Referencia funkció

A matematikában a referenciafüggvény egy olyan funkció , amelyet egyszerűsége, példamutató jellege miatt tanulmányoztak, vagy annak érdekében, hogy egy nagyobb függvénycsalád tanulmányozásának alátámasztására szolgáljon.

A leggyakrabban vizsgált referenciafüggvények a lineáris függvények , a hatványfüggvények (beleértve a négyzetfüggvényt is , néha kiterjesztve a második fokozat összes funkciójára), a trigonometrikus függvény (koszinusz, szinusz) stb.

Bontás referenciafüggvényekre

Elv

Bizonyos függvényeket referenciafüggvényekké lehet bontani, ha ezt a függvényt referenciafüggvények összegeként vagy összetettjeként fejezzük ki. Ezután felhasználhatjuk a vegyülettel és két függvény összegével kapcsolatos tételeket a vizsgált függvény tulajdonságainak megismerésére.

Példa

Tekintsük az $f$ függvényt, amelyet a következők határoztak meg: $\ mathbb {R} ^ {{+ *}}$

f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt x}}}

Referenciafüggvényekre bontható az alábbiak szerint:

f = g \ circ (h + l)

ahol $g$ az inverz függvény , $h$ a négyzetfüggvény és $l$ a négyzetgyökfüggvény .

Használ

Származtatás Elv

Kiszámíthatjuk egy függvény deriváltját úgy, hogy referenciafüggvényekre bontjuk, felhasználva a származtatott műveletek tulajdonságait, nevezetesen többek között az összes $f$ és $g$ függvényre, amelyek differenciálhatók egy $I$ intervallumon :

(f + g) '= f' + g '~

(fg) '= f'g + fg' ~

és bármely funkció $f$ differenciálható $I$ és bármely funkció $g$ differenciálható $f ( I )$

(g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '

Például az $f$ függvény, amelyet az alábbiak határoznak meg: $\ mathbb {R} ^ {{+ *}}$

f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt x}}}

referenciafüggvényekre bontható az alábbiak szerint:

f '= [g \ circ (h + l)]' = [g '\ circ (h + l)] \ szor (h + l)'

f '= [g' \ circ (h + l)] \ szor (h '+ l')

Val vel:

h (x) = x ^ {2} ~

honnan

h '(x) = 2x ~

l (x) = {\ sqrt x}

honnan

l '(x) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt x}}}

g (x) = {\ frac {1} {x}}

honnan

g '(x) = {\ frac {-1} {x ^ {2}}}

(h '+ l') (x) = h '(x) + l' (x) = 2x + {\ frac {1} {2 {\ sqrt x}}}

(h + l) (x) = x ^ {2} + {\ sqrt x}

g '\ circ (h + l) = {\ frac {-1} {(x ^ {2} + {\ sqrt x}) ^ {2}}}

Honnan :

f '(x) = {\ frac {-1} {(x ^ {2} + {\ sqrt x}) ^ {2}}} \ alkalommal (2x + {\ frac {1} {2 {\ sqrt x }}})

Integráció Elv

Kiszámíthatjuk az f függvény integrálját egy intervallumon keresztül, referenciafüggvényekre bontva, amelyeknek ismerjük az integrált, majd az integrálok tulajdonságait alkalmazva, nevezetesen:

\ int _ {{a}} ^ {{b}} (f (x) + g (x)) \, {\ mathrm d} x = \ int _ {{a}} ^ {{b}} f ( x) \, {\ mathrm d} x + \ int _ {{a}} ^ {{b}} g (x) \, {\ mathrm d} x

\ forall \ lambda \ in {\ mathbb R}, \ int _ {{a}} ^ {{b}} \ lambda \, f (x) \, {\ mathrm d} x = \ lambda \, \ int _ {{a}} ^ {{b}} f (x) \, {\ mathrm d} x

Ez a módszer azonban nem vonatkozik az összetett függvényekre .

Referencia függvényhez társított funkciók

Elv

Azt mondják, hogy egy függvény egy referenciafüggvénnyel van társítva, amint azt megkapja a függvény affin függvényekkel való összeállításával.

Példák

Bármely másodfokú függvény a négyzetfüggvényhez társított függvény.
A par- on definiált $f$ függvény társul az inverz függvénnyel. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ bal \ {- 3 \ jobb \}}$ $f (x) = {\ frac {-2} {x + 3}} - 1$
A par- on definiált $g$ függvény a négyzetgyök függvényhez van társítva. ${\ displaystyle [1, + \ infty [}$ $g (x) = 2 {\ sqrt {x-1}}$

Lásd is

Kapcsolódó cikkek