Exponenciális bomlás

Azt mondják, hogy egy mennyiség exponenciális csökkenésnek van kitéve, ha az értékével arányos sebességgel csökken . Matematikailag ezt a következő lineáris differenciálegyenlettel fejezhetjük ki , ahol N a mennyiség és λ pozitív szám, amelyet "bomlási állandónak" nevezünk :

$\ dfrac {\ mathrm {d} \ mathrm {N} \ bal (t \ jobb)} {\ mathrm {d} t} = - \ lambda \ mathrm {N} \ bal (t \ jobb).$

Ennek az egyenletnek a megoldása az, hogy N 0 -val feljegyezzük N értékét t = 0 időpontban :

${\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} ~ {\ rm {e}} ^ {- \ lambda t}.}$

Származtatott mennyiségek

Átlagos élettartam

Ha figyelembe vesszük, hogy a csökkenő N mennyiség diszkrét, azaz N méri a halmaz elemeinek számát, akkor kifejezhetjük egy elem átlagos élettartamát ebben a halmazban:

${\ displaystyle \ tau = {\ dfrac {1} {\ lambda}}.}$

„Időállandónak” is nevezik . Ezután az N függvény ellenőrzi:

${\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} ~ {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau}.}$

Fél élet

Gyakoribb a radioaktív bomlási rendszer felezési idejét használni , ez az az idő, amely után az N mennyiséget elosztják 2-vel. Ezt az időt gyakran megjegyzik . A bomlási konstanshoz és az időállandóhoz kapcsolódnak a kapcsolatok: $t_ {1/2}$

${\ displaystyle t_ {1/2} = {\ dfrac {\ ln 2} {\ lambda}} = \ tau \ ln 2.}$

A felezési idő kifejezésének exponenciáját is helyettesíthetjük, hogy: ${\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} 2 ^ {- t / t_ {1/2}}.}$

használat

A fizikában az exponenciális bomlás jellemző az öregedés nélküli jelenségekre, vagyis élettartamuktól függetlenül ugyanolyan valószínűséggel fordul elő . Példák a csökkenés figyelemmel kísérésére:

száma radioaktív atommagok során egy radioaktív bomlási egy radioaktív elem;
száma elektromos töltések során elektromos kisülés egy kondenzátor ;
a test hőmérsékletétől a hűtésig , fázisváltozás nélkül;
Az amplitúdó során csillapított harmonikus rezgéseket egy inga ;
A kémiai reakciók sebességének az elsőrendű ;
az elnyelő közegen áthaladó elektromágneses hullámok intenzitása ;
a gerjesztés utáni lumineszcencia emissziós intenzitása .

A biológiában , egy ilyen csökkenés modellezni lehet eliminációs termék a vérben , mint idő .

A megbízhatóság , az exponenciális bomlási viselkedését írja le egy előre gyártott rendszer, amelynek pillanatnyi bomlási sebessége állandó.

Kapcsolódó cikkek

Bázis exponenciális $a$