A matematikában a különböző változók közötti egyenletet, ahol az egyik változót nem magyarázzák a többiekhez képest, implicit egyenletnek nevezzük . Az implicit függvény egy olyan függvény, amelyet implicit módon levezetnek egy ilyen egyenletből.
Pontosabban, ha f az E × F függvénye G-ben, ahol E, F és G normalizált vektorterek vagy egyszerűbben R intervallumai , az f ( x , y ) = 0 egyenlet egy implicit függvényt határoz meg, ha l 'lehet fejezze ki az egyik változót a másik függvényében az egyenletet kielégítő összes párra ( x , y ) .
Vagy az f ( x , y ) = 0 egyenlet megismétli az implicit függvényt E-től F-ig, ha létezik egy úgynevezett implicit függvény φ , amely minden ( x , y ) esetén E × F, f ( x , y ) = 0 egyenértékű y = φ ( x ) . Ez azt jelenti, hogy a bináris reláció grafikonja : x R y iff f ( x , y ) = 0 egy függvény grafikonja.
Néha be lehet bizonyítani egy implicit függvény lokális létezését egy két valós változót érintő egyenlet esetében, anélkül, hogy ezt kifejezetten bemutatnánk, az ilyen függvény létezésének és egyediségének elegendő feltételeit a cikk részletezi: az implicit függvények tétele .
Néha lehetséges és egyszerűbb egy implicit függvényt nem explicit formájában levezetni.
Ha f két valós változó numerikus függvénye, folytonos az ( x 0 , y 0 ) szomszédságában és differenciálható ( x 0 , y 0 ) , és ha f részleges deriváltja a második változóhoz képest folyamatos és nem nem köddé ( x 0 , y 0 ) , a származékot a φ az x 0 jelentése:
Ez a képlet azzal magyarázható, megjegyezve, hogy a gradiens a F at ( x 0 , y 0 ) van a koordinátái:
és jelzi az f legnagyobb variációjának irányát , míg a vektor ami rá normális jelzi a nulla variáció irányát, vagyis az f ( x , y ) = 0 egyenlet görbéjének érintőjének irányát .
Példa: az x 2 + y 2 = 1 egyenlet az f : ( x , y ) → x 2 + y 2 - 1 függvénnyel van társítva, amely a C 1 osztályba tartozik , azaz folyamatos differenciáldifferenciál. Mint és , bármely pontra ( x 0 , y 0 ) , ahol y 0 = φ ( x 0 ) nem nulla, megvan
Egy ilyen levezetés hasznos lehet abban az esetben, ha a függvényt lehetetlen megmagyarázni
Példa: Az y 5 + x 2 y + 2 = 0 egyenlet a C 1 osztály f függvényéhez kapcsolódik . Az egyenlet grafikonja egy függvény grafikonja, mert az x bármelyik értékére legfeljebb egy olyan érték létezik, amely y igazolja az egyenlőséget. Mint és bármely pontra ( x 0 , y 0 ) , ahol y 0 = φ ( x 0 ) , megvan Különösen x0 = 1 és y0 = –1 esetén φ ' (1) = 1/3