Hosszúság

A matematika , a tér hossza egy adott metrikus tér , amely általánosítja fogalmát Riemann sokrétű : a távolság határozza meg a funkció ellenőrzése egy axiomatikus így közel a konkrét elképzelést távolságot. A hossza területek vizsgáltuk a korai XX th század által Busemann (in) és Rinow (a) néven intrinsic metrikus terek, és újra újabban Mikhail Leonyidovics Gromov .

Hosszúságú szerkezetek

Legyen X topológiai tér. Az X görbe folytonos térkép , ahol I intervalluma . ${\ displaystyle c: I \ rightarrow X}$ $\ mathbb {R}$

Az X hosszúsági szerkezete egy görbekészlet (elfogadhatónak nevezett) és egy alkalmazás adatai , amelyek a következő tulajdonságokat igazolják: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle L: {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

ha c állandó, ${\ displaystyle L (c) = 0}$
Egymás mellé: ha és elfogadható, és oly módon, hogy ${\ displaystyle c_ {1}: [a, b] \ jobbra nyíl X}$ ${\ displaystyle c_ {2}: [b, c] \ jobbra nyíl X}$ ${\ displaystyle c_ {1} (b) = c_ {2} (b)}$

és ha a kapott görbe követve által , akkor elfogadható, és ${\ displaystyle c_ {3}: [a, c] \ jobbra nyíl X}$ $c_ {1}$ $c_ {2}$ $c_ {3}$ ${\ displaystyle L (c_ {3}) = L (c_ {1}) + L (c_ {2})}$

Korlátozás: ha megengedhető, ugyanez vonatkozik a korlátozásokra bármely részintervallumra, és az alkalmazás folyamatos. ${\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle t \ mapsto L (c _ {\ vert [a, t]})}$
A beállítás függetlensége: ha megengedhető, és ha , akkor megengedett és ${\ displaystyle c: I \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle \ varphi (t) = \ alfa t + \ beta}$ ${\ displaystyle c \ circ \ phi}$ ${\ displaystyle L (c \ circ \ phi) = L (c)}$
Kompatibilitás: bármely X a X és bármely nyitott szomszédságában x , létezik egy olyan, hogy semmilyen elfogadható görbét úgy, hogy és a megfelel . ${\ displaystyle U \ X részhalmaz}$ $r> 0$ ${\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle c (a) = x}$ ${\ displaystyle c (b) \ notin U}$ ${\ displaystyle L (c)> r}$

Példák

A modelles eset nyilvánvalóan az euklideszi téré.

Az egyik megengedett görbéket vesz darabokra, L-re pedig a szokásos hosszúságot. ${\ displaystyle C ^ {1}}$

Ha elfogadható görbéket veszünk, akkor a görbéket darabokra vetítve ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

mint

{\ displaystyle z ^ {\ prime} -xy ^ {\ prime} = 0}

példát kapunk egy Carnot-Carathéodory hosszúság-szerkezetre .

Bármely Riemann- vagy Finsler-metrika meghatározza a hosszszerkezetet.

A hosszszerkezettel társított távolság.

Legyen a csapok alsó határa az összes megengedett görbéhez, amely összekapcsolja az x-et és az y-t . Így definiálunk egy távolságot X-en (esetleg végtelen értékeket veszünk fel). Az ehhez a távolsághoz tartozó topológia finomabb, mint a kiindulási topológia. ${\ displaystyle d_ {L} (x, y)}$ ${\ displaystyle L (c)}$

A távolság által meghatározott hosszszerkezet.

Egy metrikus térben ( X , d ) a görbe hosszát definiáljuk az összegek felső határaként ${\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d \ bal (c (a_ {i-1}), c (a_ {i}) \ jobb).}

az [a, b] intervallum minden felosztására . Részletekért lásd az ív cikkhosszát . Így kapunk egy hosszszerkezetet X-en (a megengedett görbék a javítható görbék). Ha a távolság ehhez a hosszszerkezethez társul, megvan . ${\ displaystyle a_ {0} = a <a_ {1} \ ldots <a_ {n} = b}$ ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$ ${\ displaystyle d <{\ widehat {d}}}$

Példa . Ha ( X , d ) az euklideszi sík egységköre az indukált távolsággal felruházva, akkor a szögtávolság. ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$

Legyen óvatos . Előfordulhat, hogy az által definiált topológia szigorúan finomabb, mint a kiindulási topológia. ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$

Ha ezt a konstrukciót megismételjük , a metrika nem változik. Más szavakkal . ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ widehat {d}}} = {\ widehat {d}}}$

Hosszúságok

Definíció . A metrikus tér ( X , d ) si hosszúságú tér . Azt is mondjuk, hogy ( X , d ) egy belső metrikus tér. ${\ displaystyle d = {\ widehat {d}}}$

Példa . Az euklideszi tér felszíne, amelyet az indukált mutatóval látunk el, nem hosszúságú tér, hacsak nem teljesen geodetikus. Ez akkor van, ha megadják az indukált Riemann-metrikához társított távolságot. Ez a helyzet indokolja a belső metrika alternatív terminológiáját.

Egy hosszúságú helyet ívek , helyileg ívek kötnek össze . Éppen ezért léteznek olyan mérhető topológiai terek , amelyek nem biztosíthatók hosszszerkezettel , mint például a racionális számok halmaza.

A teljes metrikus tér akkor és csak akkor tekinthető hossztérnek, ha vannak "közeli középpontok". Más szavakkal

Tétel . Legyen ( X , d ) teljes metrikus tér. Akkor és csak akkor egy hosszúságú tér, ha bármi is lehet x és y az X-ben, és létezik olyan z , hogy $\ epsilon> 0$

{\ displaystyle d (x, z) \ leq {\ frac {1} {2}} d (x, y) + \ epsilon \ quad {\ hbox {és}} \ quad d (y, z) \ leq { \ frac {1} {2}} d (x, y) + \ epsilon.}

Megvan a Hopf-Rinow tétel következő verziója is .

Tétel . Legyen ( X , d ) helyileg kompakt és teljes hosszúságú tér . Ekkor minden zárt gömb kompakt, és bármelyik x és y pontot mindig összekapcsolhatjuk egy d ( x , y ) hosszúságú görbével .

Bibliográfia

D. Burago, Y. Burago (en) és S. Ivanov , A metrikus geometria tanfolyama , matematika posztgraduális tanulmányok 33, Amer. Math. Soc.
H. Busemann, A geodézia geometriája , Academic Press , New York, 1955
M. Gromov, Metrikus struktúrák a Riemann-féle és a nem-Riemann-féle terekhez , haladás a matematikában. 152, Birkhäuser , Boston 1999
A. Papadopoulos, Metrikus terek, konvexitás és nem pozitív görbület , IRMA előadások a matematikában és az elméleti fizikában 6, Európai Matematikai Társaság 2005.

Herbert Busemann, Válogatott művek (Athanase Papadopoulos, szerk.) I. kötet, 908 o., Springer International Publishing, 2018.
Herbert Busemann, Válogatott művek (Athanase Papadopoulos, szerk.) II. Kötet, 842 o., Springer International Publishing, 2018.

Kapcsolódó cikkek