Hiperoperáció
A matematika , hyperoperations (vagy hyperoperators ) alkotnak egy végtelen sorozatát műveletek , amelyek logikailag kiterjeszti a sorozat a következő elemi aritmetikai műveletek:
-
összeadás (n = 1):
H1(nál nél,b)=nál nél+b=nál nél+1+1+⋯+1⏟b feltételeket{\ displaystyle {{H_ {1} (a, b) = a + b} \ atop \,} {= \ atop \,} {a \, + \ atop \,} {{\ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1}} \ tetején b {\ text {terms}}}}
![{\ displaystyle {{H_ {1} (a, b) = a + b} \ atop \,} {= \ atop \,} {a \, + \ atop \,} {{\ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1}} \ tetején b {\ text {terms}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8076bdbf26ffb05fbe8d67b41d0ff857b08471)
-
szorzás (n = 2):
H2(nál nél,b)=nál nél×b= nál nél+nál nél+⋯+nál nél⏟b feltételeket{\ displaystyle {{H_ {2} (a, b) = a \ times b = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a + a + \ cdots + a}} \ atop b {\ text { feltételek}}}}
![{\ displaystyle {{H_ {2} (a, b) = a \ times b = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a + a + \ cdots + a}} \ atop b {\ text { feltételek}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8e05c4c3a2139b15a24dc8855e940d4d1a1ad8)
-
hatványozás (n = 3):
H3(nál nél,b)=nál nélb= nál nél×nál nél×⋯×nál nél⏟b tényezők{\ displaystyle {{H_ {3} (a, b) = a ^ {b} = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a}} \ atop b {\ text {factor}}}}
![{\ displaystyle {{H_ {3} (a, b) = a ^ {b} = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a}} \ atop b {\ text {factor}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cf072307bec767aa75573d5fcc5cd15ab53d8a)
Reuben Goodstein azt javasolta, hogy a műveleteket a hatványozáson túl kereszteljék meg görög előtagokkal: tetráció ( n = 4), pentáció ( n = 5), hexáció ( n = 6) stb. Az n sorrendben történő hiperoperáció az n - 2 rangú Knuth nyíl segítségével figyelhető meg .
Hnem(nál nél,b)=nál nél↑nem-2b{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = a \ felfelé ^ {n-2} b}![{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = a \ felfelé ^ {n-2} b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a98819c84b8b44bc11a731cc6a4f5111e16c39)
Knuth m-es nyílát rekurzíven határozza meg: és
nál nél↑-1b=nál nél+b{\ displaystyle a \ felfelé ^ {- 1} b = a + b \,}
nál nél↑mb=nál nél↑m-1(nál nél↑m-1[nál nél↑m-1(...[nál nél↑m-1(nál nél↑m-1nál nél)]...)])⏟b másolatai nál nél,m≥0{\ displaystyle a \ uparrow ^ {m} b = \ underbrace {a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m-1} \ left [a \ uparrow ^ {m-1} \ left (\ ldots \ left [a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m-1} a \ right) \ right] \ ldots \ right) \ right] \ right)} _ {\ displaystyle b {\ mbox {másolatok}} a}, \ quad m \ geq 0}
A szabály segítségével is meghatározható . Mindegyik gyorsabban nő, mint az előző.
nál nél↑mb=nál nél↑m-1(nál nél↑m(b-1)){\ displaystyle a \ felfelé ^ {m} b = a \ felfelé ^ {m-1} \ balra (a \ felfelé ^ {m} (b-1) \ jobbra)}![{\ displaystyle a \ felfelé ^ {m} b = a \ felfelé ^ {m-1} \ balra (a \ felfelé ^ {m} (b-1) \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba5e0660036bf6d69df3a8e3ea480d465778f7a)
Hasonló lakosztályok történelmileg viselt különböző nevek, mint például a Ackermann függvény (3 pont), a hierarchia Ackermann , a hierarchia Grzegorczyk (általában), a változata Goodstein az Ackermann függvény , hiper- n .
Meghatározás
A hyperoperator szekvenciát a szekvencia a bináris műveletek által indexelt , meghatározott rekurzívan a következő:
Hnem:NEM×NEM→NEM{\ displaystyle H_ {n}: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}
nem∈NEM{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}![n \ ben \ N](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b)
Hnem(nál nél,b)={b+1ha nem=0nál nélha nem=1,b=00ha nem=2,b=01ha nem≥3,b=0Hnem-1(nál nél,Hnem(nál nél,b-1))ha nem{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = {\ begin {cases} b + 1 & {\ text {si}} n = 0 \\ a & {\ text {si}} n = 1, b = 0 \ \ 0 és {\ text {si}} n = 2, b = 0 \\ 1 & {\ text {si}} n \ geq 3, b = 0 \\ H_ {n-1} (a, H_ {n} (a, b-1)) és {\ text {különben}} \ vég {esetek}}}![{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = {\ begin {cases} b + 1 & {\ text {si}} n = 0 \\ a & {\ text {si}} n = 1, b = 0 \ \ 0 és {\ text {si}} n = 2, b = 0 \\ 1 & {\ text {si}} n \ geq 3, b = 0 \\ H_ {n-1} (a, H_ {n} (a, b-1)) és {\ text {különben}} \ vég {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacefdee99b8c8b5420202dfb3830cd6c3b6bbe8)
(Megjegyzés: n = 0 esetén figyelmen kívül hagyhatjuk az első argumentumot, mert akkor a hiperoperátor egyszerűen abból áll, hogy a második argumentumot egységgel növeli: szukcesszió.)
Az n = 0, 1, 2, 3, ez a meghatározás átveszi az elemi aritmetikai műveleteket, a következő sorrendben: egymás után, összeadás, szorzás, hatványozás. Megállapodás alapján tehát az elemi számtani műveleteket is hiperoperátoroknak kell tekinteni.
Az n ≥ 4, ez a szekvencia folytatódik új műveletek.
Itt van az első 7 hiperoperáció felsorolása:
nem
|
Hnem{\ displaystyle H_ {n}}
|
Sebészet
|
Meghatározás
|
Nevek
|
Érvényességi területek
|
---|
0
|
H0(nál nél,b){\ displaystyle H_ {0} (a, b)}
|
b+1{\ displaystyle b + 1}
|
1+1+1+1+⋯+1⏟b{\ displaystyle {1 + {\ alátét {1 + 1 + 1 + \ cdots +1} _ {b}}}}
|
utód , "zerálás"
|
b valóságos
|
---|
1
|
H1(nál nél,b){\ displaystyle H_ {1} (a, b)}
|
nál nél+b{\ displaystyle a + b}
|
nál nél+1+1+1+⋯+1⏟b{\ displaystyle {a + {\ alátét {1 + 1 + 1 + \ cdots +1} _ {b}}}}
|
kiegészítés
|
a és b valós
|
---|
2
|
H2(nál nél,b){\ displaystyle H_ {2} (a, b)}
|
nál nél⋅b{\ displaystyle a \ cdot b}
|
nál nél+nál nél+nál nél+⋯+nál nél⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a + a + a + \ cdots + a}} \ atop {b}}}
|
szorzás
|
a és b valós
|
---|
3
|
H3(nál nél,b){\ displaystyle H_ {3} (a, b)}
|
nál nél↑b=nál nélb{\ displaystyle a \ felfelé b = a ^ {b}}
|
nál nél⋅nál nél⋅nál nél⋅nál nél⋅...⋅nál nél⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a}} \ atop {b}}}
|
hatványozás
|
a > 0, b valós, vagy egy nem nulla, b egy egész szám. Kiterjesztések a komplex számok halmazában .
|
---|
4
|
H4(nál nél,b){\ displaystyle H_ {4} (a, b)}
|
nál nél↑↑b= bnál nél{\ displaystyle a \ felfelé \ felfelé b = \ ^ {b} a}
|
nál nél↑nál nél↑nál nél↑⋯↑nál nél⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ uparrow a \ uparrow \ uparrow \ cdots \ uparrow a}} \ atop {b}}}
|
tetráció
|
a > 0, b egész szám ≥ −1 (javasolt kiterjesztések)
|
---|
5.
|
H5.(nál nél,b){\ displaystyle H_ {5} (a, b)}
|
nál nél↑↑↑b{\ displaystyle a \ felfelé \ felfelé \ felfelé b} vagy nál nél↑3b{\ displaystyle a \ felfelé ^ {3} b}
|
nál nél↑↑nál nél↑↑⋯↑↑nál nél⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ cdots \ uparrow \ uparrow a}} \ tetején {b}}}
|
pentáció
|
a és b egész számok, a > 0, b ≥ 0
|
---|
6.
|
H6.(nál nél,b){\ displaystyle H_ {6} (a, b)}
|
nál nél↑4b{\ displaystyle a \ felfelé ^ {4} b}
|
nál nél↑3nál nél↑3⋯↑3nál nél⏟b{\ displaystyle {{\ underbrace {a \ uparrow ^ {3} a \ uparrow ^ {3} \ cdots \ uparrow ^ {3} a}} \ atop {b}}}
|
hexálás
|
a és b egész számok, a > 0, b ≥ 0
|
---|
Különleges esetek
H n (0, b ) =
0, ahol n = 2 vagy n = 3, b ≥ 1 vagy n ≥ 4, b páratlan (≥ −1)
1, ahol n = 3, b = 0 vagy n ≥ 4, b páros (≥ 0)
b , ahol n = 1
b + 1, ahol n = 0
H n ( a , 0) =
0, ahol n = 2
1, ahol n = 0 vagy n ≥ 3
a , ahol n = 1
H n ( a , −1) =
0, ahol n = 0 vagy n ≥ 4
a - 1, ahol n = 1
- a , ahol n = 2
1/nál nélahol n = 3
H n ( 2, 2 ) =
3, ahol n = 0
4, ahol n ≥ 1, indukcióval könnyen igazolható.
Történelem
Az egyik első megbeszélés a hiperoperátorok körül Albert Bennet volt 1914-ben, aki kidolgozta a kommutatív hiperoperációk elméletét .
12 évvel később Wilhelm Ackermann meghatározza azt a funkciót,
amely megközelíti a hiperoperátorok sorrendjét.
ϕ(nál nél,b,nem){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}![{\ displaystyle \ phi (a, b, n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1ee8f982368bd99ce763d1b3927909b227ec59)
Az ő 1947 cikket, Reuben Goodstein be a műveletek sorrendjét most hívott hyperoperations , és azt javasolta a nevét tetráció , pentation , stb hatványozáson túli műveletekhez (mert megfelelnek az alábbi 4., 5. stb. indexeknek). Három argumentumú függvény : a hiperoperációk sorrendje összehasonlítható Ackermann függvényével . Az eredeti Ackermann-függvény ugyanazt a rekurzív szabályt használja, mint Goodstein, de kétféleképpen különbözik tőle: Először a műveletek sorozatát határozza meg az összeadástól ( n = 0), nem pedig az utódlástól kezdve. Ekkor a kezdeti feltételek ebben különböznek a hatványozáson túli hiperoperációktól. A jelentése b + 1 a megelőző kifejezés az, hogy = , ahol b megszámlálja az üzemeltetők helyett száma operandus egy , akárcsak b a , stb magasabb szintű műveletek (lásd a funkció Ackermann további részletekért).
G(nem,nál nél,b)=Hnem(nál nél,b){\ displaystyle G (n, a, b) = H_ {n} (a, b)}
ϕ(nál nél,b,nem){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
ϕ(nál nél,b,nem){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
ϕ(nál nél,b,3)=nál nél↑↑(b+1){\ displaystyle \ phi (a, b, 3) = a \ felfelé \ felfelé (b + 1)}
ϕ(nál nél,b,3){\ displaystyle \ phi (a, b, 3)}
nál nélnál nél⋅⋅⋅nál nél{\ displaystyle a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}}}
nál nél↑↑b{\ displaystyle a \ felfelé \ felfelé b}![{\ displaystyle a \ felfelé \ felfelé b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616f8d6044c7705cdf29522aff5965d469c8e7af)
Jelölések
Számos jelölést fejlesztettek ki, amelyek alkalmazhatók a hiperoperátorokra.
Vezetéknév
|
A jelöléssel egyenértékű jelölés Hnem(nál nél,b){\ displaystyle H_ {n} (a, b)}
|
Megjegyzés
|
---|
Knuth nyilainak jelölése
|
nál nél↑nem-2b{\ displaystyle a \ felfelé ^ {n-2} b}
|
Knuth használta ( n ≥ 2 esetén), és különféle munkákban találkozott vele.
|
Goodstein-jelölés
|
G(nem,nál nél,b){\ displaystyle G (n, a, b)}
|
Által használt Reuben Goodstein .
|
Eredeti
Ackermann-függvény |
ϕ(nál nél,b,nem-1) mert 1≤nem≤3ϕ(nál nél,b-1,nem-1) mert nem>3{\ displaystyle {\ begin {mátrix} \ phi (a, b, n-1) \ {\ text {for}} 1 \ leq n \ leq 3 \\\ phi (a, b-1, n-1) \ {\ text {for}} n> 3 \ end {mátrix}}}
|
Által használt Wilhelm Ackermann .
|
Ackermann funkciója - fing
|
NÁL NÉL(nem,b-3)+3 mert nál nél=2{\ displaystyle A (n, b-3) +3 \ {\ text {for}} a = 2}
|
Ez megfelel a bázis 2 ( ) hiperoperációknak .
Hnem(2,b){\ displaystyle H_ {n} (2, b)}![{\ displaystyle H_ {n} (2, b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b933e60b1afad425634938bcd0c7a550254005ea) |
Nambiar jelölés
|
nál nél⊗nemb{\ displaystyle a \ otimes ^ {n} b}
|
Nambiar használta |
Doboz jelölése
|
nál nélnemb{\ displaystyle a {\, {\ begin {tömb} {| c |} \ hline {\! n \!} \\\ hline \ vége {tömb}} \,} b}
|
Rubtsov és Romerio használta.
|
Hatványjelölés
|
nál nél(nem)b{\ displaystyle a {} ^ {(n)} b}
|
Robert Munafo használta.
|
Index-besorolás
|
nál nél(nem)b{\ displaystyle a {} _ {(n)} b}
|
John Donner és Alfred Tarski használják ( n ≥ 1 esetén).
|
Jelölő zárójelek
|
nál nél[nem]b{\ displaystyle a [n] b}
|
Fórumokon használják, az egyszerűség kedvéért.
|
Conway láncnyilak jelölése
|
nál nél→b→(nem-2){\ displaystyle a \ rightarrow b \ rightarrow (n-2)}
|
Által használt John Horton Conway (az n ≥ 3).
|
Bowers jelölése
|
{nál nél,b,nem,1}{\ displaystyle \ {a, b, n, 1 \}}
|
Jonathan Bowers használta ( n ≥ 1 esetén).
|
Kezdve variánsa egy
1928-ban Wilhelm Ackermann meghatározott egy 3-argumentumú függvényt, amely fokozatosan az Ackermann -függvény néven ismert 2-argumentumú függvénnyé fejlődött . Az eredeti Ackermann-függvény kevésbé hasonlított a modern hiperoperációkra, mivel kezdeti feltételei minden n > 2- vel kezdődnek. Ezenkívül az összeadást n = 0-hoz, a szorzást n = 1-hez és az hatványozást n = 2-hez rendeljük , így a kezdeti feltételek igen eltérő műveleteket a tetráció és az azt követő hyperoperations.
ϕ(nál nél,b,nem){\ displaystyle \ phi (a, b, n)}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
ϕ(nál nél,0,nem)=nál nél{\ displaystyle \ phi (a, 0, n) = a}![{\ displaystyle \ phi (a, 0, n) = a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a5d10446dbed4df660005c95eb26b1a2d3529b)
nem
|
Sebészet
|
Megjegyzés
|
---|
0
|
F0(nál nél,b)=nál nél+b{\ displaystyle F_ {0} (a, b) = a + b}
|
|
---|
1
|
F1(nál nél,b)=nál nél⋅b{\ displaystyle F_ {1} (a, b) = a \ cdot b}
|
|
---|
2
|
F2(nál nél,b)=nál nélb{\ displaystyle F_ {2} (a, b) = a ^ {b}}
|
|
---|
3
|
F3(nál nél,b)=nál nél↑↑(b+1){\ displaystyle F_ {3} (a, b) = a \ felfelé \ felfelé (b + 1)}
|
Az iteráció ez a művelet eltér az iteráció a tetráció.
|
---|
4
|
F4(nál nél,b)=(x↦nál nél↑↑(x+1))b(nál nél){\ displaystyle F_ {4} (a, b) = (x \ leképez egy \ felfelé \ felfelé (x + 1)) ^ {b} (a)}
|
Nem tévesztendő össze a megbánással .
|
---|
Egy másik kezdeti feltétel, amelyet használtak (ahol az alap állandó ), Rózsa Péter miatt , amely nem képezi a hiperoperációk hierarchiáját.
NÁL NÉL(0,b)=2b+1{\ displaystyle A (0, b) = 2b + 1}
nál nél=2{\ displaystyle a = 2}![{\ displaystyle a = 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4208bf5a67fc2ceb3a3bcd75aebb1d74fbb531bd)
Kezdő változat 0-tól
1984-ben CW Clenshaw és FWJ Olver vitatni kezdték a hiperoperációk alkalmazását a lebegőpontos számítógépes hibák megelőzésére . Azóta sok más szerző érdeklődött a hiperoperációk lebegőpontos reprezentációban történő alkalmazása iránt (mivel H n ( a , b ) mindegyike meg van határozva b = –1 esetén). A tetráció tárgyalása közben Clenshaw és mtsai. támogatta a kezdeti feltételt , és végrehajtotta a hiperoperációk újabb hierarchiáját. Az előző változathoz hasonlóan a negyedik művelet is nagyon hasonlít a tetrációhoz, de eltér tőle.
Fnem(nál nél,0)=0{\ displaystyle F_ {n} (a, 0) = 0}![{\ displaystyle F_ {n} (a, 0) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabb80b40ec1f633dc0dcfa919efd7bcb5afdeeb)
nem
|
Sebészet
|
Megjegyzés
|
---|
0
|
F0(nál nél,b)=b+1{\ displaystyle F_ {0} (a, b) = b + 1}
|
|
---|
1
|
F1(nál nél,b)=nál nél+b{\ displaystyle F_ {1} (a, b) = a + b}
|
|
---|
2
|
F2(nál nél,b)=nál nél⋅b=eln(nál nél)+ln(b){\ displaystyle F_ {2} (a, b) = a \ cdot b = e ^ {\ ln (a) + \ ln (b)}}
|
|
---|
3
|
F3(nál nél,b)=nál nélb{\ displaystyle F_ {3} (a, b) = a ^ {b}}
|
|
---|
4
|
F4(nál nél,b)=nál nél↑↑(b-1){\ displaystyle F_ {4} (a, b) = a \ felfelé \ felfelé (b-1)}
|
Ennek a műveletnek az iterációja különbözik a tetráció iterációjától.
|
---|
5.
|
F5.(nál nél,b)=(x↦nál nél↑↑(x-1))b(0)=0 ha nál nél>0{\ displaystyle F_ {5} (a, b) = \ balra (x \ mapsto a \ felfelé \ felfelé (x-1) \ jobbra) ^ {b} (0) = 0 {\ text {si}} a> 0}
|
Nem tévesztendő össze a pentációval .
|
---|
Lásd is
Hivatkozások
(
Fr ) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Hyperoperation ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
(en) Daniel Geisler: „ Mi áll a hatványozáson túl? " ,2003(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(in) AJ Robbins, " A tetráció otthona " ,2005. november(megtekintés : 2009. április 17. )
-
(en) CA Rubtsov és GF Romerio, " Ackermann funkciója és új számtani művelet " ,2005. december(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(en) RL Goodstein, „ Transfinite ordinals in recursive number theory ” , Journal of Symbolic Logic , vol. 12, n o 4,1947, P. 123–129 ( DOI 10.2307 / 2266486 , JSTOR 2266486 ).
-
(in) Harvey Friedman, " Long véges sorozatok " , Journal of Kombinatorikus Theory, A sorozat , vol. 95, n o 1,2001, P. 102–144 ( DOI 10.1006 / jcta.2000.3154 , online olvasás , hozzáférés : 2009. április 17. ).
-
.
-
(in) Marc Wirz " jellemzése Grzegorczyk hierarchia biztonságos rekurzió " , CiteSeer,1999(megtekintés : 2009. április 21. ) .
-
(in) Markus Müller, " Reihenalgebra " ,1993(megtekintés : 2009. április 17. )
-
(en) Robert Munafo, " Új operátorok és funkciók feltalálása " , nagy számok az MROB-nál ,1999. november(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(in) IN Galidakis, " Matematika " ,2003(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(in) Albert Bennett, " A harmadik évfolyam egyéves jegyzete " , Annals of Mathematics , 2 E sorozat, 1. évf. 17, n o 21915 december, P. 74–75 ( JSTOR 2007124 ).
-
(de) Wilhelm Ackermann, " Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen " , Mathematische Annalen , vol. 99,1928, P. 118-133 ( DOI 10.1007 / BF01459088 ).
-
(in) Paul E. Black, " Ackermann's function " ( Archívum • Wikiwix • Archive.is • Google • Mit kell tenni? ) , Algoritmusok és adatszerkezetek szótára , az Egyesült Államok Nemzeti Szabványügyi és Technológiai Intézete (NIST)2009. március 16(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(in) Robert Munafo, " változatai Ackermann függvény " , nagy számban MROB ,1999. november 3(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(a) J. Cowles és T. Bailey, " Több változat Ackermann Function " , Dept. Számítástudományi Egyetem, Wyomingi Egyetem, Laramie, WY,1988. szeptember 30(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(in) Donald E. Knuth, " Matematika és Számítástudomány: Megküzdés végesség " , Science , vol. 194, n o 4271,1976. december, P. 1235-1242 ( PMID 17797067 , DOI 10.1126 / science.194.4271.1235 , online olvasás , hozzáférés : 2009. április 21. ).
-
(in) Daniel Zwillinger, CRC szabványos matematikai táblázatokat és képleteket , Boca Raton, CRC Press ,2002, 31 th ed. ( ISBN 978-1-58488-291-6 ) , p. 4.
-
(in) Eric W. Weisstein, CRC tömör Encyclopedia of Mathematics , Boca Raton, CRC Press ,2003, 2 nd ed. , 3242 p. ( ISBN 978-1-58488-347-0 , LCCN 2002074126 ) , p. 127-128.
-
(in) KK Nambiar, " Ackermann-függvények és transzfinális rendek " , Applied Mathematics Letters , vol. 8, n o 6,1995, P. 51–53 ( DOI 10.1016 / 0893-9659 (95) 00084-4 , online olvasás , hozzáférés : 2009. április 21 ).
-
(in) John Donner és Alfred Tarski, " A sorszámok kiterjesztett számtana " , Fundamenta Mathematicae , vol. 65,1969, P. 95-127.
-
(in) CW Clenshaw és FWJ Olver, " A lebegőponton túl " , Journal of the ACM , vol. 31, n o 2
1984. április, P. 319-328 ( DOI 10.1145 / 62.322429 , online olvasás ).
-
(in) WN Holmes, " Kompozit számtan: Javaslat egy új szabványra " , Computer , vol. 30, n o 3,
1997 március, P. 65–73 ( DOI 10.1109 / 2.573666 , online olvasás , hozzáférés : 2009. április 21. ).
-
(in) R. Zimmermann, " Számítógépes számtan: alapelvek, építészet és VLSI tervezés " , Előadási jegyzetek, Integrált Rendszerek Laboratórium, ETH Zürich,
1997(megtekintés : 2009. április 17. ) .
-
(a) T. Pinkiewicz N. Holmes és T. Jamil, " Design of a kompozit aritmetikai egység számára racionális számokat " , Proceedings of the IEEE,2000(megtekintés : 2009. április 17. ) ,p. 245-252.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">