Transzitív készlet

A matematika , pontosabban set elmélet , egy tranzitív halmaz egy sor , amely az összes elemet is részei a készlet.

Meghatározás

Az X halmaz tranzitívnak mondható, ha

bármely elemének y egy elem X az X önmagában egy elemet a X

vagyis ha

minden eleme X az X jelentése egy részhalmaza az X (jelölő „⊂” felvételét a tágabb értelemben vett): ∀ x ( x ∈ X ⇒ x ⊂ X )

amely eléri a (feljegyzésével ∪ X az Unió elemeinek X ):

∪ X ⊂ X .

Transzitív osztályról is beszélünk, ugyanazon meghatározással: az osztály bármely elemkészlete is ennek része.

Példák

Rendes

Az üres set halmaz és a szingulett {∅} transzitív halmazok.

A von Neumann egész számok transzitív halmazok:

{\ displaystyle 0 = \ lakkozás}

, , , , , ..., ...

1 = \ bal \ {0 \ jobb \}

2 = \ bal \ {0,1 \ jobb \}

3 = \ bal \ {0,1,2 \ jobb \}

4 = \ bal \ {0,1,2,3 \ jobb \}

n + 1 = n \ csésze \ bal \ {n \ jobb \}

Például a sorszámhoz megvan és . Valóban és . $2$ ${\ displaystyle 1 \ in 2}$ ${\ displaystyle 1 \ 2. részhalmaz}$ ${\ displaystyle 1 \ in \ bal \ {0,1 \ jobb \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {0 \ right \} \ subset \ left \ {0,1 \ right \}}$

Általánosabban, Neumann sorszám, az , ahol a megelőző egész számok az első elem, szintén tranzitív készletek. Meghatározhatjuk őket tranzitív halmazként is, amelyeken a tagság meghatároz egy szigorú rendkapcsolatot, amelynek társított tág rendje jó . Az összes rendes osztály transzitív osztály: a sorszám elemei rendesek.

A transzitivitás révén a két rend közötti tagság befogadáshoz vezet. Bebizonyítjuk, hogy a rendes befogadási viszony valójában a tagsággal összefüggő tágabb rendű kapcsolat („tartozik vagy egyenlő”).

Transzitív bezárás

A Zermelo-Fraenkel ( ZF ) elmélete megmutatja, hogy bármely X halmaz esetében létezik egy egyedülálló Y transzitív halmaz, amely X-et tartalmaz, és bármely X-et tartalmazó tranzitív halmaz tartalmaz . Ezt nevezik a tranzitív lezárása az X .

Például a fenti sorszámjelölésekkel:

ha n ≠ 0, a szingulett { n } nem transzitív. Tranzitív záródása n + 1;
a szingulett tranzitív lezárása {{1}} a {0, 1, {1}} halmaz.

A tranzitív lezárást természetes egész számok indukciójával lehet meghatározni , amelyeket von Neumann-egész számok képviselnek a beállított keretrendszerben:

Y 0 = X ; Y n +1 = ∪ Y n ; Y = ∪ n ∈ ω Y n , ahol ∪ A jelöli az Unió elemeinek A , és co a készlet Neumann egészek.

Ez a meghatározás különösen a végtelenség axiómáját (az ω halmaz megléte) és a helyettesítő axióma sémát használja (így az Y n szekvenciája valóban függvény, meghatározott értelemben az ω-on definiálva).

A beállított Y valóban tranzitív: ha x ∈ Y , majd bizonyos egész n , x ∈ Y n , és ezért, a építése Y n + 1 , x ⊂ Y n + 1 .
Szerinti indukcióval egész n , bármely tranzitív tartalmazó halmaz X tartalmaz Y n .

Állítsa be a modelleket

A ZF (a helyettesítő alkalmazunk, mint fent), definiáljuk indukcióval a természetes számok (P ( A ) jelöli a sor részei a A ):

V 0 = ∅; V n +1 = P ( V n )

és beállítjuk V ω = ∪ n ∈ ω V n értéket .

A V n az egész n , tranzitívak halmazok mint azok unió V ω . Ezt a konstrukciót általánosíthatjuk egy indukcióval az V. transzitív osztály összes rendjének osztályán . A modell a ZFC , azt mutatják, hogy a V ω határoz meg, amely rendelkezik a tagsági viszony korlátozódik V ω , a modell valamennyi axiómák ZFC kivéve az axiómának a végtelenbe . Ez tehát nem következménye a többi axiómának. Hasonlóképpen, az V. osztály meghatározza az alap axióma nélküli ZFC modellben az alap axiómával rendelkező ZFC modellt.

Általánosságban elmondható, hogy egy tranzitív halmaz, amelynek tagsági viszonya korlátozódik erre a halmazra, kielégíti az extenzivitás axiómát . Ugyanígy egy tranzitív osztály esetében is.

Megjegyzések és hivatkozások

Ez egy példát mutat egy nem transzitív halmazra, amelyen a relation összefüggés tranzitív .
Ez egy olyan tranzitív halmaz példája, amelyre a ∈ összefüggés nem tranzitív.
Lásd például Krivine 2007 , p. 43.
Lásd a bibliográfiát.

Bibliográfia

René Cori és Daniel Lascar , Matematikai logika II . Rekurzív függvények, Gödel-tétel, halmazelmélet, modellelmélet [ a kiadások részlete ], fej. 7
Jean-Louis Krivine , A halmazok elmélete [ a kiadások részlete ]