Hypocycloid
A hipocikloid egy transzcendens síkgörbe , egy körhöz rögzített pont pályája , amely anélkül gördül, hogy elcsúszik egy másik rendezőnek nevezett körön és ezen belül. Ezért a centrális cikloid speciális esete , amely a cikloid görbe kategóriája .
Etimológia és történelem
A szó a cikloid kiterjesztése, amelyet Galileo 1599-ben hozott létre , és ugyanaz az etimológiája: a görög hupo (al), kuklos (kör, kerék) és eidos (alak, „hasonló”) szóból származik .
Magát a görbét Albrecht Dürer tanulmányozta 1525-ben, Rømer 1674-ben (aki megnevezte) és Daniel Bernoulli 1725-ben.
Matematikai meghatározás
A hipocikloid a következő paraméteres egyenlettel határozható meg:
x(θ)=(R-r)kötözősalátaθ+rkötözősaláta(R-rrθ)(1){\ displaystyle x (\ theta) = (Rr) \ cos \ theta + r \ cos \ bal ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right) \, \ qquad (1)}
y(θ)=(R-r)bűnθ-rbűn(R-rrθ)(2){\ displaystyle y (\ theta) = (Rr) \ sin \ theta -r \ sin \ bal ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right) \, \ qquad (2)}
hol van az alapkör sugara és a gördülő kör sugara . Ezzel az egyenlet tehát felírható:
R{\ displaystyle R \,}r{\ displaystyle r \,}q=Rr{\ displaystyle q = {R \ felett r}}
x(θ)=r[(q-1)kötözősalátaθ+kötözősaláta((q-1)θ)]{\ displaystyle x (\ theta) = r \ left [(q-1) \ cos \ theta + \ cos ((q-1) \ theta) \ right] \,}
y(θ)=r[(q-1)bűnθ-bűn((q-1)θ)]{\ displaystyle y (\ theta) = r \ left [(q-1) \ sin \ theta - \ sin ((q-1) \ theta) \ right] \,}
Meghatározás a komplex síkban
Hasznos lehet komplex jelölésre váltani, és a következő egyenletet kapjuk:
z=x+ény{\ displaystyle z = x + iy}
z(θ)=(R-r)eénθ+re-R-rrénθ.{\ displaystyle z (\ theta) = (Rr) e ^ {i \ theta} + re ^ {- {\ frac {Rr} {r}} i \ theta} \,.}
Ha a mozgás leírásának sebességét a t idővel szeretnénk kifejezni, be kell vezetnünk a két lüktetéstω1=θt=rR-rω2.{\ displaystyle \ omega _ {1} = {\ frac {\ theta} {t}} = {\ frac {r} {Rr}} \ omega _ {2} \,.}
A kis kör középpontjának összetett koordinátája egyszerűen és a kis körnek a középpontjához viszonyított pontja . E két komplex szám összege ekkor megadja a kis kör pontjának komplex koordinátáját a nagy középpontjához képest.
(R-r)eénω1t{\ displaystyle (Rr) e ^ {i \ omega _ {1} t}}re-énω2t{\ displaystyle re ^ {- i \ omega _ {2} t}}
Így és általánosabban meghatározhatunk egy hipocikloidot az összetett sík egyenletével:
z(t)=r1eénω1t+r2e-énω2t{\ displaystyle z (t) = r_ {1} e ^ {i \ omega _ {1} t} + r_ {2} e ^ {- i \ omega _ {2} t} \ qquad} azzal a feltétellel
r1ω1=r2ω2(3){\ displaystyle \ qquad r_ {1} \ omega _ {1} = r_ {2} \ omega _ {2} \ qquad \ qquad (3)}
A feltétel valójában kifejezi a t és a súrlódási pont által a t idő alatt áthaladó kis és nagy körívek hosszának egyenlőségét, és ezért azt jelzi, hogy a kis kör nem csúszik elforgatásában a nagy körön belül. Ezért amikor a kis kör egy pontja, vagyis a hipocikloid érintkezik a nagy körrel, annak sebessége nulla, ami egy csúcsnak felel meg.
r1ω1t=r2ω2t{\ displaystyle r_ {1} \ omega _ {1} t = r_ {2} \ omega _ {2} t}
Végül vegye figyelembe, hogy a (3) egyenlet definíciója geometriai úton is értelmezhető más módon (a kettős generáció tulajdonsága ) a két vektor összegének kommutativitása miatt, és hogy a hipocikloid egyben egy „kis körmozgás amely hozzáadódik egy nagy körmozgással az ellenkező irányba .
r2{\ displaystyle r_ {2}}r1{\ displaystyle r_ {1}}
Tulajdonságok
A görbét izometrikus ívek (ún. Ívek) alkotják, amelyeket csomók választanak el. Ha q racionális (és ezért q = a / b írható, ahol a és b közöttük egész számok vannak), az a görbe íveinek számát jelenti. Ezt a két mennyiséget a következőképpen is láthatjuk:
- a a gördülő kör azon forgatásainak számát jelenti, amelyek szükségesek ahhoz, hogy a mobil pont visszatérjen a kiindulási helyzetbe,
- b jelzi az alapkör fordulatainak számát, amelyek szükségesek a gördülő kör visszatéréséhez a kiindulási ponthoz.
A csészéket kapjuk . A hossza a boltív van .
Ha q egész szám, akkor a görbe teljes hossza az alapkör hosszának a szorosa, a teljes terület pedig az alapkörének a szorosa.
θ=2kπq{\ displaystyle \ theta = {\ frac {2k \ pi} {q}}}8.q-1q2R{\ displaystyle 8 {\ frac {q-1} {q ^ {2}}} R}
4π(1-1q){\ displaystyle {4 \ over \ pi} \ balra (1- {1 \ q felett \ jobbra}}(1-1q)(1-2q){\ displaystyle \ bal (1- {1 \ felett q} \ jobb) \ bal (1- {2 \ felett q} \ jobb)}
A kettős generációs tétel bebizonyítja, hogy a hipocikloid egyben pericycloid is, vagyis az a görbe, amelyet egy r + R sugarú kör egy pontja ír le, és anélkül gördül, hogy ezen az irányító körön csúszik, miközben azt tartalmazza.
A Foucault-inga kis rezgései szintén hipocikloidot képeznek.
Lásd is
- Ha a mobil pont nincs rögzítve a gördülő körön, hanem ennek külső vagy belső oldalán, akkor hipotrochoidról beszél , ami a trochoid sajátos esete . Ha a görbék felidézni a rajzok által létrehozott spirograph , meg kell jegyezni, hogy ez a készülék termel hypotrochoids és nem hipociklois.
- Amikor a mobil kör a rendezői körön kívül fordul, az így megrajzolt görbét epicikloidnak nevezzük .
- Ha R = 2r, akkor a hipocikloid az alapkör átmérője (lásd a La Hire-tételt és az Oldham-ízület működését ).
- Ha R = 3r, a hipocikloid egy deltoid . Akkor kapunk azonos értéket, ha R = 3/2 x r. Ebben az esetben ez a gördülő kör átmérőjének burkolata is.
- Ha R = 4r, a hipocikloid egy asztroid . Ugyanolyan ábrát kapunk, ha R = 4/3 x r. Ebben az esetben az R állandó hosszúságú szakasz borítéka is, amelynek végei egy ortonormális koordinátarendszer tengelyeit írják le.
Bibliográfia
-
Marcel Berger , Geometria [ a kiadások részlete ]( 1. kötet)
- Jean-Denis Eiden, Klasszikus analitikai geometria, Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
-
Kis matematika-enciklopédia (Ed. Didier)
-
Modern módszerek a geometriában , Jean Fresnel
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">