Hiba funkció

A matematikában a hibafüggvény (más néven Gauss- hibafüggvény ) az elemzés során használt egész függvény . Ezt a függvényt erf jelöli, és része a speciális függvényeknek . Meghatározza:

erf⁡(x)=2π∫0xe-t2dt.{\ displaystyle \ kezelőnév {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t.}

Az erf funkció rendszeresen beavatkozik a valószínűségek és a statisztikák , valamint a diffúzió (a hő vagy az anyag ) problémáiba.

Ennek a funkciónak az érdeke

Valószínűség és statisztika

Annak a valószínűsége, hogy egy redukált középre rendelt normál X változó értéket vesz fel a [- z , z ] intervallumban :

erf⁡(z2)=P(x∈[-z,z]).{\ displaystyle \ kezelőnév {erf} \ balra ({\ frac {z} {\ sqrt {2}}} \ jobbra) = \ mathbb {P} (X \ -ban [-z, z]).}

Az eloszlásfüggvény az X , vagy eloszlásfüggvénye normális törvény , általában jelöljük Φ, kapcsolatban van a hiba funkció, az EMA által kijelölt kapcsolattartó:

Φ(z)=∫-∞z12πe-t22dt=12[1+erf⁡(z2)]=P(x≤z),{\ displaystyle \ Phi (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {z} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \, \ pi}}} \, \ mathrm {e} ^ {- { \ frac {t ^ {2}} {2}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operatornév {erf} \ left ({\ frac { z} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right] = \ mathbb {P} (X \ leq z),}

vagy akár :

erf⁡(z)=2Φ(z2)-1.{\ displaystyle \ kezelőnév {erf} (z) = 2 \, \ Phi \! \! \ bal (z {\ sqrt {2}} \ jobb) -1.}

Diffúziós kérdések

A hibafüggvény részt vesz a hőegyenlet vagy a diffúziós egyenlet megoldásainak kifejezésében , például amikor a kezdeti feltételeket a Heaviside függvény adja meg .

Tekintsük különösen az x ≥ 0 félteret, amelyet egy szilárd anyag foglal el termikus diffúzióval κ és kezdetben egyenletes T 1 hőmérsékletű . Ha a t = 0 időpontban annak x = 0 határát megadjuk, akkor a T 2 hőmérsékleten tartjuk , akkor a T ( x , t ) hőmérsékletet bármikor t> 0 és az x > 0 bármely pontján a következő adja meg:

T(x,t)=T2-(T2-T1)erf⁡(x2κt).{\ displaystyle T (x, t) = T_ {2} - (T_ {2} -T_ {1}) \ üzemeltető neve {erf} \ balra ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {\ kappa t} }}} \ jobb).}

Numerikus számítás

Az integrált nem zárt képlettel lehet megkapni, hanem egy egész sorozatú (végtelen konvergencia sugárú) tágítással integrált kifejezéssel,

erf⁡(z)=2π∑nem=0∞(-1)nem(2nem+1)×nem!z2nem+1=2π(z-z33+z5.10.-z742+O(z9.)).{\ displaystyle \ quad \ operátornév {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) \ -szer n!}} \, z ^ {2n + 1} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ bal (z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} - {\ frac {z ^ {7}} {42}} + O (z ^ {9}) \ jobb).}

Vannak táblázatok, amelyek az integrálok értékeit adják meg az z függvényeként , de manapság a legtöbb numerikus szoftver ( táblázat , Scilab ) vagy CAS (például Maple vagy MuPAD ) tartalmaz egy erf számítási rutint (x) és annak kölcsönös bijekcióját , az inverf (x), amely még hasznosabb a valószínűségek kiszámításában .

A következő közelítések azonban hasznosak lehetnek:

• A (hibával kevesebb mint 6 × 10 -4 számára x <0,5)v(0),erf⁡(x)=2πe-x2(x+23x3+415x5.)+o(x6.e-x2){\ displaystyle v (0), \ quad \ operátornév {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- x ^ {2}} \ bal (x + { \ frac {2} {3}} \, x ^ {3} + {\ frac {4} {15}} \, x ^ {5} \ right) + o (x ^ {6} \, e ^ { - x ^ {2}})}
• A (hibával kevesebb, mint 2 × 10 -4 számára x > 1,75)v(+∞),erf⁡(x)=1-e-x21π.(1x-12x3+34x5.-158.x7)+o(x-8.e-x2){\ displaystyle v (+ \ infty), \ quad \ operátornév {erf} (x) = 1-e ^ {- x ^ {2}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}}. \ balra ({\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {2x ^ {3}}} + {\ frac {3} {4x ^ {5}}} - {\ frac {15} { 8x ^ {7}}} \ jobbra) + o (x ^ {- 8} e ​​^ {- x ^ {2}})}
• Mert x>0,1-e-x2≤erf⁡(x)≤1-e-4x2/π{\ displaystyle x> 0, \ quad {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} \ leq \ kezelőnév {erf} (x) \ leq {\ sqrt {1-e ^ {- 4x ^ {2} / \ pi}}}}

(a keretet JT Chu, 1955 javasolta; a felső határ 7 × 10 −3-on belül mindenütt megközelíti az erf funkciót ).

• Mert x>0,erf⁡(x)≃1-e-1,9.x1,3{\ displaystyle x> 0, \ quad \ operátornév {erf} (x) \ simeq 1-e ^ {- 1,9x ^ {1,3}}}

(közelítés, amelyet E. Robert javasolt, 1996; 2,2 × 10 −2- n belül mindenhol megközelíti az erf függvényt . A közelítés javul, ha 10 −2 alatt marad ). x≥1{\ displaystyle x \ geq 1}

• A függvény a differenciálegyenlet megoldása, amelynek értéke 0 0-ban és derivált 0-ban.x↦erf⁡(x)×ex2{\ displaystyle x \ mapsto \ kezelőnév {erf} (x) \ alkalommal e ^ {x ^ {2}}}y″-2xy′-2y=0{\ displaystyle y '' - 2x \, y'-2y = 0}2π{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}}}

Hosszabbítások

Néha az általánosabb funkciót határozza meg: Enem{\ displaystyle E_ {n}}

Enem(z)=nem!∫0ze-ζnemdζ{\ displaystyle E_ {n} (z) = n! \ int _ {0} ^ {z} e ^ {- \ zeta ^ {n}} \, \ mathrm {d} \ zeta}

és E 2- t integrálhibának nevezzük.

Az elemzés során használt egyéb hibafunkciók, beleértve:

• A komplementer hibafüggvény megjegyezte az erfc-t és meghatározta:

erfc⁡(z)=1-erf⁡(z)=2π∫z∞e-ζ2dζ{\ displaystyle \ operátornév {erfc} (z) = 1- \ operátornév {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {z} ^ {\ infty} e ^ {- \ zeta ^ {2}} \, \ mathrm {d} \ zeta}

• A ierfc függvény , az erfc komplementer hibafüggvény integráljának (szemben) integrálja  :

ierfc⁡(z)=e-z2π-z⋅erfc⁡(z){\ displaystyle \ kezelőnév {ierfc} (z) = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} - z \ cdot \ kezelőnév {erfc} (z)}

• Az erfi által észlelt képzeletbeli hibafüggvényt az alábbiak határozzák meg:

erfi⁡(z)=erf⁡(énz)én=2π∫0zeζ2dζ{\ displaystyle \ kezelőnév {erfi} (z) = {\ frac {\ kezelőnév {erf} (iz)} {i}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0 } ^ {z} e ^ {\ zeta ^ {2}} \, \ mathrm {d} \ zeta}

Gyakran csak néhány számítógépes algebra szoftverben definiálják, például a Mathematica és a Maple . Mindazonáltal leírható egész szám sorozatbővítéssel  :

erfi⁡(z)=2π∑nem=0∞1(2nem+1)×nem!z2nem+1=2π(z+z33+z5.10.+z742+O(z9.)).{\ displaystyle \ quad \ operátornév {erfi} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( 2n + 1) \ -szer n!}} \, Z ^ {2n + 1} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ balra (z + {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} + {\ frac {z ^ {7}} {42}} + O (z ^ {9}) \ jobb).}

Kölcsönös funkció

Az inverz hibafüggvény néha részt vesz a statisztikai képletekben . Soros bővítéssel írható le:

erf-1⁡(z)=∑k=0∞vs.k2k+1(π2z)2k+1{\ displaystyle \ kezelőnév {erf} ^ {- 1} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k}} {2k + 1}} \ bal ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1}}

hol és vs.0=1{\ displaystyle c_ {0} = 1}

vs.k=∑m=0k-1vs.mvs.k-1-m(m+1)(2m+1)={1,1,76.,127.90,...}{\ displaystyle c_ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k-1} {\ frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = \ bal \ {1,1, {\ frac {7} {6}}, {\ frac {127} {90}}, \ ldots \ right \}}

A következő fejlesztést kapjuk:

erf-1⁡(z)=12π(z+π12.z3+7π2480z5.+127.π340320z7+4369π45806080z9.+34807π5.182476800z11.+⋯){\ displaystyle \ kezelőnév {erf} ^ {- 1} (z) = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}} \ bal (z + {\ frac {\ pi} {12} } z ^ {3} + {\ frac {7 \ pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + {\ frac {127 \ pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + {\ frac {4369 \ pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + {\ frac {34807 \ pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + \ cdots \ right) }

( ennek a sorozatnak a konvergencia sugara 1-et ér, csak például | z | <1/2 esetén ad jó közelítő értékeket ).

Referencia

1. Ebben a témában lásd Liouville tételét .
2. (in) Eric W. Weisstein , "  Erfi  " a MathWorld- on .

• (en) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal [ kiadás részletei ] ( online olvasható ) , fejezet.  7

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Normális törvény
• Fresnel integrál
• Kiegészítő hiba funkció

Külső linkek

• (en) Eric W. Weisstein , „  Erf  ” , a MathWorld- on
• (en) Eric W. Weisstein , „  Erfi  ” , a MathWorld- on
• Steven G. Johnson és Joachim Wuttke, libcerf , C megvalósítás komplex érveléshez.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">