Smale patkója
A patkó alkalmazás a dinamikus rendszerek egyik klasszikus példája . Stephen Smale vezette be a Van der Pol oszcillátor tanulmányozása alkalmából . Viselkedése kaotikus, míg nagyon egyszerű geometriai műveletek egymás utáni elvégzésével érhető el: az egyik irányba szűkítve, a másikban elterjedve és patkó alakjában hajtogatva.
A patkó alkalmazás diffeomorfizmus, amely stabilan hagyja az ábrát, amelyet két összefüggő félkoronggal rendelkező négyzet alkot. A kezdeti négyzet egyes pontjainak képét ezen a téren kívül elutasítják, így soha nem térnek vissza oda. Végül néhány pont marad végérvényesen a téren; fraktálkészletet alkotnak, és a térkép invariáns teréhez tartoznak. A kifelé elutasított pontok egy fix pont felé konvergálnak , amely az egyik féllemezen helyezkedik el.
A dinamika alapvető tulajdonságai:
- a periodikus pályák végtelen létezése;
- köztük lehet találni olyanokat, akiknek önkényesen hosszú időszaka van;
- az ilyen pályák száma az adott periódussal exponenciálisan növekszik;
- az invariáns tér bármely pontjának szomszédságában van egy periodikus pont.
Az átalakítás leírása
A patkótranszformáció némi hasonlóságot mutat a pék átalakításával , és valójában ez a két transzformáció topológiailag egyenértékű . A patkóalkalmazás leírása azonban bonyolultabb, mivel diffeomorfizmust képez, és a sík egy bizonyos S régióját invariánsnak hagyja ( S- t a négyzet képezi félkorongjaival ).
Az f-et összetétel alapján határozzuk meg, először a vertikális tengely mentén a négyzet pontjaira egy ortogonális affinitás- arányt alkalmazva , míg a féllemezek homotetikán mennek keresztül, hogy megtartsák a korong alakjukat. Fontos, hogy a faktor a szigorúan kisebb, mint 1/2 biztosítása árrés két ága között a patkó az utolsó lépésben. Ezután egy ortogonális affinitást alkalmazunk a téglalapra a féllemezek megváltoztatása nélkül , a másik irányban és arányban . E két lépés végén a tér területe megmaradt, nem a félkorongoké.
Végül jön a hajtogatási fázis: a kapott szalagot S- ben összehajtogathatjuk és visszahelyezhetjük , az ívelt rész pedig, amely a kezdeti négyzetből kerül ki, egy kezdeti féltárcsában van, a kis féltárcsák a másikban vannak.
Lásd is
Hivatkozások
- S. Smale : Differenciálható dinamikai rendszerek. In: Az Amerikai Matematikai Társaság Értesítője. 73/1967, S. 747-817
- P. Cvitanović, G. Gunaratne és I. Procaccia: A Hénon-féle furcsa attraktorok topológiai és metrikus tulajdonságai. In: Physical Review A. 38/1988, S. 1503-1520
- A. de Carvalho: A frontok metszése és patkók kialakulása. In: Ergodikus elméleti dinamika. Systems 19/1999, S. 851-894
- A. de Carvalho és T. Hall: Hogyan kell metszeni a patkót. In: Nemlinearitás. 15/2002, S. R19-R68