A matematika , pontosabban a komplex elemzése , a konform leképezés tétel miatt Bernhard Riemann , biztosítja, hogy minden egyszerűen csatlakoztatható nyitott részei a komplex síkon , amelyek sem üres, sem nem egyenlő a teljes sík vannak összhangban egymással.
A tételt (a differenciálható ívekből álló határ erősebb hipotézise mellett) Bernhard Riemann fogalmazta meg tézisében, 1851-ben. Ezt a kezdeti változatot Lars Ahlfors úgy írta le, hogy "végül dacos kifejezésekkel fogalmazták meg. Szigorú demonstrációs kísérlet, még a modern felhasználásával is módszerek ”. Riemann igazolása Dirichlet elvétől függött , amelyet akkor igaznak tartottak. Karl Weierstraß azonban kivételeket fedezett fel ez alól az elvtől, és csak David Hilbert bemutató munkája alkalmával terjedt el nagyrészt a Riemann által vizsgált helyzetekre. Dirichlet elve azonban nem vonatkozott a nem elég sima határú, egyszerűen kapcsolódó területekre; ilyen területeket 1900-ban W. F. Osgood tanulmányozott.
A tétel első szigorú bizonyítását (általános esetben) Constantine Carathéodory adta ki 1912-ben. Riemann-felületeket használt ; Két évvel később Paul Koebe felfedezett egy egyszerűsített verziót, amely nélkülözhetetlen.
1922-ben újabb tüntetést tett közzé Fejér Leopold és Riesz Frigyes ; rövidebb, mint az előzőek, felvette az ötletet a Riemann-bizonyítékról, amely áthaladt egy optimalizálási probléma megoldásán; ezt a bizonyítást ezt követően Alexander Ostrowski és Carathéodory tovább egyszerűsítette , aki az eredményt a nevét viselő tétel formájában határozta meg , és olyan feltételeket adott, amelyek mellett a bijection kiterjeszthető a tartományok határáig.
A tételnek több egyenértékű megfogalmazása lehetséges; általában a következőképpen fogalmaznak:
Konformális leképezési tétel - Hagyja, hogy a komplex síktól egyszerűen összekapcsolt, nyitott , a síktól eltérõ nyitott legyen . Holomorf bijekció van az egységlemez és az egységlemez között
A holomorf funkciók jellegzetes tulajdonságainak felhasználásával (különösen azzal a ténnyel, hogy C- ben a levezethető analitikai elemzéssel jár ), tovább fogalmazhatjuk a tételt azzal, hogy létezünk a férgek levezethető bijekciója ( C-ben ) ; mivel a holomorf bijekció deriváltja soha nem nulla, arra következtetünk, hogy a reciprok bijekció is holomorf.
Mivel a holomorf funkciók "megtartják a szögeket", ez azt jelenti, hogy geometriai szempontból azt mondjuk, hogy konformális bijekció van a és között . Két holomorf funkció holomorf összetétele, azt látjuk, hogy valójában általánosabban van konformális bijekció bármely két nyílás között, és kielégítik az előző hipotéziseket.
Henri Poincaré kimutatta, hogy a ( és között lévő ) térkép lényegében egyedi : ha tartozik és ha an tetszőleges szög, akkor pontosan olyan holomorf bijekció létezik , amely és a derivált argumentuma φ. Ez az eredmény Schwarz lemmájából következik .
Tulajdonképpen az egyetlen következménye az egyszerűen csatlakoztatható tér U a teszt során használt, hogy minden Holomorf funkciót U és nulla nélkül négyzetgyök Holomorf az U . Tény, hogy a konform leképezés tétel egy nagyon hatékony jellemzése egyszerűen kapcsolódó részeinek a sík: egy nyitott, és a csatlakoztatott része a sík egy ,
A egyszerűen csatlakoztatva ⇔ van kötve a Riemann gömb .Az eredmény intuitívabb leírása az, hogy ha a sík nyílása az egységlemez segítségével folyamatos bijekcióba helyezhető, akkor van egy másik bijekció is, amely differenciálható (összetett értelemben). Így fogalmazva a tétel meglehetősen természetesnek tűnhet; a következő megjegyzésekkel meg kell győzni, hogy ez nem így van.
A történelem megmutatta, hogy nehéz szigorú demonstrációkat tartani; ha a nyílt határ elég szabályos, akkor viszonylag könnyű teljes bemutatást adni; de, mint Jordan tételében , ez az eset is sokkal könnyebben kezelhető, mint az általános eset. Általános demonstráció azonban felvázolható a normális családoknak köszönhetően ( Paul Montel miatt ).
Bizonyos esetekben kifejezetten megszerezhetők azok a bijekciók, amelyek létezését a tétel megerősíti, akár geometriai transzformációk formájában (tehát a sztereográfiai vetület megfelel, az ilyen vetületek összetétele Möbius-transzformáció ), akár a az elmélet lehetséges . Itt van egy lista azokról az esetekről, amelyeket kezelni tudunk:
Már rámutattunk, hogy valójában a tétel azt sugallja, hogy a sík két nyílása egyszerűen összekapcsolt, nem üres és nem különbözik az egész síktól, konformális bijekcióba helyezhető; a sztereográfiai vetület konform alkalmazás, ugyanez vonatkozik a gömb egyszerűen összekapcsolt nyílásaira, amelyek nem tartalmaznak legalább két pontot. Általánosságban elmondható, hogy ebből levezethető a Riemann-uniformizálási tétel : bármelyik egyszerűen összekapcsolt Riemann-felület megfelel a három referenciafelület egyikének, amelyek az egységlemez, a komplex sík és a Riemann-gömb . Különösen bármely, egyszerűen csatlakoztatott Riemann felület megfelel a Riemann gömbnek.
A dinamikus rendszerek elmélete ezeket az eredményeket széles körben felhasználta a polinomhoz társuló Julia-halmazok , valamint a Mandelbrot-halmaz tanulmányozására : ebben az esetben valóban lehetséges kifejezetten felépíteni azokat a konform átalakulásokat, amelyek létét a tétel garantálja; így például bebizonyítjuk, hogy a Mandelbrot halmaz össze van kapcsolva. A halmazok határának ezen átalakulásaival kép (amely tehát az egységkör pontja) lényeges szerepet játszik az elméletben; további részletekért lásd ezt a cikket a (z) külső érvekről . Ezek a konstrukciók ráadásul közel állnak Riemann elképzeléseihez, és lényegében a potenciál elmélet alá tartoznak .
A tétel általánosításai kétfélék: először is analóg eredményeink vannak olyan nyílások esetén, amelyek nem egyszerűen kapcsolódnak a síkhoz (de láttuk, hogy a konformális transzformációk kis száma magasabb dimenzióban tiltja másrészt az eset általánosításának reménye); ezek közül az eredmények közül a legegyszerűbb Tsuji tétele , amely a konformális térképeket jellemzi a nyitott topológiailag izomorf a középpontjától megfosztott lemez (a "kettősen összekapcsolt" nyílások) között, és megmutatja, hogy egy ilyen nyílás mindig megfelel egy kör alakú koronának. Másrészt az ilyen alkalmazások kiterjesztésének problémája, amely megfelel a zárt meghajtó egységnek, félelmetesnek bizonyult; van például a tétele Carathéodory , ami azt mutatja, hogy egy ilyen folytonos meghosszabbítását áll fenn, ha a határ a U egy Jordan görbe .