Pochhammer szimbólum
A matematika , a Pochhammer szimbólum egy speciális funkciót használják kombinatorika és elmélet hipergeometriai funkciók . Ezt a jelölést Leo Pochhammer vezette be . A növekvő vagy a csökkenő faktoriál jelölésére szolgál.
Értékelés
A függvényt ábrázoló szimbólum többféle változatban használható:
x(nem){\ displaystyle x ^ {(n)}} (többek között a kombinatorikában)
(x)nem{\ displaystyle (x) _ {n}}vagy (elemzésben)
(x,nem){\ displaystyle (x, n)}
(xnem){\ displaystyle (x ^ {n})} (egyéb felhasználások)
A speciális függvényelméletben a növekvő faktoriálist
jelöljük(x)nem{\ displaystyle (x) _ {n} \,}
(x)nem=x(x+1)(x+2)⋯(x+nem-1){\ displaystyle (x) _ {n} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)},
míg a kombinatorikában ugyanazt a szimbólumot használják a csökkenő faktoriál ábrázolására
(x)nem=x(x-1)(x-2)⋯(x-nem+1)=NÁL NÉLxnem{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = A_ {x} ^ {n}}.
Az összetévesztés elkerülése érdekében gyakran használjuk - és ez itt is megtörténik - a növekvő faktoriál és
a csökkenő faktoriál szimbólumát .
x(nem){\ displaystyle x ^ {(n)}}(x)nem{\ displaystyle (x) _ {n}}
Végül két másik jelölést vezet be Ronald L. Graham , Donald Knuth és Oren Patashnik a Beton matematika című könyvükben , amelyek A. Capellire (1893) és L. Toscanóra (1939) vezetnek vissza. Ők írnak
xnem¯=(x+nem-1)!(x-1)!{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}} = {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}},
a növekvő faktoriálért, és
xnem_=x!(x-nem)!{\ displaystyle x ^ {\ aláhúzás {n}} = {\ frac {x!} {(xn)!}}}a csökkenő faktoriálhoz.
Példák (a kombinatorikában használt jelölésekkel):
- (9.)4=9.4_=9.×8.×7×6.=NÁL NÉL9.4{\ displaystyle (9) _ {4} = 9 ^ {\ aláhúzás {4}} = 9 \ -szer 8-szor 7-szer 6 = A_ {9} ^ {4}}
- 9.(4)=9.4¯=9.×10.×11.×12.{\ displaystyle 9 ^ {(4)} = 9 ^ {\ overline {4}} = 9-szer 10-szer, 11-szer 12-szer
Meghatározás és felhasználás (a kombinatorikában használt jelölések)
Észrevettük
x(nem)=x(x+1)(x+2)⋯(x+nem-1){\ displaystyle x ^ {(n)} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)}az egyre növekvő faktoriális és
(x)nem=x(x-1)(x-2)⋯(x-nem+1){\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1)}a csökkenő faktoriál.
Ha és egész számok, van:
x{\ displaystyle x}nem{\ displaystyle n}
x(nem)=(x+nem-1)!(x-1)!{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)! \ over (x-1)!}} a növekvő faktoriálért, és
(x)nem=x!(x-nem)!{\ displaystyle (x) _ {n} = {x! \ over (xn)!}} a csökkenő faktoriálhoz.
Az üres termék vagy definíció szerint mindkét esetben egyenlő 1-vel. Tudjuk kiterjeszteni a meghatározás, hogy a nem-egész értékeket a n által
x(0){\ displaystyle x ^ {(0)}}(x)0{\ displaystyle (x) _ {0}}
x(nem)=Γ(x+nem)Γ(x){\ displaystyle x ^ {(n)} = {\ Gamma (x + n) \ over \ Gamma (x)}} a növekvő faktoriálért,
(x)nem=Γ(x+1)Γ(x-nem+1){\ displaystyle (x) _ {n} = {\ Gamma (x + 1) \ over \ Gamma (x-n + 1)}} a csökkenő faktoriálhoz.
A Gamma függvény tulajdonságai szerint ez a meghatározás összhangban áll az n egész értékekével .
Tulajdonságok
A növekvő és csökkenő faktoriálok a binomiális együtthatókhoz kapcsolódnak a következő összefüggések alapján:
x(nem)nem!=(x+nem-1nem)=Γnemxés(x)nemnem!=(xnem)=VSxnem.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {(n)}} {n!}} = {x + n-1 \ select n} = \ Gamma _ {n} ^ {x} \ quad {\ mbox {and} } \ quad {\ frac {(x) _ {n}} {n!}} = {x \ select n} = C_ {x} ^ {n}.}Ezért a binomiális együtthatók sok azonossága növekvő vagy csökkenő tényezőkhöz vezet.
Egy növekvő tényezőt a másik végétől csökkenő tényezőként fejezünk ki:
x(nem)=(x+nem-1)nem.{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)} _ {n}.}Ez a kapcsolat speciális esete:
(-x)(nem)=(-1)nem(x)nem.{\ displaystyle {(-x)} ^ {(n)} = {(- 1)} ^ {n} {(x)} _ {n}.}növekvő és csökkenő faktoriálok között.
Figyeljük meg, hogy a növekvő és csökkenő faktoriálok bármelyik gyűrűben meg vannak határozva , így az elem lehet például komplex szám, polinom vagy bármilyen komplex értékű függvény.
x{\ displaystyle x}
Összekapcsolás az ombrális kalkulussal
A csökkenő faktoriális jelenik meg formula, amely lehetővé teszi egy polinom , hogy képviseli a különbség operátor , amely hasonlít a Taylor-formula az elemzést . Ebben a képletben a csökkenő faktoriál játszik szerepet a véges különbségek kiszámításában a monomális differenciálszámításában. Vegye figyelembe például a hasonlóságot
Δ{\ displaystyle \ Delta}(x)k{\ displaystyle (x) _ {k}}xk{\ displaystyle x ^ {k}}
Δ((x)k)=k⋅(x)(k-1){\ displaystyle \ Delta ((x) _ {k}) = k \ cdot (x) _ {(k-1)}}és a
D(xk)=k⋅xk-1{\ displaystyle D (x ^ {k}) = k \ cdot x ^ {k-1}}ahol a polinomok derivált operátorát jelöli . Az ilyen típusú analógiák tanulmányozása az ombrális kalkulus néven ismert . Az ilyen kapcsolatokat felölelő általános elméletet Sheffer szekvenciaelmélete adja . A növekvő és csökkenő tényezők ilyen szekvenciák, és ellenőrizzék:
D{\ displaystyle D}
(nál nél+b)(nem)=∑j=0nem(nemj)(nál nél)(nem-j)(b)(j){\ displaystyle (a + b) ^ {(n)} = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {n \ select j} (a) ^ {(nj)} (b) ^ {(j) }}
(nál nél+b)nem=∑j=0nem(nemj)(nál nél)nem-j(b)j{\ displaystyle (a + b) _ {n} = \ összeg _ {j = 0} ^ {n} {n \ select j} (a) _ {nj} (b) _ {j}}
Csatlakozási együtthatók
Mivel a csökkenő faktoriálok alkotják a polinomok gyűrűjének alapját, két faktorial szorzatát a faktoriálok lineáris kombinációjaként fejezhetjük ki. A képlet:
(x)m(x)nem=∑k=0m(mk)(nemk)k!(x)m+nem-k.{\ displaystyle (x) _ {m} (x) _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m \ select k} {n \ select k} k! \, (x) _ {m + nk}.}Az együtthatókat kapcsolási együtthatónak nevezzük . Kombinatorikus értelmezéssel rendelkeznek: ez az elemeinek összevonásának számos módja, és az elemek halmazába vett elemek összevonása .
(x)m+nem-k{\ displaystyle (x) _ {m + nk}}k{\ displaystyle k}m{\ displaystyle m}k{\ displaystyle k}nem{\ displaystyle n}
q - Pochhammer szimbólum
A Pochhammer q -sorozatban található a megfelelő szimbólum : a q- szimbólum Pochhammer , a következőképpen definiálva.
(nál nél;q)nem=∏k=0nem-1(1-nál nélqk)=(1-nál nél)(1-nál nélq)(1-nál nélq2)⋯(1-nál nélqnem-1){\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}
val vel
(nál nél;q)0=1{\ displaystyle (a; q) _ {0} = 1}.
Hivatkozások
-
Ronald L. Graham , Donald Knuth és Oren Patashnik ( ford. Alain Denise), Betonmatematika: A számítógép-tudomány alapjai , Vuibert , koll. "Vuibert informatique",2003, 2 nd ed. , 687 o. ( ISBN 978-2-7117-4824-2 ).
-
Donald E. Knuth , A számítógépes programozás művészete (1. köt. ) , P. 50.
Külső hivatkozás
(en) Eric W. Weisstein , „ Pochhammer-szimbólum ” , a MathWorld- on
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">