Schur polinom
A matematika , Schur-polinomok , nevezték el a matematikus Issai Schur , amelyek különösen szimmetrikus polinomok , indexelt a válaszfalak az egész számok , és amely általánossá elemi szimmetrikus polinomok és teljes homogén szimmetrikus polinomok . A reprezentációs elmélet , ezek a karakterek a reprezentációk polinom irreducibilis az általános lineáris csoport . A Schur-polinomok az összes szimmetrikus polinom terének alapját képezik. A Schur polinomok szorzata megírható a Schur polinomok lineáris kombinációjaként , természetes egész együtthatókkal ; ezen együtthatók értékeit a Littlewood-Richardson-szabály adja meg .
Vannak is elhagyta Schur-polinomok , amelyek kapcsolatban állnak pár partíciók, és amelyek hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek Schur-polinomok.
Meghatározás
A Schur-polinomokat az egészek partíciói vagy pontosabban, a természetes egészek csökkenő véges szekvenciái indexelik . Ilyen n -tulajdonság esetén λ = ( λ 1 , λ 2 ,…, λ n ) , ahol a λ j egész számok és λ 1 ≥ λ 2 ≥… ≥ λ n ≥ 0 (ez a véges szekvencia " Partition”az egész szám, d = a vizeletmintákban a ö λ j hanem tágabb értelemben, mivel az utolsó λ j megengedett nullának), az alábbi polinom váltakozó (a) , vagyis ez transzformálva lenne annak ellenkező egy átültetése a a változók:
nál nélλ(x1,x2,...,xnem)=det(x1λ1x2λ1...xnemλ1x1λ2x2λ2...xnemλ2⋮⋮⋱⋮x1λnemx2λnem...xnemλnem).{\ displaystyle a _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ pontok, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {\ lambda _ {1}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {1}} és \ pontok & x_ {n} ^ {\ lambda _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {2}} és x_ {2 } ^ {\ lambda _ {2}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {n}} és x_ {2} ^ {\ lambda _ {n}} és \ pontok és x_ {n} ^ {\ lambda _ {n}} \ end {pmatrix}}.}Ezért osztható a Vandermonde-determinánnyal , amely megfelel az n -tuplett δ = ( n - 1, n - 2,…, 0) értéknek :
nál nélδ(x1,x2,...,xnem)=det(x1nem-1x2nem-1...xnemnem-1x1nem-2x2nem-2...xnemnem-2⋮⋮⋱⋮11...1)=∏1≤j<k≤nem(xj-xk).{\ displaystyle a _ {\ delta} (x_ {1}, x_ {2}, \ pontok, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {n-1} & x_ { 2} ^ {n-1} és \ pontok & x_ {n} ^ {n-1} \\ x_ {1} ^ {n-2} és x_ {2} ^ {n-2} és \ pontok és x_ {n} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 1 & \ dots & 1 \ end {pmatrix}} = \ prod _ {1 \ leq j <k \ leq n} (x_ {j} - x_ {k}).}A λ-hoz társított Schur polinom definíció szerint a hányados polinom:
sλ=nál nélλ+δnál nélδ,{\ displaystyle s _ {\ lambda} = {\ frac {a _ {\ lambda + \ delta}} {a _ {\ delta}}},}
ahol a n -uples λ és δ vannak hozzáadott távon távú . Szimmetrikus, két váltakozó polinom hányadosaként.
A Schur polinomokként d in n változók alapját képezik a tér homogén szimmetrikus polinomokként d a N változók.
Egyenértékű meghatározások
Egy adott partíció esetében a Schur-polinom monomális összegeként is felírható a következő formában:
λ{\ displaystyle \ lambda}sλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}
sλ(x1,x2,...,xnem)=∑TxT=∑Tx1t1⋯xnemtnem{\ displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ összeg _ {T} x ^ {T} = \ összeg _ {T} x_ {1 } ^ {t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}ahol az összegzés a félig standard Young alaktömbökhöz kapcsolódik ; kitevők így a tömeg : más szóval, minden számít az előfordulások számát az . Például, a egytagú társított tömb van .
T{\ displaystyle T}λ{\ displaystyle \ lambda}t1,...,tnem{\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}}T{\ displaystyle T}tén{\ displaystyle t_ {i}}én{\ displaystyle i}T{\ displaystyle T}x1x3x43x5.x6.x7{\ displaystyle x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {3} x_ {5} x_ {6} x_ {7}}
A Young tömbök súlyának összegeként való kifejezést néha definíciónak vesszük, például Sagan 2001-ben .
A más bázisokkal való kapcsolatokat gyakran kifejezetten kifejezik. Az egyik figyelembe vett alap a monomális szimmetrikus függvények . Adott partíció , a polinom definíció szerint:
mμ{\ displaystyle m _ {\ mu}}μ=(μ1,μ2,...,μnem){\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots, \ mu _ {n})}mμ{\ displaystyle m _ {\ mu}}
mμ=∑xén1μ1xén2μ2⋯xénnemμnem{\ displaystyle m _ {\ mu} = \ sum x_ {i_ {1}} ^ {\ mu _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ {\ mu _ {2}} \ cdots x_ {i_ { n}} ^ {\ mu _ {n}}}ahol az összegzés az 1-től az egészig terjedő összes permutáció felett van . Például :
(én1,én2,...,énnem){\ displaystyle (i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {n})}nem{\ displaystyle n}μ=(2,1,0){\ displaystyle \ mu = (2,1,0)}
m(2,1,0)=x12x2+x12x3+x1x22+x1x32+x22x3+x2x32{\ displaystyle m _ {(2,1,0)} = x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} + x_ {2} x_ {3} ^ {2}}.
A Schur polinomok szimmetrikus monomális polinomok lineáris kombinációi, természetes egész együtthatóval, amelyeket Kostka-számoknak nevezünk . A Kostka-szám (amely két partíciótól függ és ) definíciója szerint megegyezik a félig standard Young alakú és tömegű tömbök számával .
Kλμ{\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}Kλμ{\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}λ{\ displaystyle \ lambda}μ{\ displaystyle \ mu}λ{\ displaystyle \ lambda}μ{\ displaystyle \ mu}
A Schur-polinomok kifejezése monomális szimmetrikus polinomok kombinációjaként:
sλ=∑μKλμmμ. {\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}A teljes homogén szimmetrikus polinomok
hk(x1,x2,...,xnem)=∑1≤én1≤én2≤⋯≤énk≤nemxén1xén2⋯xénk,{\ displaystyle h_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ pontok, x_ {n}) = \ összeg _ {1 \ leq i_ {1} \ leq i_ {2} \ leq \ cdots \ leq i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ cdots x_ {i_ {k}},}vagyis az összes fokozatú monomál összege adjon még egy példát. Két determinánsokat tartalmazó képlet a Jacobi- Trudi képlet . Az első a Schur-polinomokat determinánsként fejezi ki a teljes homogén szimmetrikus polinomok szempontjából :
k{\ displaystyle k}
sλ=detén,jhλén+j-én.{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} h _ {\ lambda _ {i} + ji}.}A partíció az egyik részében, egyszerűen nincs
(d){\ displaystyle (d)}d{\ displaystyle d}
s(d)=hd{\ displaystyle s _ {(d)} = h_ {d}}.
Az utolsó kapcsolat könnyen érthető. Valójában, ha a partíció csak egy kifejezést tartalmaz, akkor a társított Young tábláknak csak egy sora van cellákkal, amelyek egész számokkal vannak kitöltve. Minden táblázat megfelel a teljes homogén szimmetrikus polinom kifejezésének .
nem{\ displaystyle n}hd{\ displaystyle h_ {d}}
A második képlet a Schur-polinomokat determinánsként fejezi ki az elemi szimmetrikus polinomok szempontjából . Jelöljük az elemi szimmetrikus polinomot, amely a különböző változók különböző szorzatainak összege . Nekünk van :
ek(x1,...,xnem){\ displaystyle e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}k{\ displaystyle k}nem{\ displaystyle n}
sλ=detén,jeλén′+j-én{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} e _ {\ lambda '_ {i} + ji}},
hol van a kettős partíció . A partícióra, ahol az összes rész egyenlő 1-vel, megkapjuk
λ′{\ displaystyle \ lambda '}λ{\ displaystyle \ lambda}(1)d{\ displaystyle (1) ^ {d}}
s(1)d=ed{\ displaystyle s _ {(1) ^ {d}} = e_ {d}}.
Itt is könnyen érthető az utolsó képlet. Young táblázatai egyetlen celloszlopból állnak , és a bennük megjelenő egész számok szigorúan növekednek. Ezért minden táblázat az elemi szimmetrikus polinom monomálisát tartalmazza .
nem{\ displaystyle n}ed{\ displaystyle e_ {d}}
Ezeket a képleteket „meghatározó identitásoknak” nevezzük. Egy másik ilyen típusú forma a Giambelli (in) képlete , amely a partíció Schur-polinomját a megfelelő Young diagramban szereplő négyzet alakú partíciókban fejezi ki. A Frobenius-jelölésben a pontszámot megjegyzik
(nál nél1,...nál nélr|b1,...br){\ displaystyle (a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})}ahol az egyes átlós elemek helyzetében az egész a jobb és az azonos sorban lévő cellák száma, és az azonos oszlop alatti és azonos cellák száma (illetve a „kar” és a "láb").
(én,én){\ displaystyle (i, i)}nál nélén{\ displaystyle a_ {i}}bén{\ displaystyle b_ {i}}
Giambelli azonossága meghatározza a pontszámot
s(nál nél1,...nál nélr|b1,...br)=det(s(nál nélén|bj)){\ displaystyle s _ {(a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i} | b_ {j })})}.
Végül a (1,1, ..., 1) Schur-polinom kiértékelése megadja a félig standard Young tömbök számát bejegyzésekkel . Meg tudjuk mutatni, felhasználva például a Weyl karakter képletű (en) , hogy a
sλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}λ{\ displaystyle \ lambda}{1,2,...,nem}{\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}
sλ(1,1,...,1)=∏1≤én<j≤nemλén-λj+j-énj-én.{\ displaystyle s _ {\ lambda} (1,1, \ pontok, 1) = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} {\ frac {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j } + ji} {ji}}.}Példa
A következő példa szemlélteti ezeket a definíciókat. Megfontoljuk az esetet . Az egész partíciói legfeljebb részben vannak . Nekünk van
nem=3,d=4{\ displaystyle n = 3, d = 4}d=4{\ displaystyle d = 4}nem=3{\ displaystyle n = 3}(2,1,1),(2,2),(3,1),(4){\ displaystyle (2,1,1), (2,2), (3,1), (4)}
s(2,1,1)(x1,x2,x3)=1Δdet(x14x24x34x12x22x32x1x2x3)=x1x2x3(x1+x2+x3){\ displaystyle s _ {(2,1,1)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ begin { pmatrix} x_ {1} ^ {4} és x_ {2} ^ {4} és x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {2} és x_ {2} ^ {2} és x_ { 3} ^ {2} \\ x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \ end {pmatrix}} = x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} \, (x_ { 1} + x_ {2} + x_ {3})}s(2,2,0)(x1,x2,x3)=1Δdet(x14x24x34x13x23x33111)=x12x22+x12x32+x22x32+x12x2x3+x1x22x3+x1x2x32{\ displaystyle s _ {(2,2,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ begin { pmatrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {3} és x_ {2} ^ {3} és x_ { 3} ^ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} = x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} \, x_ {3} + x_ { 1} \, x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} ^ {2}}Stb. A Jacobi-Trudi képletek közül a második a következő kifejezéseket adja:
- s(2,1,1)=e1e3{\ displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} \, e_ {3}}
- s(2,2,0)=e22-e1e3{\ displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}
- s(3,1,0)=e12e2-e22-e1e3+e4{\ displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3} + e_ {4}}
- s(4,0,0)=e14-3e12e2+2e1e3+e22-e4.{\ displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 \, e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} +2 \, e_ {1} \ , e_ {3} + e_ {2} ^ {2} -e_ {4}.}
Bármely szimmetrikus, 4 fokú homogén polinom három változóban egyedülálló módon fejeződik ki e négy Schur polinom lineáris kombinációjaként. Vegyük például a polinomot:
ϕ(x1,x2,x3)=x14+x24+x34{\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}Ez valóban egy homogén szimmetrikus polinom, amely 4 fokozatú három változóban. Találunk :
ϕ=s(2,1,1)-s(3,1,0)+s(4,0,0).{\ displaystyle \ phi = s _ {(2,1,1)} - s _ {(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!}
Kapcsolat a reprezentációelmélettel
A Schur-polinomok részt vesznek a szimmetrikus csoportok, az általános lineáris csoport és az egységcsoportok ábrázolásának elméletében . Weyl karakterképlete azt sugallja, hogy a Schur-polinomok az általános lineáris csoportok véges fokú irreducibilis ábrázolásainak karakterei, és ez lehetővé teszi Schur munkájának általánosítását más kompakt és félig egyszerű Lie- csoportokra.
Több kifejezés ennek a kapcsolatnak a következménye. A legfontosabb a Schur függvény kibővítése Newton összegek tekintetében . Ha jelöljük a szimmetrikus csoport karakterét, amelyet az elért pontszám indexel, olyan elemekben értékeljük, amelyek ciklusának típusát a pontszám jelöli , akkorsλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}ok=∑énxénk{\ displaystyle p_ {k} = \ sum _ {i} x_ {i} ^ {k}}χρλ{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda}}λ{\ displaystyle \ lambda}ρ{\ displaystyle \ rho}
sλ=∑ρ=(1r1,2r2,3r3,...)χρλ∏kokrkrk!krk,{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ pont)} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}}, }ahol eszközöket a partíció van részek hossza .
ρ=(1r1,2r2,3r3,...){\ displaystyle \ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ pont)}ρ{\ displaystyle \ rho}rk{\ displaystyle r_ {k}}k{\ displaystyle k}
Bal Schur funkciók
A bal oldali Schur függvény két partíciótól és . A tulajdonság meghatározhatja:
sλ/μ{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu}}λ{\ displaystyle \ lambda}μ{\ displaystyle \ mu}
⟨sλ/μ,sv⟩=⟨sλ,sμsv⟩.{\ displaystyle \ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s _ {\ nu} \ rangle = \ langle s _ {\ lambda}, s _ {\ mu} s _ {\ nu} \ rangle.}Csakúgy, mint a közönséges Schur polinomok esetében, számos módszer létezik ezek kiszámítására. A megfelelő Jacobi-Trudi azonosság:
sλ/μ=(hλén-μj-én+j),1≤én,j≤l(λ){\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = (h _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda) },
sλ′/μ′=(eλén-μj-én+j),1≤én,j≤l(λ){\ displaystyle s _ {\ lambda '/ \ mu'} = (e _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda)}.
A bal oldali Schur-polinomok kombinatorikus értelmezése is létezik, nevezetesen az összes félig standard Young-tömbtömeg összegeként :
λ/μ{\ displaystyle \ lambda / \ mu}
sλ/μ=∑xT{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ összeg x ^ {T}}ahol az összegzés ezúttal félig szabványos formatáblákkal függ össze .
λ/μ{\ displaystyle \ lambda / \ mu}
Kapcsolódó cikkek
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben a Wikipedia
" Schur polinom " című
angol nyelvű cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
Megjegyzések
-
Ez szerint Sagan 2002 , az eredeti definíció Schur.
-
Lascoux 1984 , p. 1.
-
(it) " Nicola Trudi (1811 - 1884) " , a Mathematica Italiana-on .
-
Stanley 1999 , francia kürt. 7.17.5.
Bibliográfia
- Alain Lascoux, „ Szimmetrikus funkciók ”, Lotharingian Seminar on Combinatorics , vol. 8,1984, P. 37-58, cikk n o B08f ( olvasható online )
- (en) Ian G. Macdonald , Symmetric functions and Hall polynomials , The Clarendon Press Oxford University Press, coll. "Oxford Matematikai Monográfia",1995, 2 nd ed. , 475 p. ( ISBN 978-0-19-853489-1 , Math Reviews 1354144 )
- (en) Bruce E. Sagan (en) , A szimmetrikus csoport: ábrázolások, kombinatorikus algoritmusok és szimmetrikus függvények , New York / Berlin / Heidelberg stb., Springer-Verlag , koll. " GTM " ( n ° 203)2001, 2 nd ed. , 238 p. ( ISBN 0-387-95067-2 , online előadás )
- (en) Bruce E. Sagan , „Schur funkciók az algebrai kombinatorikában” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , online olvasás )
- (en) Richard P. Stanley , Enumerative Combinatorics , vol. 2 [ a kiadások részlete ] ( online bemutató )
- (en) Bernd Sturmfels , Algoritmusok a változatlan elméletben , New York, Springer,1993( ISBN 0-387-82445-6 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">