Normális család

A matematika , különösen elemzés , egy normális család egy család a Holomorf funkciók ( komplex analitikus ) egy tartományban D nyitott , mint bármely szekvencia szempontjából a család tudjuk kivonat egy alszekvenciája egyenletesen konvergens részein kompakt D.

A konvergens szekvencia határa nem tartozhat a családhoz. A határfüggvény lehet a végtelen állandó. Tehát minden határfüggvény mindenütt véges, különben a végtelen állandó.

Megjegyzés: a család indexelésre kerül, de az indexkészlet nem feltétlenül számlálható .

Jelölések és szókincs

Egy pont azt mondják, hogy belsejében a domain D, ha létezik olyan lemezt középre ezen a ponton, és a nem nulla sugara, amely az összes pontot elemei D.
E pontok halmazáról azt mondjuk, hogy teljesen belseje D-nek, ha az E tapadásának minden pontja D-vel belső.
A továbbiakban, hacsak másként nem jelezzük, a figyelembe vett tartomány nyitott, vagyis minden pontja benne van.

Prológus

Mielőtt 1912-ben Paul Montel tollában megjelent a normális család fogalma , több matematikus felfedezte az ilyen irányú eredményeket. Például Stieltjes (1894) tétele :

"Ha a D tartományban holomorf és korlátozott függvények egész sorozatát vesszük figyelembe, ha ez a szekvencia egységesen konvergál egy belső tartományban, akkor egységesen konvergál a D belsejében."

és Vitali a következő tételt adta meg (1903):

„Ha egy holomorf és korlátozott funkciósorozat egésze egy D tartomány belsejében a D-hez teljesen belső pontok végtelenében konvergál, akkor a sorozat egységesen konvergál ennek a tartománynak a belsejében. "

A következő eredményt is bemutattuk:

Legyen holomorf f (z) függvények családja egy D tartományban, kielégítve ebben a tartományban az | f (z) -a |> m egyenlőtlenséget. Ekkor létezik a családból kivont szekvencia, amely egységesen konvergál D-ben egy határfüggvény felé, amely lehet a végtelen konstans. "

A normális családok tulajdonságai

Megfelelő átalakulás

A család normalitását a konform átalakulás megőrzi.

A normalitás egy ponton

A család akkor mondható normálisnak, ha létezik olyan lemez, amelynek középpontja van, és a család normális ebben a korongban.

„Ha egy család normális egy nyitott D tartományban, akkor a tartomány minden pontján normális. "

Ez fordítva is igaz:

„Ha egy család a domain minden pontján normális, akkor ebben a tartományban normális. "

Korlátozott normál funkciók

"Ha a D tartományban lévő normál család függvényeinek értékei ennek a tartománynak egy rögzített pontján vannak korlátozva, akkor a függvények teljes egészében korlátozódnak az egyes tartományokban, teljesen a D tartományban."

Így alkalmazhatjuk Stieltjes tételét vagy Vitali tételét a normális családokra.

F ( z ) = a megoldások száma

"Ha a D korlátozott tartományban lévő normál család olyan, hogy a család minden funkciójára létezik megoldás D-ben a rögzített b egyenletére , és hogy a család nem ismer be egyetlen g határfüggvényt sem, amely megegyezik az a állandóval, a D-ben szereplő egyenlet megoldások száma a család összes funkciójára korlátozódik. " $g_ {n}$ ${\ displaystyle g_ {n} (z) = b}$ ${\ displaystyle g_ {n} (z) = a}$

Meg kell értenünk a D- ben található megoldással a D-nek belső pontját.

Szabálytalan öltés

Egy P pontról azt mondjuk, hogy egy család számára szabálytalan, ha a család ezen a ponton nem normális. Ezeket a szabálytalan pontokat " Julia- pontoknak " is nevezik .

„Ha egy család nem normális a D tartományban, akkor a tartományon belül van egy szabálytalan pont. "

„Az egyes pontokban korlátozott holomorf funkciós család számára a szabálytalan pontok tökéletes, nem sűrű, folytonos halmazt alkotnak egy darabban, a tartomány határával. "

Normalitási kritérium

„A holomorf funkciók bármely olyan családja egy olyan tartományban, ahonnan sem az a, sem a b értéket nem veszik fel, normális ebben a tartományban. "

Azt mondjuk, hogy egy olyan kivételes értéket az f a tartomány D ha f nem veszi az értéket egy ezen a területen.

az előző tétel tehát meg van írva

„A holomorf funkciók bármely családja egy olyan tartományban, amelyből két közös kivételes értéket ismernek el, normális ebben a tartományban. "

Alkalmazások

A következőkben a normális családokra mutatunk be példákat, azokra az esetekre, amikor a család nem normális, valamint az elmélet főbb alkalmazásaira.

Példák

Legyen egy f függvénycsalád, amely nem veszi az a és b értékeket, az f változókat, de olyan, hogy | a | <M, | b | <M és | ab | > d, M és d fix számok. Tehát a család normális.
A D belsejében körülhatárolt holomorf család funkcióinak primitívjei által alkotott család normális család D-ben.
A {f (z) + n} család, ahol f (z) analitikai függvény bármely D-tartományban, normális D-ben. A határfüggvény + ∞.
Legyen f (z) nem konstans egész függvény . Az egész függvénycsalád által definiált család nem normális az | z | <2 körben. ${\ displaystyle f_ {n} (z) = f (2 ^ {n} z)}$

A tétel a Harnack

Legyen egy végtelen harmonikus függvénysorozat a D tartományban, és olyan, hogy a D minden pontján megvan , akkor a sorozat egységesen konvergál egy harmonikus függvény vagy a végtelen felé. A többi normális családot alkot. Ha a szekvencia a D belsejében egy P pontban van korlátozva, akkor egységesen konvergál a D belsejében lévő harmonikus függvény felé. Ez Harnack tétel. ${\ displaystyle u_ {1} \ leq u_ {2} \ leq \ ldots \ leq u_ {n} \ leq \ ldots}$

F. és R. Nevanlinna tétele

"Egy szükséges feltétel elegendő ahhoz, hogy a D tartományban lévő holomorf funkció két megkötött függvény hányadosa legyen, hogy az a harmonikus függvénysorozat , amely a D határ beágyazott tartományait korlátozó kontúrok sorozatára veszi az értékeket , egyben van korlátozva pont ezen a területen. " $a}$ ${\ displaystyle \ log ^ {+} | f (z) |}$ $C_ {n}$

A két tétel a Picard

„Egy egész függvény, amely nem redukálódik konstanssá, legfeljebb az összeset veszi fel. "

„A holomorf funkció, amelynek lényeges szingularitása van, ennek a szingularitásnak bármely szomszédságában bármelyik komplex számot végtelen számú alkalommal veszi fel az értéke, kivéve talán egyet. "

Konformális leképezés tétele

A koncepció a szokásos családi használják a bemutató a tétel következetes végrehajtásának a Riemann .

A tétel Paul Montel

„Ha F holomorf funkciócsalád a D tartományban, egyenletesen kötve a D bármely kompaktumához, akkor ez normális. "

Gu tétele

Legyen D egy tartomány, a és b két komplex szám (b nem nulla), k pedig pozitív, nem nulla egész szám. Legyen F olyan meromorf függvénycsalád D-ben, hogy mindegyik egyenletnek nincs megoldása D-ben. Ekkor a család normális D-ben. " ${\ displaystyle f_ {n} (z) = a, f_ {n} ^ {(k)} (z) = b}$

Miranda tétele (it)

"Bármely féle holomorf függvénycsalád (f) egy olyan tartományban, ahonnan nem veszik fel az a értéket, és ahol $ν$ parancsok deriváltjai nem veszik a nulla értékű b értéket, normális D-ben."

Bibliográfia

Egészen a közelmúltig csak két könyv volt a normális családokról: Paul Montel 1927-ben, Valiron pedig 1929-ben.

(en) Chi-Tai Chuang, Meromorf funkciók normál családjai, Világtudomány , Szingapúr, 1993 ( ISBN 978-981-02-1257-5 ) .
Paul Montel , Tanulmányok az analitikai funkciók normál családjairól és azok alkalmazásáról , Párizs, Gauthier-Villars , 1927.
(en) Joel L. Schiff, Normal Families , Springer Universitext, New York, 1993 ( ISBN 978-0-387-97967-0 ) .
Georges Valiron , A meromorf funkciók normál és kvázi normális családjai , Matematikai Tudományok Emlékhelye 38, Párizs, Gauthiers-Villars, 1929.
Georges Valiron , A meromorf funkciók és származékaik kivételes értékeiről , Paris, Hermann , coll. „Tudományos és ipari News„( n o 570)1937.

Kapcsolódó cikkek