gustav A. Hedlund, „ A váltási dinamikai rendszer endomorfizmusai és automorfizmusai ”, Math. Rendszerelmélet , vol. 3, n o 4,1969, P. 30-375 ( online olvasás )
Gustav A. Hedlund, „ Sturmian minimal sets ”, Amer. J. Math. , vol. 66,1944, P. 605-620 ( matematikai vélemények 0010792 )

Ethan M. Coven és Zbigniew H. Nitecki, „ A szimbolikus dinamika geneziséről, ahogyan mi ismerjük ”, Colloq. Math. , vol. 110, n o 22008, P. 227-242

Lásd is