Schwarz lemma

A lemma a Schwarz egy lemma a komplex elemzése , ami korlátokat Holomorf funkciók az egység lemezt is. Nem szabad összetéveszteni egy másik komplex analitikai eredménnyel, a Schwarz-szimmetria elvével.

Államok

Hagy egy Holomorf funkciót a nyitott lemez D középpontú 0 és 1-es sugár, és olyan, hogy: $f$

$f (0) = 0$
${\ displaystyle \ forall z \ in \ mathrm {D} \ quad | f (z) | \ leq 1}$ .

Tehát van:

{\ displaystyle | f (z) | \ leq | z |}

mindent tartozó D és .

z

{\ displaystyle | f '(0) | \ leq 1}

Ha, sőt, létezik egy nem nulla eleme a D kielégítő , vagy ha , akkor létezik egy komplex szám a modulus 1 úgy, hogy az összes tartozó . $z_0$ ${\ displaystyle | f (z_ {0}) | = | z_ {0} |}$ $| f '(0) | = 1$ $nál nél$ ${\ displaystyle f (z) = az}$ $z$ $D$

Bizonyíték

A bizonyítás a maximális elv közvetlen alkalmazása .

Demonstráció

Alkalmazzuk a maximum elvét a függvényre

{\ displaystyle g (z) = {\ elején {esetek} {\ frac {f (z)} {z}} és {\ mbox {si}} z \ neq 0 \\ f '(0) és {\ mbox {si}} z = 0, \ vége {esetek}}}

holomorf a D-n (a holomorfia 0-ban abból adódik, hogy f (0) = 0 és az a tény, hogy f egész sorokban fejleszthető). Minden r <1 esetén, ha D r = { z : | z | ≤ r } kijelöli az r > 0 sugarú zárt lemezt, amelynek középpontjában az origó, a | függvény áll g | a D r-en eléri a maximumát a D r szélén lévő ponton . Mivel a D-hez tartozó z van, minden r ∈] | Z |, 1 [, a komplex z r modulus r olyan, hogy

{\ displaystyle | g (z) | \ leq {\ aláhúzás {\ overline {D_ {r}}} {\ max}} | g (z) | = | g (z_ {r}) | = {\ frac { | f (z_ {r}) |} {| z_ {r} |}} \ leq {\ frac {1} {r}}}

Mikor , megkapjuk . ${\ displaystyle r \ rightarrow 1}$ ${\ displaystyle | g (z) | \ leq 1}$

Most tegyük fel, hogy | f (z 0 ) | = | z 0 | mert z 0 értéke nem nulla a D-ben , vagy tegyük fel, hogy | f ′ (0) | = 1. Akkor, | g (z 0 ) | = 1 vagy | g (0) | = 1 g definíciója szerint . Így, az elvet a maximális, g ( z ) egyenlő állandó a

a | -val a | = 1. Végül f ( z ) = az , a kívánt módon.

Schwarz-Pick Lemma

A Schwarz-lemma egyik változata a Georg-Pick tiszteletére elnevezett Schwarz-Pick-lemma , amely lehetővé teszi az egységlemez analitikai automorfizmusainak meghatározását:

Legyen f : D → D holomorf függvény. Ezután minden z 1 , z 2 ∈ D esetén

{\ displaystyle \ left | {\ frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } \ right | \ leq \ left | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2}}} \ right |}

és minden z ∈ D esetén

{\ displaystyle {\ frac {\ left | f '(z) \ right |} {1- \ left | f (z) \ right | ^ {2}}} \ leq {\ frac {1} {1- \ balra | z \ jobbra | ^ {2}}}}

. Demonstráció

A Schwarz-Pick lemma igazolása Schwarz lemmájának és annak a ténynek a következménye, hogy a forma Möbius-transzformációja

{\ displaystyle {\ frac {z-z_ {0}} {{\ overline {z_ {0}}} z-1}}, \ qquad | z_ {0} | <1}

magába küldi a meghajtólemezt. Javítsa meg z 1 és állítsa be

{\ displaystyle M (z) = {\ frac {z_ {1} -z} {1 - {\ overline {z_ {1}}} z}}, \ qquad \ varphi (z) = {\ frac {f ( z_ {1}) - z} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} z}}}

ahol M és φ Möbius-transzformációk . Mivel M ( z 1 ) = 0, és a Möbius-transzformáció invertálható, az φ ( f ( M −1 ( z ))) kompozit 0-t 0 felett 0-t küld, és az egységlemezt magába. Így alkalmazhatjuk Schwarz lemmáját, amely megadja

${\ displaystyle \ left | \ varphi \ left (f (M ^ {- 1} (z)) \ right) \ right | = \ left | {\ frac {f (z_ {1}) - f (M ^ { -1} (z))} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (M ^ {- 1} (z))}} \ jobbra | \ leq | z |}$ .

A z 2 = M −1 ( z ) beállításával (amely az egységlemezhez tartozik) elérjük a kívánt egyenlőtlenséget:

{\ displaystyle \ left | {\ frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } \ right | \ leq \ left | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2}}} \ right |}

A második rész igazolásához osszunk el | z 1 - z 2 | a kapott egyenlőtlenség

${\ displaystyle \ left | {\ frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {z_ {1} -z_ {2}}} \ right | \ left | {\ frac {1} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})}} \ jobb | \ leq \ bal | {\ frac {1} {1 - {\ overline {z_ {1} }} z_ {2}}} \ right |}$ .

Azzal, hogy a z 2-t z 1 felé irányítjuk , megkapjuk a lemma második egyenlőtlenségét.

Kifejezés

{\ displaystyle d (z_ {1}, z_ {2}) = \ tanh ^ {- 1} \ balra | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - {\ overline {z_ {1 }}} z_ {2}}} \ jobb |}

távolság a Poincaré-mutató értelmében . A Schwarz-Pick lemma azt mondja nekünk, hogy az egységlemez bármilyen holomorf funkciója önmagában csökkenti a Poincaré-metrika értelmében vett két pont távolságát. Ha az egyenlőség a lemma két egyenlőtlenségének egyikében megy végbe (ami egyenértékű azzal, hogy azt mondjuk, hogy az holomorf térkép f megőrzi a távolságot a Poincaré-metrikában), akkor f analitikai automorfizmus, amelyet az egységet küldő Möbius transzformációja ad. lemezt magának.

A Poincaré H félsíkján ekvivalens megállapítás tehető:

Legyen f : H → H holomorf függvény. Ezután minden esetben z 1 , z 2 ∈ H ,

{\ displaystyle \ left | {\ frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {{\ overline {f (z_ {1})}} - f (z_ {2})}} \ right | \ leq {\ frac {\ left | z_ {1} -z_ {2} \ right |} {\ left | {\ overline {z_ {1}}} - z_ {2} \ right |}}}

Ez a Schwarz-Pick lemma közvetlen következménye: felhasználva azt a tényt, hogy egy Cayley-transzformáció W ( z ) = ( z - i) / ( z + i) egy konformális térkép, amely a H felső félsíkot a lemezegységre küldi. D , elértük, hogy a W ∘ f ∘ W -1 alkalmazás holomorf, és D -t D-re küldi . A Schwarz-Pick lemma alkalmazásával a W ∘ f ∘ W −1 függvényre és a W explicit kifejezésének felhasználásával elérjük a kívánt eredményt . Hasonlóképpen, minden z ∈ H esetén

{\ displaystyle {\ frac {\ left | f '(z) \ right |} {{\ text {Im}} (f (z))}} \ leq {\ frac {1} {{\ text {Im} } (z)}}}

Ha az egyenlőség az előző két egyenlőtlenség egyikénél jelentkezik, akkor f Möbius-transzformáció valós együtthatókkal, azaz.

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

ahol a , b , c , d ∈ R és ad - bc > 0.

Bibliográfia

Michèle Audin , geometria , EDP tudományok , 2006
Henri Cartan , Egy vagy több komplex változó analitikai függvényeinek elemi elmélete [ a kiadás részlete ]
Walter Rudin , Valós és komplex elemzés [ a kiadások részlete ]

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Schwarz lemma " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Cartan , p. 84.
Hervé Queffélec , Elemzés az összesítéshez: tanfolyamok és javított gyakorlatok , Párizs, Dunod ,2013, 635 p. ( ISBN 978-2-10-070093-6 , OCLC 862735438 ) , p. 575.
Cartan , p. 175-187.