Az ergodikus hipotézis vagy ergodicitási hipotézis a statisztikai fizika alapvető hipotézise . Eredetileg Ludwig Boltzmann fogalmazta meg 1871-ben a gázok kinetikai elmélete céljából . Ezután nagyon nagy részecskékből álló rendszerekre vonatkozott, és megerősítette, hogy egyensúlyi állapotban a statisztikailag kiszámított mennyiség átlagos értéke megegyezik az időben elvégzett nagyon sok mérés átlagával. Az első érték az, amely statisztikai fizikával kiszámítható, a második közel áll a kísérletileg mérhető értékhez. Az ergodikus hipotézis tehát alapvető az elmélet és a tapasztalat közötti jó kapcsolat szempontjából.
Az ergodikus hipotézist igazoló rendszert ergodikus rendszernek fogják nevezni . A legtöbb esetben nagyon nehéz szigorúan bizonyítani, hogy a rendszer ergodikus vagy sem. Ennek a problémának a matematikai elemzése szülte az ergodikus elméletet, amely meghatározza a hipotézis matematikai jellegét és eredményeket ad annak érvényességi feltételeiről. De az ergodikus hipotézis gyakran egyszerű hipotézis marad, amelyet valószínűleg utólag tartanak valószínűnek , amikor lehetővé teszi a helyes előrejelzéseket. Ebben az értelemben a statisztikai fizika gyenge pontját képezi.
Az ergodicitási hipotézis részt vesz a jelfeldolgozásban is , ahol abból áll, hogy elismerjük, hogy egy véletlenszerű jel időbeli alakulása ugyanazt az információt szolgáltatja, mint a megvalósítások halmaza. Fontos a Markov-láncok , az álló folyamatok tanulmányozása és a gépi tanulás szempontjából .
Intuitív módon, és egy gáz példáját figyelembe véve, az azt alkotó részecskék milliárdjai egymás másolatának tekinthetők, és mindegyik véletlenszerűen viselkedik. Mindegyik véletlenszerű, valószínűleg eltérő pozíció- és sebességértéket vesz fel egy adott időpontban. Az átlagos részecske sebesség kiszámítható az összes részecske adott időpontban érvényes sebességének összegzésével. Az átlagot azonban úgy is kiszámíthatjuk, hogy egyetlen részecskét veszünk figyelembe, de sebességét különböző időpontokban mérjük. Az ergodicitási hipotézis azt jelenti, hogy a két módszer egyenértékű.
Gondolhatunk egyetlen faj erdőjére is, és érdeklődhetünk egy fa növekedéséről az idő függvényében: az ergodikus hipotézis azt jelenti, hogy hasonlónak tekintjük az erdőt egy adott pillanatban, vagy egy fát annak teljes hosszában az élet annak érdekében, hogy megismerje annak fejlődését (például rögzítse a törzs átmérőjét az idő függvényében, vagy megmérje az erdő összes átmérőjét és átadja a fa életkorának megfelelően).
Az ergodikus hipotézis a gázok kinetikai elméletével és a statisztikai fizikával született meg a XIX . Század második felében . Eredetileg által megfogalmazott Ludwig Boltzmann az 1871 , valamint Maxwell .
Az „ergodikus hipotézis” elnevezést az Ehrenfest házaspár csak 1911- ben vezette be a statisztikai fizika alapjairól szóló híres áttekintő cikkükben (vö. Bibliográfia). A görög εργος kifejezésekből épül fel, amelyek jelentése: "munka", és "οδος": "út". Boltzmann már 1884-ben használt egy rokon szót, az " ergoden " -t, de ennek a szónak egészen más jelentést adott.
Vagyis egy olyan szabadságfokú rendszer, amelyet jelenleg a következők írnak le :
A koordináták minden pillanatban meghatároznak egy pontot a fázistérben . Ez a pont a rendszer akkori állapotát mutatja .
Azt is figyelembe vesszük, hogy a rendszer egyensúlyban van, vagyis tulajdonságai változatlanok az idő múlásával. Egy ilyen rendszer mindig kielégíti az energiatakarékosságot, amelyet írnak:
úgyhogy dinamikus még mindig korlátozott a hiperfelület a méreteket. A következőkben azt feltételezzük, hogy a figyelembe vett Hamilton-rendszer invariáns az időben történő fordítással, és hogy az energián kívül nincs más mozgásállandója .
A rendszer dinamikus evolúciója a kanonikus Hamilton- egyenletek alapján egy kezdeti feltételből generálja a Hamilton- áramlást , vagyis a folytonos csoportot egy olyan paraméterrel , mint:
A fázistérben a pozíciók egymásutánja folytonos görbe , amelyet pályának nevezünk .
Mérhető fizikai mennyiségnek egy olyan funkció felel meg a fázistérben, amely a rendszer állapotának megfelelő minden pontban társít egy értéket. Megjegyezzük ezt a funkciót. Ennek a mennyiségnek két különálló átlagértéke van. Tudjuk, hogy egy idő átlagosan azáltal, hogy az átlagos egy sor mérések kellően hosszú ideig. Matematikailag a határértékkel képviseljük (ha létezik):
.Ez az átlagérték eleve a kezdeti állapottól függ .
Azt is meghatározza a teljes átlag az , vagy microcanonical átlagos képviseletében:
, hol van egy mérés a fázistéren.Az általános átlagnak és az időátlagnak nincs eleve oka az egyenlőségre. Az ergodikus hipotézis azt feltételezi, hogy azok vannak.
A rendszer időbeli fejlődését a Hamilton-áramlás, vagyis az alkalmazás határozza meg . Ezt a térképet akkor mondhatjuk ergodikusnak egy adott mértéknél, ha bármely mérhető halmaz invariáns értéke nulla, vagy nulla mértékű.
Birkhoff tétele azt mutatja, hogy amikor a térkép ergodikus, a térbeli és az időbeli átlag valóban szinte mindenhol azonos.
Birkhoff fentebb bemutatott tétele lehetővé teszi az ergodikus hipotézis megfogalmazását már nem az átlag egyenlőségeként, hanem a Hamilton-áramlás tulajdonságainak függvényében , vagyis a rendszer reprezentatív pontjának evolúciójával az l fázistérben. .
Ezután két különálló ergodikus hipotézist különböztethetünk meg:
Az időben történő fordítással invariáns Hamilton-rendszerről azt mondjuk, hogy erős értelemben ergodikus, ha ennek a rendszernek a reprezentatív pontja az idő folyamán átmegy az állandó energia hiperfelületének minden pontján .
Az időben történő fordítással invariáns hamiltoni rendszerről azt mondjuk, hogy gyenge értelemben ergodikus, ha ennek a rendszernek a reprezentatív pontja az idő múlásával olyan közel megy át , amennyire csak akarja az állandó energia hiperfelület minden egyes pontja .
Boltzmann és Maxwell válogatás nélkül használta fel a két állítást. A két korábbi ergodikus hipotézis matematikai nem egyenértékűségét csak Hertz Pál ismerte el 1910-ben.
Az eredmények felhasználásával a halmazelmélet a Cantor , másrészről a méréselmélet a Lebesgue Másrészt, a két matematikus Plancherel és Rosenthal függetlenül bizonyítja a következő tétel:
A hamiltoni áramlás nem lehet ergodikus (erős értelemben).Másrészt azóta bebizonyosodott, hogy bizonyos rendszerek gyenge értelemben ergodikusak lehetnek; vö. a cikk ergodikus elmélete .
Az ergodikus elméletben és a káoszelméletben elért jelentős előrelépés ellenére az ergodikus hipotézis alkalmazása a mikrokanonikus együttes statisztikai mechanikában történő alkalmazásának igazolására a mai napig vitatott.