Newton kilétét

A matematika , különösen az algebra , Newton identitások (más néven Newton-Girard formulák ) olyan kapcsolatok kétféle szimmetrikus polinomok , elemi szimmetrikus polinomok , és Newton s összegeket , vagyis vagyis az összegeket hatásköre határozatlan azok. Értékelték a gyökerek egy polinom P egy változó, ezek az identitások teszi, hogy kifejezze az összegeket a k -ik hatáskörét valamennyi gyökerei P(sokaságukkal számolva) a P együtthatóinak függvényében , anélkül, hogy ezeket a gyökereket meg kellene határoznunk. Ezek a képletek újra felfedezték az Isaac Newton körül 1666, látszólag anélkül kellett ismerete analóg munkáját Albert Girard a 1629. Ezek alkalmazások számos matematikai területeken, mint például az elmélet Galois , a elméletének invariánsainak a csoportok elmélete , kombinatorika , és még nem matematikai területeken is, például az általános relativitáselméletben .

Matematikai megállapítás

Szimmetrikus polinomok szerinti megfogalmazás

Legyen $x 1 , ..., x n$ változó; Bármely nem nulla természetes k szám esetén $p k-val ( x 1 , ..., x n )$ jelöljük a $k-$ hatványok összegét:

{\ displaystyle p_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}): = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k} = x_ {1} ^ { k} + \ cdots + x_ {n} ^ {k}}

( Newton összegének hívják )

és $k \geq 0$ esetén $e k-vel ( x 1 , ..., x n )$ jelöljük az elemi szimmetrikus polinomot, amely k különböző változók elkülönülő szorzatainak összege az n között ; így különösen

{\ displaystyle {\ begin {aligned} e_ {0} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = 1, \\ e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) & = x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}, \\ e_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = \ textstyle \ summa \ korlátok _ {1 \ leq i <j \ leq n} x_ {i} x_ {j}, \\ ... \\ e_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = x_ {1 } x_ {2} \ cdots x_ {n}, \\ e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = 0, \ quad {\ text {for}} \ k> n. \\\ end {igazítva}}}

Ezután Newton személyazonosságát írják:

ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} (- 1) ^ {{i-1}} e _ {{ki }} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),

igaz kapcsolatok mindenre . Így megkapjuk k első értékeire : $k \ in \ mathbb {N} ^ {*}$

{\ begin {aligned} e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = p_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ 2e_ {2 } (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) - p_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ 3e_ {3} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & = e_ {2} ( x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) - e_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) p_ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + p_ {3} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}). \\\ end {igazított}}

Ezeknek a kapcsolatoknak a formája nem függ a változók n számától (de az n- edik azonosság után a bal oldal nullává válik ), ami lehetővé teszi számukra, hogy identitásként jelöljük őket a szimmetrikus polinomok gyűrűjében . Ebben a gyűrűben:

{\ begin {aligned} e_ {1} & = p_ {1}, \\ 2e_ {2} & = e_ {1} p_ {1} -p_ {2}, \\ 3e_ {3} & = e_ {2 } p_ {1} -e_ {1} p_ {2} + p_ {3}, \\ 4e_ {4} és = e_ {3} p_ {1} -e_ {2} p_ {2} + e_ {1} p_ {3} -p_ {4}, \\\ vége {igazítva}}

Stb ; ebben az esetben a bal oldal soha nem törlődik ki.

Ezek az egyenletek lehetővé teszik az $e i$ indukcióval való kifejeződését a $p k függvényében$ ; fordítva, átírva őket:

{\ begin {aligned} p_ {1} & = e_ {1}, \\ p_ {2} & = e_ {1} p_ {1} -2e_ {2}, \\ p_ {3} & = e_ {1 } p_ {2} -e_ {2} p_ {1} + 3e_ {3}, \\ p_ {4} és = e_ {1} p_ {3} -e_ {2} p_ {2} + e_ {3} p_ {1} -4e_ {4}, \ quad {\ text {stb.}} \\\ end {igazítva}}

kifejezhetjük a p i- t az e k függvényében .

Alkalmazás a polinom gyökereihez

Ha $x i-$ t paraméterként vesszük, és nem változóként, akkor vegyük figyelembe a $t$ egységnyi polinomot , amelynek $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ gyökerei vannak :

\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} \ balra (t-x_ {i} \ jobbra) = \ összeg _ {{k = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {{k} } a_ {k} t ^ {{nk}},

ahol az $a k$ együtthatókat a gyökerek elemi szimmetrikus polinomjai adják meg: $a k = e k ( x 1 ,\dots, x n )$ . A gyökerek hatványainak összegét (amelyet Newton-összegeknek is nevezünk ) ezután kifejezhetjük a polinom együtthatóinak függvényében, Newton azonosságainak lépésről lépésre történő alkalmazásával: $s_ {k} = p_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ összeg _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} ^ {k},$

{\ begin {aligned} s_ {1} & = a_ {1}, \\ s_ {2} & = a_ {1} s_ {1} -2a_ {2}, \\ s_ {3} & = a_ {1 } s_ {2} -a_ {2} s_ {1} + 3a_ {3}, \\ s_ {4} & = a_ {1} s_ {3} -a_ {2} s_ {2} + a_ {3} s_ {1} -4a_ {4}, \ quad {\ text {stb.}} \\\ end {igazítva}}

Alkalmazás egy mátrix jellegzetes polinomjára

Amikor a polinom az előző bekezdésben a karakterisztikus polinomja egy mátrix Egy , a gyökerek $x i$ a sajátértékei a A (megszámoltuk azok algebrai multiplicitás). Bármely k egész szám esetén az A k mátrix az $x$ sajátértékekre vonatkozik $k i$ (a megfelelő multiplicitásokkal). Az együtthatók a karakterisztikus polinomja A k majd adni az elemi szimmetrikus polinomok ezek az erők $x k i$ . Különösen $x$ összege $k i$ által adott nyoma az A k : $s k = tr ( A k )$ .

Newton identitásokat így csatlakoztassa a nyomában A k együtthatók a karakterisztikus polinom A . Ezzel szemben, használja őket, hogy kiszámítja az elemi szimmetrikus polinomok a összegeket hatalmak ezért lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a karakterisztikus polinomja A kiszámításával csak a hatáskörét A és azok nyomait, majd megoldásával háromszög alakú egyenletek. A Cayley-Hamilton-tétel , majd lehetővé teszi, hogy egyszerűen levonja az inverz mátrixa A .

Ezek a számítások (hatékony formában átírva) alkotják a Faddeev-Leverrier algoritmust , amely 1840-ből származik; ennek az algoritmusnak a gyors, párhuzamos megvalósítása Csanky Lazslo (1976) köszönhető. Ehhez azonban meg kell osztani (egész számokkal), ezért általában csak a 0-ra jellemző mezőkben használható. Csanky megvalósítása azt mutatja, hogy ezek a különböző számítások ( ebben az esetben) az NC komplexitási osztályban .

Kapcsolat a Galois-elmélettel

Egy adott n , az elemi szimmetrikus polinomok $e k ( x 1 , ..., x n )$ a k = 1, ..., n alkotnak „ algebrai alapján ” a kommutatív algebra szimmetrikus polinomok a $x 1 , ..., x n$ , vagyis bármely szimmetrikus polinom ezen elementáris szimmetrikus polinomok polinomfüggvényeként van kifejezve, és hogy ez a kifejezés egyedi. Ez a szimmetrikus polinomok alapvető tételének neve alatt ismert általános eredmény egyértelművé tehető (Newton azonosságainak felhasználásával) Newton összegei esetén. Így arra az egységpolinomra alkalmazva, amelynek az $a$ $k$ együtthatóit paraméternek tekintjük, ez azt jelenti, hogy gyökei bármely $S$ $($ $x$ $1$ $,\dots,$ $x$ $n$ $)$ polinomfüggvényét $P$ polinomfüggvényként írhatjuk fel $($ $a$ $1$ $,\dots,$ $a$ $n$ $)$ csak együtthatóiból, vagyis anélkül, hogy ezeket a gyökereket ki kellene számítani. Ez a Galois-elméletből is levezethető , az $a$ $k-$ t $egy$ $alapmező$ elemének tekintve; a gyökerek ekkor ennek a mezőnek a kiterjesztésében vannak, és ennek a kiterjesztésnek a Galois-csoportja a teljes szimmetrikus csoport szerint áthatja őket; ennek a Galois-csoportnak az összes eleme által invariáns mező az alapmező. $\ textstyle t ^ {n} + \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} (- 1) ^ {{k}} a_ {k} t ^ {{nk}}$

Ezzel szemben Newton azonosságai lehetővé teszik számunkra, hogy elemi szimmetrikus polinomokat fejezzünk ki Newton összegeinek függvényében, és megmutassuk, hogy ezek az összegek a szimmetrikus polinomok kommutatív algebrájának „algebrai alapját” is alkotják.

Tüntetések

Minden identitás ellenőrizhető közvetlenül egy egyszerű algebrai számítással, de az általános eset bemutatást igényel. Íme néhány lehetséges út:

Az n = k speciális esetből

A k- edik Newton azonosságát k változóban helyettesítéssel kapjuk meg az $e k-t$ meghatározó képletben :

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {k} (t-x_ {i}) = \ összeg _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {ki} e_ {ki} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) t ^ {i}.}

Behelyettesítve x j a t , van:

{\ displaystyle 0 = \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {ki} e_ {ki} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) {x_ {j}} ^ {i} \ quad {\ text {for}} 1 \ leq j \ leq k.}

A j halmazát összegezve kapjuk:

{\ displaystyle 0 = (- 1) ^ {k} ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) + \ sum _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ { ki} e_ {ki} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) p_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}).}

(Az i = 0 pontban levő kifejezések el vannak választva az összegtől, mert p 0 általában nincs meghatározva.)

Ez az egyenlet azonnal megadja a keresett azonosságot. Az n < k változóknak megfelelő azonosságokat a k - n hátralévő változók törlésével vezetjük le ; azt az esetet, amikor n > k, úgy kezeljük, hogy észrevesszük, hogy minden monomális nem tartalmaz k változónál többet , és hogy ez a monomál nem változik, ha töröljük az n - k egyéb változókat; akkor elég, ha a k változónak megfelelő Newton azonosságot használjuk .

A hivatalos sorok azonosításával

Newton identitása hivatalos identitás-alapú manipulációkkal is megszerezhető

\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} (t-x_ {i}) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {{k}} a_ {k } t ^ {{nk}}

összekapcsolva a gyökereket és az egység polinom együtthatóit. A számítások megkönnyítése érdekében úgy kezdjük, hogy 1 / t- t cserélünk le t-re , és a két tagot megszorozzuk t n-vel , így kapjuk meg:

{\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (1-x_ {i} t) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} a_ {k } t ^ {k}.}

Cseréje egy i a szimmetrikus polinomok, megkapjuk a személyazonosságát

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {{k}} e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) t ^ {k} = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} (1-x_ {i} t).

A differenciálás tekintetében t , és szorzás t , jön:

{\ begin {aligned} \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {{k}} ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) t ^ {k} & = t \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ balra ((- x_ {i}) \ prod \ nolimits _ {{j \ neq i}} (1-x_ {j} t) \ jobbra \\ & = - \ balra (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {x_ {i} t} {1-x_ {i} t}} \ jobbra) \ prod \ nolimits _ {{j = 1}} ^ {n} (1-x_ {j} t) \\ & = - \ balra (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {\ infty} (x_ {i} t) ^ {j} \ jobbra) \ balra (\ sum _ {{\ ell = 0}} ^ {n} (- 1) ^ { \ ell} e _ {\ ell} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) t ^ {\ ell} \ jobbra \\ & = balra (\ sum _ {{j = 1}} ^ {\ infty} p_ {j} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) t ^ {j} \ jobbra) \ balra (\ sum _ {{\ ell = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {{\ ell -1}} e _ {\ ell} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) t ^ {\ ell} \ right), \\\ end {igazított}}

ahol a polinom a jobb először újraírni, hogy egy racionális függvény , akkor ez fejlődött a formális sorozatban a t , és az együtthatók az egyes t j csoportosítva, hogy kapjunk összege hatáskörét (a konvergencia a sorozat valójában biztosított mert a t nullához elég közel van, de mivel csak a t j együtthatói érdekelnek minket , a konvergencia kérdésének nincs valódi jelentősége). Összehasonlítva a két tag t k együtthatóit , megkapjuk

(-1) ^ {{k}} ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ összeg _ {{j = 1}} ^ {k} (- 1) ^ {{ kj-1}} p_ {j} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) e _ {{kj}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})

ami Newton k- edik azonossága.

Az identitások teleszkópos összegeként

A következő levezetés a szimmetrikus polinomok gyűrűjében fogalmazódik meg , mert akkor az azonosságok nem függenek a változók számától. Egy rögzített k > 0, definiálunk (2 ≤ i ≤ k ) a szimmetrikus függvény R ( i ), mint az összege az elkülönült egytagú fokú k szorzatából egy változó hatványát i által K - i másik, különálló változók. Különösen, R ( k ) = p k ; az r (1) eset kizárt, mert a monomálisoknak már nem lenne különös szerepet játszó változója. Az összes p i e k - i szorzat kifejezhető r ( j ) függvényében (az i = 1 és i = k szélsőséges esetektől eltekintve). Megkapjuk , mivel a bal oldalon levő kifejezések minden egyes szorzata, amelyek különféle változókat tartalmaznak, hozzájárulnak az r ( i ) -hez , míg azok, amelyekben a p i változók már megjelennek az e k - i megfelelő tagjának változói között, hozzájárulnak r ( i + 1), és hogy a jobb oldalon szereplő összes kifejezés így egyszer és egyetlen alkalommal származik. Az i = K , szorozva e 0 = 1, megkapjuk triviálisan . Végül a p 1 e k −1 szorzat (amely megfelel az i = 1-nek) hozzájárulást eredményez r ( i + 1) = r (2) -hez , mint az i < k többi értékéhez , de a fennmaradó hozzájárulás egyenlő k szorozza meg e k minden egyes monomálisát , mivel mindegyik változó származhat a p 1 faktorból ; valamint . $p_ {i} e _ {{ki}} = r (i) + r (i + 1) \ quad {\ text {for}} 1 <i <k$ $p_ {k} e_ {0} = p_ {k} = r (k) \,$ $p_ {1} e _ {{k-1}} = ke_ {k} + r (2)$

Ezután a k- edik Newton azonosságát úgy kapjuk meg, hogy felvesszük az egyenletek váltakozó összegét, amely teleszkópos összeg. Az r ( i ) alakú összes kifejezés eltűnik.

Hasonló identitások

Sok hasonló identitású és Newton identitásával szoros kapcsolatban álló család létezik.

Teljesen homogén szimmetrikus polinomok használata

Megjegyezve, h k a teljesen homogén szimmetrikus polinom (en) , vagyis az összes k fokú monomál összege, a hatványösszegek kielégítik a Newtonihoz hasonló identitásokat, de amelyek feltételei mind pozitívak. A szimmetrikus polinomok gyűrűjében minden k ≥ 1-re íródnak . Newton azonosságával ellentétben a bal tag k nem eléggé eltűnik , és a jobb tagok nulla nélküli tagjai száma a végtelenségig növekszik. A k első értékeire megvan $kh_ {k} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} h _ {{ki}} p_ {i},$

{\ begin {aligned} h_ {1} & = p_ {1}, \\ 2h_ {2} & = h_ {1} p_ {1} + p_ {2}, \\ 3h_ {3} & = h_ {2 } p_ {1} + h_ {1} p_ {2} + p_ {3}. \\\ vége {igazítva}}

Ezeket a kapcsolatokat a fentiekhez hasonló argumentummal lehet bemutatni formális sorok felhasználásával, de a generáló függvények azonosságát felhasználva :

\ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} h_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) t ^ {k} = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac 1 {1-X_ {i} t}}

Másrészt a korábban bemutatott többi demonstráció nem képes könnyen alkalmazkodni ezekhez az új identitásokhoz.

Az elemi szimmetrikus polinomok kifejezése Newton-összegek függvényében

Mint mondtuk, Newton azonosságai lehetővé teszik, hogy indukcióval fejezzék ki az elemi szimmetrikus polinomokat a Newton-összegek függvényében. Ehhez egész számokra kell osztani, ezért csak racionális együtthatójú szimmetrikus polinomok Λ Q gyűrűjében hajtható végre :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} e_ {1} & = p_ {1}, \\ e_ {2} & = \ textstyle {\ frac {1} {2}} p_ {1} ^ {2} - { \ frac {1} {2}} p_ {2} && = \ textstyle {\ frac {1} {2}} (p_ {1} ^ {2} -p_ {2}), \\ e_ {3} és = \ textstyle {\ frac {1} {6}} p_ {1} ^ {3} - {\ frac {1} {2}} p_ {1} p_ {2} + {\ frac {1} {3} } p_ {3} && = \ textstyle {\ frac {1} {6}} (p_ {1} ^ {3} -3p_ {1} p_ {2} + 2p_ {3}), \\ e_ {4} & = \ textstyle {\ frac {1} {24}} p_ {1} ^ {4} - {\ frac {1} {4}} p_ {1} ^ {2} p_ {2} + {\ frac { 1} {8}} p_ {2} ^ {2} + {\ frac {1} {3}} p_ {1} p_ {3} - {\ frac {1} {4}} p_ {4} && = \ textstyle {\ frac {1} {24}} (p_ {1} ^ {4} -6p_ {1} ^ {2} p_ {2} + 3p_ {2} ^ {2} + 8p_ {1} p_ { 3} -6p_ {4}), \\\ vége {igazítva}}}

Stb. Egy egységes polinom, ezek a képletek fejezik az együtthatók függvényében az összegeket a hatásköre a gyökerek, lecseréli e i által egy i , és minden egyes p k által s k .

Teljesen homogén szimmetrikus polinomok kifejezése Newton-összegek függvényében

A teljesen homogén szimmetrikus polinomokra vonatkozó hasonló kapcsolatok ugyanúgy alakulnak ki, és az egyenletekhez vezetnek:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1} & = p_ {1}, \\ h_ {2} & = \ textstyle {\ frac {1} {2}} p_ {1} ^ {2} + { \ frac {1} {2}} p_ {2} && = \ textstyle {\ frac {1} {2}} (p_ {1} ^ {2} + p_ {2}), \\ h_ {3} & = \ textstyle {\ frac {1} {6}} p_ {1} ^ {3} + {\ frac {1} {2}} p_ {1} p_ {2} + {\ frac {1} {3} } p_ {3} && = \ textstyle {\ frac {1} {6}} (p_ {1} ^ {3} + 3p_ {1} p_ {2} + 2p_ {3}), \\ h_ {4} & = \ textstyle {\ frac {1} {24}} p_ {1} ^ {4} + {\ frac {1} {4}} p_ {1} ^ {2} p_ {2} + {\ frac { 1} {8}} p_ {2} ^ {2} + {\ frac {1} {3}} p_ {1} p_ {3} + {\ frac {1} {4}} p_ {4} && = \ textstyle {\ frac {1} {24}} (p_ {1} ^ {4} + 6p_ {1} ^ {2} p_ {2} + 3p_ {2} ^ {2} + 8p_ {1} p_ { 3} + 6p_ {4}), {\ text {stb.}} \\\ end {igazítva}}}

ahol minden kifejezés pozitív. Ezek a kifejezések pontosan megfelelnek a mutatók ciklusok a polinomok a szimmetrikus csoportok, értelmezve a Newton összegek p i , mint indeterminates: együttható egy egytagú p 1 m 1 p 2 m 2 ... p l m l a kifejezés a h k egyenlő aránya az összes permutációk k , amelynek m 1 fix pontot, m 2 ciklus hossza 2, ..., és m l ciklus hossza L . Pontosabban ez az együttható $1 / N-re$ írható , a ; N a fix ciklusú π permutációk száma, amelyek rendelkeznek a megfelelő ciklustípussal. Az elemi szimmetrikus függvényeknek megfelelő kifejezések együtthatóival azonos abszolút értékekkel rendelkeznek, de előjele megegyezik a π aláírásával , azaz (−1) m 2 + m 4 +… . $N = \ Pi _ {{i = 1}} ^ {l} (m_ {i}! \, I ^ {{m_ {i}}})$

Newton-összegek kifejezése

Ezzel szemben kifejezhetjük Newton összegeit az elemi szimmetrikus polinomok függvényében, és ezek a kifejezések egész együtthatóval rendelkeznek:

{\ begin {aligned} p_ {1} & = e_ {1}, \\ p_ {2} & = e_ {1} ^ {2} -2e_ {2}, \\ p_ {3} & = e_ {1 } ^ {3} -3e_ {2} e_ {1} + 3e_ {3}, \\ p_ {4} & = e_ {1} ^ {4} -4e_ {2} e_ {1} ^ {2} + 4._ {3} e_ {1} + 2e_ {2} ^ {2} -4e_ {4}, \\ p_ {5} & = e_ {1} ^ {5} -5e_ {2} e_ {1} ^ { 3} + 5e_ {2} ^ {2} e_ {1} + 5e_ {3} e_ {1} ^ {2} -5e_ {3} e_ {2} -5e_ {4} e_ {1} + 5e_ {5 }, \\ p_ {6} & = e_ {1} ^ {6} -6e_ {2} e_ {1} ^ {4} + 9e_ {2} ^ {2} e_ {1} ^ {2} + 6e_ {3} e_ {1} ^ {3} -2e_ {2} ^ {3} -12e_ {3} e_ {2} e_ {1} -6e_ {4} e_ {1} ^ {2} + 3e_ {3 } ^ {2} + 6e_ {4} e_ {2} + 6e_ {1} e_ {5} -6e_ {6}, {\ text {stb.}} \\\ end {igazított}}

de úgy tűnik, hogy ezek a kifejezések nem követnek kifejezett szabályt. Azt látjuk azonban, hogy egy monom együtthatójának $p$ $k$ kifejezésében megegyezik az előjellel, mint a megfelelő termék együtthatójával a fent megadott $e$ $k$ kifejezésben , azaz (−1) m 2 + m 4 +… . Ezenkívül az M együttható abszolút értéke az az elemi szimmetrikus polinomok sorozatának összessége, amelynek szorzata M , és az egyes szekvenciák utolsó polinomjának indexe: tehát $e$ $1$ $5$ $e$ $3$ együttható $e$ $4$ $3$ a kifejezés, amely p 20 van , hiszen többek között a különböző megbízások öt tényező e 1 , az egyik tényező e 3 és három tényező e 4 , vannak 280 végződésű e 1 , 56 végződő e 3 és 168 végződő e 4 . $M = \ Pi _ {{i = 1}} ^ {l} e_ {i} ^ {{m_ {i}}}$ $\ Pi _ {{i = 1}} ^ {l} p_ {i} ^ {{m_ {i}}}$ $(-1) ^ {{0 + 3}} (280-szor 1 + 56-szor 3 + 168-szor 4-szer) = - 1120$

Végül a teljesen homogén polinomokra vonatkozó azonosságok is megfordíthatók, ami:

{\ begin {aligned} p_ {1} & = + h_ {1}, \\ p_ {2} & = - h_ {1} ^ {2} + 2h_ {2}, \\ p_ {3} & = + h_ {1} ^ {3} -3h_ {2} h_ {1} + 3h_ {3}, \\ p_ {4} & = - h_ {1} ^ {4} + 4h_ {2} h_ {1} ^ {2} -4h_ {3} h_ {1} -2h_ {2} ^ {2} + 4h_ {4}, \\ p_ {5} & = + h_ {1} ^ {5} -5h_ {2} h_ {1} ^ {3} + 5h_ {2} ^ {2} h_ {1} + 5h_ {3} h_ {1} ^ {2} -5h_ {3} h_ {2} -5h_ {4} h_ {1 } + 5h_ {5}, \\ p_ {6} & = - h_ {1} ^ {6} + 6h_ {2} h_ {1} ^ {4} -9h_ {2} ^ {2} h_ {1} ^ {2} -6h_ {3} h_ {1} ^ {3} + 2h_ {2} ^ {3} + 12h_ {3} h_ {2} h_ {1} + 6h_ {4} h_ {1} ^ { 2} -3h_ {3} ^ {2} -6h_ {4} h_ {2} -6h_ {1} h_ {5} + 6h_ {6}, {\ text {stb.}} \\\ end {igazítva} }

Ezeknek az identitásoknak pontosan ugyanaz a formája, mint a korábbiaknak, kivéve a jelet: a monomális jele most - (- 1) m 1 + m 2 + m 3 +… . $\ Pi _ {{i = 1}} ^ {l} h_ {i} ^ {{m_ {i}}}$

Kifejezések mint meghatározók

A lineáris egyenletrendszerek megoldásának megfelelő előző kifejezések kifejezetten megfogalmazhatók determinánsok segítségével, Cramer-szabály felhasználásával . Például Newton identitásait a következő formában írva:

{\ begin {aligned} e_ {1} & = 1p_ {1}, \\ 2e_ {2} & = e_ {1} p_ {1} -1p_ {2}, \\ 3e_ {3} & = e_ {2 } p_ {1} -e_ {1} p_ {2} + 1p_ {3}, \\\ vdots & = \ vdots \\ ne_ {n} & = e _ {{n-1}} p_ {1} - e_ {{n-2}} p_ {2} + \ cdots + (- 1) ^ {n} e_ {1} p _ {{n-1}} + (- 1) ^ {{n-1}} p_ {n}, \\\ vége {igazítva}}

és figyelembe , , , ..., és ismeretlen, megkapjuk, hogy: $p_1$ ${-p_ {2}}$ $p_3$ $(-1) ^ {n} p _ {{n-1}}$ $p_ {n}$

p_ {n} = {\ frac {{\ begin {vmatrix} 1 & 0 & \ cdots && e_ {1} \\ e_ {1} & 1 & 0 & \ cdots & 2e_ {2} \\ e_ {2} & e_ {1} & 1 && 3e_ {3} \ \\ vdots && \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ e _ {{n-1}} és \ cdots & e_ {2} & e_ {1} & ne_ {n} \ end {vmatrix}}} {{\ begin {vmatrix} 1 & 0 & \ cdots & \\ e_ {1} & 1 & 0 & \ cdots \\ e_ {2} & e_ {1} & 1 & \\\ vdots && \ ddots & \ ddots \\ e _ {{n-1}} & \ cdots & e_ {2} & e_ {1} & (- 1) ^ {{n-1}} \ end {vmatrix}}}} = {\ frac {1} {(- 1) ^ {{n-1}}}}} {\ begin {vmatrix} 1 & 0 & \ cdots && e_ {1} \\ e_ { 1} & 1 & 0 & \ cdots & 2e_ {2} \\ e_ {2} & e_ {1} & 1 && 3e_ {3} \\\ vdots && \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ e _ { {n-1}} & \ cdots & e_ {2} & e_ {1} & ne_ {n} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} e_ {1} & 1 & 0 & \ cdots \\ 2e_ {2} & e_ {1} & 1 & 0 & \ cdots \\ 3e_ {3} & e_ {2} & e_ {1} & 1 \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots \\ ne_ {n} & e _ ​​{{n-1}} és \ cdots && e_ {1} \ end {vmatrix}}.

A számítások analógok (de kissé bonyolultabbak) a kifejezésekre vagy a kifejezésekre a teljesen homogén szimmetrikus polinomok függvényében; végre megkapjuk: $ban ben$

e_ {n} = {\ frac 1 {n!}} {\ begin {vmatrix} p_ {1} & 1 & 0 & \ cdots \\ p_ {2} & p_ {1} & 2 & 0 & \ cdots \ \\ vdots && \ ddots & \ ddots \\ p _ {{n-1}} & p _ {{n-2}} & \ cdots & p_ {1} & n-1 \\ p_ {n} & p _ {{n-1}} & \ cdots & p_ {2} & p_ {1} \ end {vmatrix}}, \ qquad p_ {n} = (- 1) ^ {{n-1}} {\ kezdődik {vmatrix} h_ {1} & 1 & 0 & \ cdots \\ 2h_ {2} & h_ {1} & 1 & 0 & \ cdots \\ 3h_ {3} & h_ {2} & h_ {1} és 1 \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots \\ nh_ {n} & h _ {{n-1}} & \ cdots && h_ {1} \ end {vmatrix}}, \ qquad h_ {n} = {\ frac 1 {n!}} {\ begin {vmatrix} p_ {1} & - 1 & 0 & \ cdots \\ p_ {2} & p_ {1} & -2 & 0 & \ cdots \\\ vdots && \ ddots & \ ddots \\ p _ {{n-1}} & p _ {{n-2}} & \ cdots & p_ {1} & 1-n \\ p_ {n} & p_ {{n-1 }} & \ cdots & p_ {2} és p_ {1} \ end {vmatrix}}.

Megfigyelhető, hogy a képlete $H n$ kapjuk, hogy figyelembe az állandó a mátrix $e n$ helyett annak meghatározó, és általánosabban, hogy egy kifejezés bármely Schur polinom nyerhető azáltal, hogy a megfelelő immanant ennek a mátrixnak.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia cikkéből származik, amely a " Newton identitása " címet viseli ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(en) Csanky L. , " Fast Parallel mátrix inverziós algoritmusok " , SIAM J. Comput. , vol. 5, n o 4,1976. december( olvasható online [PDF] ).
(in) DG Mead , " Newton's Identities " , American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, vol. 99–8,1992, P. 749–751 ( DOI 10.2307 / 2324242 , JSTOR 2324242 ).
(in) Ian G. Macdonald , szimmetrikus függvények and Hall polinomok , Oxford, Clarendon Press, Oxford University Press, coll. "Oxford Matematikai Monográfiák",1979, viii + 180 p. ( ISBN 0-19-853530-9 , Math Reviews 84g : 05003 ) , p. 20.
(a) Dudley E. Littlewood , elmélete csoport karakterek és a mátrix ábrázolásai csoportok , Oxford, Oxford University Press ,1950, viii + 310 p. ( ISBN 0-8218-4067-3 ) , p. 84..

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Fordított polinom
Szimmetrikus csoportciklus-mutató
Folyékony oldat (a) , cikke, amely a kérelem Newton identitások kiszámításához karakterisztikus polinomja Einstein tenzor esetén a tökéletes folyadék

Bibliográfia

en) Jean-Pierre Tignol, Galois algebrai egyenletek elmélete , Szingapúr, World Scientific ,2001, 333 p. ( ISBN 978-981-02-4541-2 , online olvasás )
(en) F. Bergeron, G. Labelle és P. Leroux, kombinatorikus fajok és faszerű struktúrák , Cambridge, Cambridge University Press ,1998, 457 p. ( ISBN 978-0-521-57323-8 , online olvasás )
(en) Peter J. Cameron , Permutation Groups , Cambridge, Cambridge University Press ,1999, 220 p. ( ISBN 978-0-521-65378-7 , online olvasás )
(en) David A. Cox , John Little et Don O'Shea , Ideálok, fajták és algoritmusok: bevezető a számítási algebrai geometriához és a kommutatív algebrához , New York, Springer-Verlag ,2007, 3 e . ( ISBN 978-0-387-35651-8 , online olvasás )
(en) David Eppstein és Michael T. Goodrich (en) , „Helytakarékos straggler azonosítás oda-vissza adatfolyamokban Newton identitásaival és invertible Bloom szűrőkön keresztül” , Algoritmusok és adatszerkezetek , 10. Nemzetközi Műhely, WADS 2007 , Springer , coll. "Lecture Notes in Computer Science" ( n o 4619),2007, P. 637-648, „ 0704.3313 ” , szabad hozzáférésű szöveg, az arXiv oldalon .
(en) IG Macdonald , Szimmetrikus függvények és Hall-polinomok , New York, Oxford Science Publications. A Clarendon Press, Oxford University Press, koll. "Oxford Matematikai Monográfiák",1995, Második kiadás ( ISBN 0-19-853489-2 , Math Reviews 96h: 05207 ) , x + 475
(en) Richard P. Stanley , Enumerative Combinatorics , vol. 2 [ a kiadások részlete ] ( online bemutató )
(en) Bernd Sturmfels , Algoritmusok a változatlan elméletben , New York, Springer-Verlag ,1992( ISBN 978-0-387-82445-1 )
(en) Alan Tucker, Applied Combinatorics , New York, Wiley ,1980, 5. kiadás , 476 p. ( ISBN 978-0-471-73507-6 )

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „ Newton-Girard képletek ” , a MathWorld- on
(en) Newton azonosságainak mátrixbizonyítása a Matematika Magazinban
(en) Pablo A Parrilo ( MIT ), Alkalmazás a valódi gyökerek számára