Van der Pol oszcillátor

A Van der Pol oszcillátor egy folytonos dinamikus rendszer egy szabadsági fok . Egy $x$ $($ $t$ $)$ koordinátával írjuk le, amely két paramétert magában foglaló differenciálegyenletet ellenőriz : a megfelelő $ω$ $0$ pulzációt és az $ε$ nem-linearitás együtthatóját . Amikor $ε$ $= 0$ , ez az oszcillátor tiszta harmonikus oszcillátorra redukálódik .

Balthasar van der Pol nevet viseli .

Történelem

A Van der Pol oszcillátort Balthasar van der Pol holland fizikus találta ki, miközben a Philips laboratóriumaiban alkalmazott . Van der Pol felfedezték, hogy ez az áramkör, amely egy vákuumcső kifejlesztett stabil lengések, amely az úgynevezett „ relaxációs oszcilláció ”, és amelyek a továbbiakban ma határ ciklus az elektromos áramkörök . Amikor ezeket az áramköröket a határciklushoz közeli frekvencián gerjesztjük, akkor egy kapcsolás jön létre , vagyis a vezérlőjel ráhelyezi frekvenciáját az áramra. Van der Pol és kollégája Van der Mark megjelent 1927-ben, hogy bizonyos ellenőrzési gyakorisággal volt szabálytalan zaj . Ez a zaj mindig a természetes kapcsolási frekvenciák közelében vált ki. Ez volt az egyik első bizonyíték a determinisztikus káosz fennállására .

Van der Pol egyenlete számos alkalmazást talált a fizikai és biológiai tudományokban . Például a biológiában Fitzhugh és Nagumo kifejlesztették ennek a dinamikus rendszernek a kétdimenziós változatát az idegsejtek akciós potenciáljának leírására . Az egyenlet is használják seismology modellezésére kölcsönhatását lemezeket egy hiba .

Ingyenes oszcillátor

A szabad oszcillátor differenciálegyenlete fel van írva:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ varepsilon \ omega _ {0} \ left (1-x ^ {2} (t) \ right) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = 0. }

Amikor $ε \neq 0$ , ennek a disszipatív rendszernek szabályos dinamikája van, amelyet egy vonzerő jellemez egy határciklus formájában , amelyet az alábbi ábra mutat be (ahol $ω 0 = 1 értéket állítottunk be$ ):

Kényszerített oszcillátor

Amikor ezt az oszcillátort az $ω$ impulzuson egy harmonikus tag gerjeszti, differenciálegyenlete a következő lesz:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ varepsilon \, \ omega _ {0} \ left (1- x ^ {2} (t) \ right) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ x (t) = \ omega _ {0} ^ {2} \, X \ cos (\ omega t)}

Megjegyzések

(in) K. Tomita, " Periodikusan kényszerített nemlineáris oszcillátorok " , Káosz , Arun V. Holden, Manchester University Press,1986, P. 213–214 ( ISBN 0719018110 ).
ML Cartwright , " Balthazar van der Pol ", J. London Math. Soc. , N o 35,1960, P. 367-376 ( online olvasás ).
B. Van der Pol , „ A relaxációs oszcillációkról ”, The London, Edinburgh és Dublin Phil. Mag. & J., Sci. , 2 e sorozat, n o 7,1927, P. 978-992.
B. Van der Pol és J. Van der Mark , " Frequency demultiplication ", Nature , n o 120,1927, P. 363-364.
T. Kanamaru , " Van der Pol oszcillátor " scholarpedia , 2 E sorozat, n o 1,2007, P. 2202 ( online olvasás ).
Jean Marc- GINOUX " Van der Pol és a történelem, relaxációs oszcilláció: A és kialakult egy fogalom ", Chaos , n o 22,2012( DOI 10.1063 / 1.3670008 )
R. FitzHugh ,, " Impulzusok és fiziológiai állapotok az idegmembránok elméleti modelljeiben ", Biophysics J. , n o 1,1961, P. 445-466.
J. Nagumo , S. Arimoto és S. Yoshizawa , „ egy aktív impulzusban átviteli vonal szimulálására idegi axon ”, Proc. IRE , n o 50,1962, P. 2061-2070.
J. Cartwright , V. Eguiluz , E. Hernandez-Garcia és O. Piro , „ A rugalmas gerjesztő közeg dinamikája ”, International Journal of Bifurcation and Chaos Appl. Sci. Engrg. , N o 9,1999, P. 2197–2202.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

Bibliográfia

Jean-Marc Ginoux, A nemlineáris rezgések elméletének története: Poincarétől Andronovig , Hermann ,2015.
James Gleick ( ford . Christian Jeanmougin), La Théorie du Chaos [“Káosz: Új tudomány készítése”], Párizs, Flammarion , koll. "Mezők",1988( újranyomás 1999, 2008), 431 p. ( ISBN 978-2-08-081219-3 és 2-08081-219-X ) , p. 41-43tartalmazza a van der Pol csőoszcillátor részletes leírását. Miután ugyanebben a témában 1988-ban publikált egy cikket a New York Times-ban , Gleick az újság egyik olvasójától a Van der Pol áramköréhez hasonló elektronikus áramkört kapott. A szóban forgó cikk: (in) David Colman : " Zaj nélkül nincs csend " , New York Times ,2011. július 11( online olvasás , konzultáció 2011. július 11-én )
Hervé Reinhard , Differenciálegyenletek: Alapok és alkalmazások , Párizs, Gauthier-Villars , koll. "ΜB",1988, 450 p. ( ISBN 2-04-015431-0 ) , "8 - Periódusos egyenletek és megoldások"
(en) Balthazar van der Pol és J van der Mark, „ a szívverés tekinthető relaxációs oszcilláció, és egy elektromos Model of the Heart ” , Philosophical Magazine Supplement , n o 6,1928, P. 763-775.
(en) Shawnee L. Mc Murran és James J. Tattersall, „ Cartwright és Littlewood van der Pol egyenletén, Harmonikus elemzés és nemlineáris differenciálegyenletek ” , Contemporary Mathematics , Riverside, CA, American Mathematical Society (Providence, RI, 1997), n o 208,1995, P. 265-276.